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闲侃(8):郭汉英(之五,完) 2015-09-18 09:23:22

我们先介绍一下初等数学中的圆锥曲线,也就是我们中学里学的平面解析几何中的二次曲线:椭圆,抛物线,双曲线。这三种曲线之所以被称为圆锥曲线,是因为古希腊数学大牛阿波罗尼斯,他老人家用平面去切圆锥,随着平面的位置不同而分别得到三种曲线,见下图(from wiki 百科),分别对应抛物线,椭圆和双曲线。其中抛物线是比较特别的,它要求平面和圆锥母线平行,这种特别情形恰好界定了椭圆和双曲线。


阿波罗尼斯可是个圆锥曲线领域罕见的集大成者。在在世时几乎将圆锥曲线的所有重要性质一网打尽,以至这个领域以后一千多年没有本质的进展,直到哲学家笛卡儿发明了解析几何为止。

大家知道,科学的本质虽然是归纳的,但是使得科学变得 robust 的原因,却是演绎推理,从这个意义而言,说欧几里德和阿基米德师徒创立的公理体系是现代文明的摇篮,一点都不是谬赞。欧几里德几何依赖五个公设,其中第五公设是:
            过直线外一点,恰好可以作一条直线和这条直线平行。

历史上许多数学家在思考这第五公设(具体从略)。后来俄罗斯的罗巴切夫斯基和匈牙利的鲍耶分别独立发现了第一种非欧几何:罗巴切夫斯基几何,它将这条公设改为:
            过直线外一点,可以作无数条直线和这条直线平行。

高斯可能也独立发现了这种几何,不过鉴于高斯的保守,他没有发表他的结果而已。在极端情况下,罗巴切夫斯基几何(也称为双曲几何)的三角形周长是无穷大,内角和等于 0.后来高斯的学生黎曼将第五公设改为:
            过直线外一点,不能作任何直线和这条直线平行。
从而得到另一种非欧几何:黎曼几何,或者称为椭圆几何。椭圆几何比较直观的表示可以在欧几里德球面上实现:例如直线就是球面的大圆,因为大圆都是相交的,所以椭圆几何里事实上没有平行线。

平面几何有两个重要的概念:长度和角度。这两种非欧几何和欧几里德几何的角度测量是一致的,同属“椭圆型”,取正值,但平面的曲率却可以为正值(椭圆几何),0(欧几里德几何)或者负值(双曲几何)。也就是说,这两种非欧几何和欧几里德几何相比,多了一个参量:曲率。欧几里德几何恰好是曲率等于0的情形,相当于两者的“临界点”,就如同抛物线和椭圆和双曲线的关系一样。

这里,概念上必须要强调的是,尽管我们将这个参量称为“曲率”,但并不是说椭圆几何和双曲几何是弯曲的空间,相反,它们和欧式几何一样,属于“平直的空间”,只不过我们用欧氏空间去表示它们,我们需要个多余的参量,而这个参量被称为曲率而已。

类似的,关于角度的测量,也有“双曲型的”,这样,根据对长度和角度测量的不同,我们有多中非欧几何,见下表:


