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闲侃(10): 从初等数学题到引力波 2016-10-13 14:22:15

1)
近来比较忙,没怎么留意博主们的动向。这不,前几天见久不露面的思羽MM码了篇文章说什么汉语和满大人来着,心里一高兴,就冒冒失失地一个跟头扎进去,留了个言,结果差点儿没一个跟头栽出来。怎么也没料到思羽和沐岚两位居然在斗气。天!这友谊的小木筏说偏就偏,愣地不知去绕,去学那淙淙泉水绕过礁石吗?好在这友谊的小木筏就晃了几下,尽管一旁还有几位男同学莫名其妙地在灌水起哄,但小木筏总算没翻。根据网络RP守恒定律,这一定和两位MM平素的大度有关吧?我不知道,因为相关的因素太多了,例如鼓鼓的荷包。这人要是有钱了,闹别扭起来就自觉更有底气。男同学尤甚:显然的。

两位MM为什么闹别扭不太清楚,但好像和一位姓斯的德国哲学家有关。大家知道,哲学俗称折学,本来就绕;大哲学家谈哲学,自然就绕得更多更大更上一层楼,因为他们得维护其卓绝的声望。这是因为,万一名牌哲学家说错了,因为他们说得很绕,所以他们就有更多的回旋余地,说不定还可以趁机指责别人读不懂。这位姓斯的折学家呢,如果光绕也就罢了,偏偏还不务正业,借谈哲学的幌子贩卖民主和数学,结果将一位性情直率不绕的、另一位性情刚直不阿的MM搭进去不说,顺带还将万维几位数学家和民主学家惹火了。中秋刚过完,天气本来就时冷时热,让人防不胜防,何况有的同学中秋佳节请客时因为忽视初等数学,导致计算出了差错,亏了本。

2)
受过高等教育的才子因忽视初等数学而吃亏的例子不胜枚举,因此有些机警善于捕捉商机的才子就反其道而行之,重视初等数学,从而一举成名,甚至享受国务院特殊津贴。我见过的因研究初等数学而一举成名的最佳例子,是某位姓黄的大拿。据说这位黄姓大拿早年受过良好的德育教育,因此鼓吹吃大锅饭,爱好文革。以前因为看了许多火箭发射失败的新闻报道而痛心疾首,因而苦思苦想,发现根源在于人们对圆周率的误解,因为对圆周率的值估算错误,导致发射火箭时摇摆甚至失败,这其中最值得指着鼻子谩骂的罪魁祸首,就是古希腊的阿基米德阿老先生,因为阿老先生是世界上首位号称将圆周率精确到小数点三位的人;而且更可恶的是,他的研究导致后世数学家得出了圆周率是无理数这样的错误结论,因为圆周率的值是3.2,是个有理数。为了证明圆周率是有理数,黄同学不惜血本买了一台非常精密的天平,通过测量A4纸张及其内切圆的质量,而得出了这一非凡的科研成果,并且自费出版了一本 200 来页的专著。

重视初等数学在万维有着优良传统,特别是在bbs论坛,象灵机一动班主真实话语、贵宾妖妖等同学都是其中的好手。博客这块,昨天新朋友心有灵机出了一组初等数学题,虽然简单了点,但其意义在于在blog这块点亮了重视初等数学的航灯。这让我想起了很多年前,某同学给了我一个类似的题:用常见的数学符号连接四个9,每个数恰好使用一次,使得结果是 0-100 的各数。基本上是势如破竹,从 0-100 很快整出来了,惟独 94 是例外。它象土八路,追不上,甩不掉,咬不动,砸不烂。我苦思苦想了好几天,就是整不出,将我牙齿恨得痒痒的。不久就是期中考试,神差鬼使似的,有道题竟然是用数学符号连接4个9,使得结果等于1997。看到题后我屏住呼吸,但抑不住眼睛放光,心道好家伙,这题如果我整不出,别人希望也不大;如果我整出了,那我可能是班级单科第一名,不用说那是很光荣的......结果呢,我愣是没整出,牙齿再度恨得痒痒的。交卷后,我懊悔不已地走出教室,逮着数学课代表,
   我患得患失地问:阿牛好,你做出那道 1997 的题没有?
   数学课代表笑道:啊,牛?哪里。那道题我木做出,你呢?
   我如释重负地说:哎,我也木有。你是班里数学最厉害的,你都没做出,可见算偏题吧?
   数学课代表点头:嗯诺。

后来数学老师训斥道,做不出的题就是偏题?岂有此理。是你们笨,怎么想不到用对数?