角度测量分类
长度测量分类
椭圆型
抛物型
双曲型
椭圆型
椭圆几何学/黎曼几何
欧几里得几何学
双曲几何学/罗氏几何
抛物型

加利略几何学







圆锥曲线中最简单的就是抛物线,加利略几何学对应于抛物-抛物的情形,所以它本质上是最简单的几何。黎曼几何和罗巴切夫斯基几何事实上最复杂,因为它们多了个参量。


好,下面我们来看如何推广或者改写狭义相对论以及广义相对论,这正是郭汉英等人的工作。老爱说,物理的结构本质上应该是几何的,我们来看看这句话到底是什么意思。

考察狭义相对论。前面我们说了,我们对时空的直观感觉就是时间和空间彼此是独立的,其一个推论就是,速度可以是0,也可以是无穷大。但,慢着,如果万一时间和空间彼此不完全独立,它们之间存在个制约关系,那会如何呢?这种可能性看上去很荒谬,但理论上却是可能的。这虽然有悖于我们的常识,但也可能是因为这种制约通常很弱,我们一般觉察不到而已。我们先不考虑其后果,只想想这种可能性是不是存在。数学大拿欧拉曾经有句名言,大意是,因为我们这个世界是有限的,所以就必定存在着极大或者极小的道理。从哲学上看,我们并没有理由事先假设这个宇宙是无限的,对不对?如果这个宇宙是有限的,那么假设某个东西从宇宙的这个个地方不花任何时间就能跑到另外一个地方,看起来有些荒谬,对不对。咱们的宇宙都有限了,你在里面运动却可以不花时间,很不够意思,对吧?

因此,从直觉上去考虑,这个宇宙根本不存在什么无穷大的速度,是有道理的。因此我们可以来个合理的假设:速度存在个上限。当然,这个上限在不同的时间不同的地点可能是不一样的,但我们至少有理由相信,在某个时空点的局域空间,亦即平直空间,这个速度有个上限。hmm……速度有个上限意味着什么?意味着很多,因为这意味着,时间和空间是不能彼此独立的,而是相互制约的,否则的话,这个速度就可以是无穷大。空间和时间如何彼此制约我们不知道,可能存在不同形式的制约,例如这里可以通过速度去制约。速度,也就是空间对时间的比值,可是个清晰的概念。当然,说不定还有别的制约,例如空间对时间的积分,或者平直空间的空间和时间的乘积,也有可能存在个最大值呢,对不对?不过时间和空间乘起来,就算存在个最大值,但它到底是啥意思,比较深奥,先略去不谈。老爱教导过我们,在我们这个世界里,没有任何概念是先验的必然的,唯一决定这个概念生存权的,就是它和我们这个物理世界有没有单一的没有歧义的联系。因此这里我们先考虑速度存在个极值的情形。速度是啥意思,我们基本上都懂,对吧?

大家知道,存在个速度上限得到了迈克尔逊-莫雷实验的支持。这个实验可能是人类历史上最重要的实验。所以现在的问题来了:既然存在个最大速度,那么空间和时间必定会互相制约,耦合在一起。很可能,因为我们假定的是速度存在上限,这种耦合可能和速度本身有关。至于是不是这样,我们心里没底,得请数学家帮我们看看,到底应该如何制约。

那时数学最厉害的,除了希尔伯特,就是庞加莱了。事实上,庞加莱早就告诉大家,这种耦合是通过一种现在叫做洛仑兹变换的方式实现的。显然,我们这个世界的真正的几何,并非是伽利略的(一维时间+三维欧几里德的),而是另外一种空间。这种空间称为闵可夫斯基空间,它也是一种非欧几何。它的复杂程度和欧几里德几何一样,比伽利略几何复杂,但比黎曼几何和罗巴切夫斯基几何简单。

有的同学可能会问,这里你假设了速度存在个最大值。如果你假设速度存在个最小值,会如何呢?先不考虑有没有实验的支持,只大体上看看这个假设会带来什么后果。其后果就是,我们这个四维时空的几何,居然是欧几里德几何!区别只是,这时我们的物理世界不能是整个时空,而只能是其中的一部分,就如同狭义相对论的物理区域也只能是整个时空的一部分一样。只不过极大极小两个假设不能同时成立(在合理的 assumption 下),而我们知道极大是有效的,所以结论就是:我们的物理世界四维时空不是欧几里德的也不是伽利略的,而是闵可夫斯基的。

好了,我们将我们的几何体系 expand,就会有如下的列表,这些几何当然都是平直空间。


角度测量分类
长度测量分类
椭圆型
抛物型
双曲型
椭圆型
椭圆几何学/黎曼几何
欧几里得几何学
双曲几何学/罗氏几何
抛物型
伴欧几里得几何学
加利略几何学
伴闵可夫斯基几何学
双曲型
德西特几何
闵可夫斯基几何学
反德西特几何







类似的,洛仑兹变换对应的变换群称为洛仑兹群,其李代数的生成元也恰好有十个生成元,分别对应十个物理量:能量,动量(三个方向),角动量(三个,对应三个欧拉角),以及三个方向上的增速效应。或者用更加对称的说法,时空四个方向(能量+动量),四维时空共六个转动角动量,只是因为时间特殊,我们区分开来说而已。


好了,从上表可以看出,如果我们真正的物理空间是闵可夫斯基空间,而我们要对相对论进行拓广或者批判的话,那就应该从闵可夫斯基空间出发,对它进行修正,批判或者拓广。狭义相对论对应的平直空间是广义相对论曲面几何的局域平直空间,所以修正狭义相对论就同时修正了广义相对论。也就是说,鉴于存在多种看起来合理的推广方法,那么,通过分析爱因斯坦的引力理论(广义相对论)所遇到的挑战和困难,反过来也可以给大伙儿如何挑选拓展狭义相对论进行指导。

方法一:对洛仑兹群(也就是狭义相对论)进行拓展。鉴于洛仑兹群有十个生成元或者说物理量,拓展的群最好也有十个生成元,洛仑兹群是其一个子群。大家知道,这就是著名的庞加莱群。庞加莱群事实上不是庞加莱引入的,而是闵可夫斯基引入的,很温馨是不是?

方法二:用一种非欧几何代替闵可夫斯基几何,但在特例情形下,它必须退化成闵可夫斯基几何,也就是说,新的狭义相对论必须在特例情形下还原到普通的狭义相对论。从上表中的闽氏几何出发往上走,是伽利略几何和欧几里德几何,这不行,因为我们的物理发展是从伽利略几何到闽氏几何的,我们不能开历史的倒车。所以,和闽氏几何最“近”的几何,就是类似于从欧几里德几何出发,引入正负曲率分别得到黎曼几何和罗巴切夫斯基几何一样,我们这里也得到两种新几何:德西特(de Sitter)几何和反德西特几何,分别拥有正负曲率。

因此,如果说爱因斯坦/洛仑兹/庞加莱等人的狭义相对论只包含光速一个参量的话(从几何角度而言,参量光速的存在使得物理空间是闽氏的),德西特和反德西特空间就存在两个参量(c,r),这里 r 是曲率半径,也就是曲率的倒数,显然这比闽氏几何复杂。闵氏空间对应的变换群,洛仑兹群有十个生成元,对应十个清晰的物理量,但德西特和反德西特空间则有十四个生成元。

历史上,de Sitter本人就拿 de Sitter 时空观和爱因斯坦唱对台戏,不过爱因斯坦却对此不屑一顾,认为这不是物理。但 de Sitter 却无行我素,继续给爱因斯坦添堵。而且沿着这个 approach 添堵的人有不少,其中就有郭汉英。基本上可以说,郭汉英是大陆曾经de Sitter时空最主要的继承者。所以大家看到民科李子丰教授和官科郭汉英教授的区别了么?郭汉英懂相对论,而李子丰压根没挨到边,一个笨蛋而已。

当然郭汉英在这方面的工作,并非只是在狭义相对论这个层次,而是在新的广义相对论上(based on de Sitter spacetime)重新描述宇宙的一些现象,例如熵和温度,等。在传统的物理学中,熵和温度虽然本质上是统计概念,但并没有别的物理量可以很好的取代它们,但在 de Sitter 引力中,因为de Sitter 时空有额外的自由度(de Sitter 变换群有十四个生成元),这些额外的自由度拿来去解释别的物理量,至少数学上是可能的。至于这是不是 valid physics,那就看你如何看了。著名的大师费米就曾经对用额外的参数描述物理嗤之以鼻:“我记得我的朋友约翰·冯·诺依曼(John von Neumann)曾经说过,用四个参数我可以拟合出一头大象,而用五个参数我可以让它的鼻子摆动。”