好吧,这题属于苦力活,有些善于投机取巧的炒股大拿可能不屑一顾,那么我给大家出个不属于苦力活的题,这是以前在论坛BBS灌水时真是好玩同学出的题,大家不妨一试。只需加减乘除,连对数阶乘之类都不要。这题有点绕,但并非脑筋急转之类,而是实打实的计算和逻辑思维。

    一天,阿凡提拿出一套卡片,上写从 2 到 100,共 99 个数,每张一个数。阿凡提随机抽出两张卡片,相加之后把和告诉A学霸;相乘之后把积告诉B学渣。当然,A学霸和B学渣都不知道对方的结果是什么。于是有如下一段对话:

    A学霸对B学渣说:学霸我不知道那两个数字是什么,但是学霸我肯定学渣你也不知道。
    B学渣对A学霸说:学渣我本来不知道,不过学霸你这么一说学渣我就知道了。
    A学霸对B学渣说:那学霸我也知道了。

    阿凡提:阿拉伯随机抽出的那两个数是什么?


3)
前不久我转载了应行仁前辈的"芝诺悖论解决了吗?(ZT,by 应行仁)"一文,大家讨论热烈,其中包括万维第二大数学家闲人闲先生等名家。在讨论芝诺悖论时,闲人将梯度散度旋度和相对论都搬出来了,比较高深,我看得有点懵。为了制止闲人教授在我那里兜售高大上的学问,或者冷不丁地扯出西风漂流和霹雳舞,我于是灵机一动,给闲人教授出了几个相关的初等数学题(略有改动):

……所以我就临时出几个初等数学的题,向你请教,也就是几进制。这里我计划向你请教四种进制:e-进制,0.5-进制,-2-进制,-0.5-进制。不要去狗答案,因为这是我昨天临时出的题,online估计没答案。一个数有几进制表示,无非就是一种表示,不会影响它的本质,对不对。
先看 e-进制,这可能是这四个问题最简单的。比方说,
   在2-进制中,十进制中的 2,就表示成 10;
   在8-进制中,十进制中的 8,就表示成 10;
   在2-进制中,十进制中的 1/2,就表示成 0.1;
   在8-进制中,十进制中的 1/8,就表示成 0.1;
这些没问题吧?所以你开发的e-进制,用它去表示e,它就应该是10;e的平方就是100;用它去表示1/e,它就应该是0.1。这应该作为一种基本的要求。
现在给你几个问题:

b)在e-进制中表示十进制中的100;
  p.s.:你知道某个数的本质是不会随着几进制的表示而改变的,就如同空间中的一个点,在不同的坐标标架下会有不同的数值,但它的性质却不会改变,不能因为你选什么坐标系它的性质就会改变,对吧?所以现在问题来了:你知道e是个无理数,但它在e-进制中它却表示成10,这是个“整数”。这不是意味着e不再是个无理数?
c)在 0.5-进制中表示十进制中的100;
d)在 -2-进制中表示十进制中的100;
e)在 -0.5-进制中表示十进制中的100。
f)如何开发1-进制理论?

闲人教授才华横溢,但惜乎秀才遇到兵,有理说不清,闲人教授在这组看上去略有点偏的题面前看上去终不得要领,于是决定无理取闹,指责我道,你这几题不仅属于偏题怪题,而且木答案。这是典型的坑人。

4)
我坑人? 我是万维资历中老的博主,熟悉我的人都知道我不会出什么偏题怪题的。为神马?因为第一,我谦虚谨慎;第二,我仁慈善良;第三,我不会找谁借钱;第四,更不会借钱不还。显然,我宁可委屈自己,也断然不会出什么偏题怪题。何况人生苦短,大家每年先得历经严冬,然后一边交苛捐杂税一边打肿脸充胖子笑着说这是光荣的义务,随后还得苦挨酷夏。出偏题怪题,损人不利己,那是何苦来哉。何况这题太偏太怪的话,那可能会招致别人的数落甚至怒喝谩骂,效果无非相当于增加点熵,制造点混乱浑沌而已。世间本无事,庸人自扰之而已。不是吗?伟大的波尔兹曼就被自己的熵理论扰得不行,再加上伟大的赫兹在一旁无情地数落挤兑,伟大的波尔兹曼果然抛不开那份落寞,潸然泪下,在孤独彷徨中自杀了。