率先将 de Sitter 的引力论引入大陆的,其实是几何学家陆启铿和华罗庚院士,特别是陆启铿,他在中国做了奠基性质的工作。随后郭汉英成了陆教授最重要的合作者。当然,这些东西很难说是 valid physics,也正因为如此,何祚庥才敢刁难郭汉英,例如阻挠他评选院士。郭汉英临死前还在为 de Sitter 引力呼吁,鼓励年轻人不要墨守成规,也不知到底是为了什么。

方法三:共形变换,亦即 conformal 变换。庞加莱群是共形变换群(所以洛仑兹群也是)。电磁学里的麦克斯韦方程组也是共形不变的,量子电动力学的 Dirac 方程也是共形不变的,如果不含质量项的话。这东西比较麻烦,我也不怎么懂,具体就免谈了。这里之所以提及,是因为这也是郭汉英研究的主线之一。据说共形变换群在二维情形下和 super string有密切的联系。当然这些东西很难说是 valid physics,不过一旦它们有迹象成为 valid physics,这就会是惊天动地的成就了。

浏览(5162) (6) 评论(21)
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文章评论
作者:紫荆棘鸟 留言时间:2015-10-01 05:05:42
test test
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作者:gmuoruo 留言时间:2015-09-19 13:10:21
多謝回答。你說的我已經知道大概了。問題並非相對論的數學部分,而是哲學含意。如你所說,愛因斯坦都解釋錯了。類似的,量子力學的哲學含意,波爾都沒搞清楚,要靠愛因斯坦解釋。愛因斯坦理解對了,指出量子纏繞的詭異,但現在人說波爾對了,愛因斯坦錯了。波爾若天上有知,一定不好意思。

出於這個原因,我覺得堅持一下無不可。
1.時間怎麼看都與空間完全不同,位移可以等於零,deltaT=0 是無意義的。
2.deltaT 可以變,但永遠不會取零值;
3.只要 deltaT 不是零, 速度自然不會為無窮大。
4.相對論不需要靠允許 deltaT=0 來解釋或辯護吧?這有點故意醜化牛頓的味道。

再次多謝,本人只是好奇,不能花太多時間多思考這個問題。好笑的是,又一次被提醒:時間永遠不是零。
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作者:紫荆棘鸟 留言时间:2015-09-19 06:40:50
老郭,咋回事?不是回答了么,那为啥不是正经回答?
[0 ,+$infty$)
就是速度取值是从 0 到 无穷大,$infty$ 那个斜杠被万维网站吃掉了。
其实这不应该是个问题啊,deltaS/deltaT,分子分母可以任意取值,所有 deltaS/deltaT 组成的集合的上确界就是无穷大,下确界就是0,这没问题吧。
一个人跑步100米,当然会花一定的时间,这是因为你只能跑这么快。但耶和华却可以在 0 秒内跑 100 米。这里时间和空间是独立的,对称的,张三既然可以在 20 秒跑 0 米,对称的,李四就可以在 20 米跑 0 秒。牛顿体系之所以被称为绝对时空,根源就是因为时空是独立的,从而存在速度是无穷大的“通讯联络”方式,使得两个参照系可以 talk 某个事件 without any delay,因此所有人都可以用位于天狼星某个地方的时钟(say)做他们的时钟,而不会带来任何问题,因为信息的传播可以是不花时间的。

但如果存在个 max speed,就不一样了,例如如果假设最大速度就是光速,30万km/s。
存在个最大的速度光速,并非是说,以前在牛顿力学体系中,太阳那儿发生了啥事,地球人可以瞬间就知道,而现在,地球人不得不在8分多钟后才知道就万事大吉了,情形实际上比这复杂不少,因为这种理解只不过是假设了宇宙中跑得最快的是光而已,时间和空间还是独立的。这种理解根本没有触及到本质。所以历史上尽管洛仑兹和庞加莱最先知道洛仑兹变换,但他们脑子里的时空结构还是时间和空间的直积结构,也就是时间空间彼此还是独立的绝对时空观,而没有考虑到时间和空间原来还是可以互相“牵制”的。这就是为啥爱因斯坦被认为是狭义相对论的主要发现者的原因。

狭义相对论对绝对时间的“打击”在两个方面
1)太阳上发生了啥,地球人需要八分多钟后才知道。那个位于天狼星或者哪里的时钟不能用来做普适的时钟了;
2)就算张三李四在某个瞬间在一起,但只要李四相对张三在动,那么李四一米八的个头,张三就会测得他实际上只要零点八米;李四打个电话花了一分钟,张三的测量却是两分多钟,say。
等。

1)的理解是 piece of cake。但这里有个 subtle 的地方。其实在绝对时空的牛顿力学中,尽管理论上的最大速度是无穷大,但人们实际上能找到的运动最快的东西,还是光速。但这只是意味着你目前能找到的最大速度是这么多,并不影响物理结构本身。物理结构上,时间和空间还是独立的,还是有个理论上的无穷大速度,还是有个理论上的绝对普适时钟。这时你得不出上述 2)那样的结论。

但如果你的physics是:不存在比光速还快的速度,那就截然不一样了。因为这时你的 deltaS 和 deltaT,或者空间和时间,彼此之间就必定会存在个制约,使得这个比值不能大于这个最大速度,否则速度就可能超过这个值。正是因为时间和空间彼此之间不独立存在制约,才会得出上述 2)那样看似违背常识看似荒谬的结论,这也就是当初狭义相对论遭到很多人抵触和反对的原因。
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作者:gmuoruo 留言时间:2015-09-19 05:03:04
不好意思較真一下。(你碼了這麼多字,竟然一個正經的回應都沒有,也會有“民科”的挫折感吧?)

anyDistance/anyTime,但 anyTime 是指deltaT,就不可能是零,因爲速度的定義就是一定時間內的位移。若讓 deltaT=0,則談速度毫無意義。所以,下面這個陳述邏輯上不成立。

“时间和空间是不能彼此独立的,而是相互制约的,否则的话,这个速度就可以是无穷大。”

既然物理的本質是哲學,物理學匠就不能獨霸了,文科生也可參與。
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作者:紫荆棘鸟 留言时间:2015-09-18 20:31:16
@老酷:谢谢。西陆那地方,我倒是有个不发帖的账号,刚才尝试发帖,被告知要手机+实名注册……

@老郭:就是 anyDistance/anyTime,当然这里我们只考虑数值,就是,用Tex符号表示,[0 ,+$infty$)

@木桩MM:华罗庚跑去 UCLA 给你们讲优选法?这比较令人头大,呵呵。
你们不认得郭汉英,可能与他名义上不算“数学家”有关。和陆启铿合作过的还有另一人,叫王世坤,可能你认得,不过我肯定是一无所知了。
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作者:木桩 留言时间:2015-09-18 19:45:21
紫鸟妹妹,陆启根我是知道的,他来过 UCLA,但是郭汉英就不知道了。
在 UCLA 时,还见到了华罗庚,杨乐。华罗庚给我们讲 优选法!
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作者:gmuoruo 留言时间:2015-09-18 19:11:50
你不可能不懂的。

我是不懂,但很確定你有關速度不能無窮大的證明不成立。

莫非這個證明是翻譯的?
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作者:coolboy 留言时间:2015-09-18 19:06:08
“你们平常也是这样谦虚吗?”
--- 我平常不这样谦虚的。平常去哪里会遇到象紫鸟和芹泥等这么高水平的文理兼修生啊?

顺便说一句,紫鸟的这一系列博文已在国内下一论坛上全文转载:

[趣闻轶事] 闲聊几句郭汉英(转载)
http://www.cfluid.com/thread-147468-1-1.html
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作者:紫荆棘鸟 留言时间:2015-09-18 18:36:13
哈哈木姊姊也来损我了?
我估计你们一家子都熟悉郭汉英和陆启铿吧?
后面那些东西你肯定也熟悉吧,就是从变换群,李群,因为时空是连续的,的角度描述狭义相对论,好处是从群的角度去看,会系统很多。当然李群的李代数结构并不能代替狭义相对论,因为李代数对易关系只决定局域结构,不能决定整体拓扑结构.
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作者:木桩 留言时间:2015-09-18 17:42:14
啊呀呀,紫儿啊,你看看,把楼上的几位宝贝蛋急的抓耳绕腮的。前半部讲圆锥的还能懂,后面讲物理的,我看不懂了。你要科普,就要假定我们听众是什么都不懂的傻瓜,然后,就像讲故事似的,边讲,边插几幅图画,我们就容易懂了哈。
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作者:紫荆棘鸟 留言时间:2015-09-18 17:26:53
回酱油帮帮主:那就当文理兼修生吧,没必要那么克扣自己,薪水奖金都不要了……

回郭沫若:作为一名文科生,俺虽然也不懂,但我知道抄点大家都觉得陌生的东西就能唬人。这也是一种strategy,对吧?
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作者:gmuoruo 留言时间:2015-09-18 16:49:42
"我也是文科生"?

大概是邏輯學的“文科生“吧?

看來物理學真地窮途末落了,要靠個“文科生”來解釋。

就哪怕是抄別人的,能抄成這樣也算是抄襲的最高水平了。我想大部分物理學匠們都沒能力抄。

受教了!

不過“时间和空间是不能彼此独立的,而是相互制约的,否则的话,这个速度就可以是无穷大。”對於本文科生來說是”胡扯“。只要時間不是零(不可能是零),永遠也不可能得到無窮大的速度。只有更大,沒有無窮大。

如果真要論證“这个宇宙根本不存在什么无穷大的速度”,那只有用“這個宇宙的空間不可能無窮大”來證明。

莫非本文課生錯過了什麼?
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作者:杭州阿立 留言时间:2015-09-18 16:16:05
本想说阿立理工男,但在紫鸟这里要冒充文科生了,因为看不懂啊,头也大了。现在一想,文科生在这里更完了。那就木有生吧。:-))
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作者:紫荆棘鸟 留言时间:2015-09-18 15:32:05
昨晚之所以发奋图强,并非是自己突然变勤奋了,而是 BBS 的冬冬时不时贴个类似的话题,我偶尔也插句嘴,这不,“兴趣”就慢慢转移到东拉西扯上来了……
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作者:紫荆棘鸟 留言时间:2015-09-18 15:29:12
谢谢芹泥MM, 老酷。你们平常也是这样谦虚吗?
其实刚贴出来时末尾写的是“待续”,准备再码个千来字“批判”现在的 Hamiltonian-based physics 的,后来一想,这个话题比较大,而且和郭汉英全然无关,所以就改改标题,补了个“完”字。

早就应该“完”了的,反正是东拉西扯,但最近比较懒,一拖再拖,昨晚才发奋图强,勉强画了个句号。
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作者:coolboy 留言时间:2015-09-18 15:05:28
好!
大谢!
75度仰视!
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作者:芹泥 留言时间:2015-09-18 14:42:56
太数学了,把俺数学细胞全部调动出来,还是不懂。从今以后我也是文科生了,(不敢承认学过数学)。

所以,我要大顶紫儿MM的数学启蒙。
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作者:紫荆棘鸟 留言时间:2015-09-18 14:23:52
谢谢红尘做客,我也是文科生,文科生向文科生问好!
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作者:红尘纽约 留言时间:2015-09-18 13:26:31
问好!

你分析的太高大上了!赞一个!


我是文科生,不懂“几何体系 expand”。不过,愿意学习一下。不懂再上来问。

很喜欢你的左宗鸡一文。你不会也是左家女儿吧?

周末愉快!
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作者:紫荆棘鸟 留言时间:2015-09-18 12:08:36
55555555,这就说明我写得失败,木有将这个话题写得通俗易懂的能力。谢谢海天,周末愉快!
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作者:海天 留言时间:2015-09-18 11:23:18
我就是进来表示一下佩服。太高大上了,从上篇的后一半,已经看不懂了。
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