大家看看,比如说土星的光环,那都是些神马?无非是些无知的蠢物,例如尘埃和冰渍,对吧?但我们这些自称有智慧、有灵性的灵长目高级生物,却好没来由地主动放下身段和尊严,称赞那些尘埃和冰渍等无知的蠢物真的好美丽端的好潇洒。如果张三敢说土星的光环并不美丽,我们就会趁机嘲笑张三悟性差,木艺术细胞,说不定连那大专文凭都是靠舞弊混来的。

说不定真的是大道至简呢。反正自爱因斯坦和希尔伯特之后,我们就越来越善于归纳简单的原理,然后从这些简单的原理出发,用演绎的法子构造出既美丽又辉煌的玉宇琼楼。这甚至成了一种时髦。有些琼楼其实是空中楼阁,但我们不在乎,因为它们看起来很美。我们已经解决了温饱,所以好美就等于美好。人生旅途多是孤单枯燥、崎岖颠簸的,乏味得很,我们需要给自己那颗孤寂得快干涸的心儿一些儿滋润,一些儿震撼。

记得以前有人在 BBS 讨论曾经受过的数学基本训练,例如做习题之类,大家多推崇苏联吉米多维奇编写的习题集。吉米多维奇习题集有两套,其一是供数学系学生用的,另一套是供工科类学生用的。前者无疑要难一些。其实对喜欢动脑筋的同学来说,可能有些同学知道,还有一套习题集要好得多,那就是由波利亚主编、舍贵协编的"数学中的问题和定理"(有汉译本,书名大致如此,我家有一本,但可惜留在了长沙老家)。这套习题集的特点是,其问题都是一个系列一个系列的,彼此之间有关联,每个系列有几个到一、二十个问题不等,由浅入深。开始的问题很简单,例如说涉及复变函数某系列的,开始可能就是算算简单的导数或者简单的留数什么的,但系列后面的问题往往是数学研究的前沿问题,很难。因此你如果能大体上看明白某个系列,那绝对有种心旷神怡的感觉。吉米多维奇编写的习题集属于苦力性质的,波利亚的习题集才是名篇大作,因为它同时也是谋篇布局挺讲究的教材。

5)
大家注意到了,在4)中我看上去海阔天空地罗里罗唆一堆,再看看标题,我是不是跑题了?可能,但其实没跑什么。这里再回到问闲人教授的那几个初等数学进制问题。如果在那几个问题前我再补加几个简单的问题,例如(有些眼尖的同学可能注意到了,那里第一个问题标号是 b)而不是 a)):

a1) 用 2-进制表示十进制中的 100;
a2) 证明:如果十进制中某数的各位的数字之和能被9整除,那么这个数也能被9整除;
   证明:如果十进制中某数的各位的数字之和能被3整除,那么这个数也能被3整除;
a3)将 a2)推广到任意进制,特别这个进制可能是象 -0.5 这样一来的进制。


大家看到,a1) 实际上是图森破图那义务,对不对,a2) 也是小菜一碟。a3) 麻烦点,但 a3) 的麻烦是因为进制的基数是象 -0.5 这种有违通常直觉的基底,而不是因为推广本身。这里的问题 a) 连带之前的 b) - f),马马虎虎算个问题系列,虽然都简单,但它们之间确有某种由浅入深的"递进"关系,它们多少有点类似于三角函数和双曲函数的关系,或者欧氏几何和经典非欧几何的关系(不是说有关,而是形式上的某种类似,特别是涉及到正负符号时)。如果谁真懂相对论,对这个应该是很敏感的。因此我草拟这个题,倒也不是完全无的放矢,尽管有点小题大作,因为闲人教授在芝诺悖论里确实在谈论相对论。

还记得之前的一个热点话题:引力波吗?那段时间有几个频率很高的词汇:引力波、(霍金的)时间简史、相对论、时空弯曲,等。例如许多同学看了几章时间简史后,就依照网络科普来点照葫芦画瓢,例如用时空弯曲去说明/证明引力波应该存在。其实这是不对的,因为引力波的存在根源是因为光速有限,而不是因为别的;只要这个根源是个客观事实,无论你怎么描述表述你的理论,引力波都会存在,充其量只是表叙方法不同而已。但时空真弯曲了吗?不是的。时空谈不上弯曲不弯曲,大家之所以说时空弯曲,那是在广义相对论框架下说的,而广义相对论整体上,从本质而言,并不是一种物理理论,而是一种描述/表述方法,例如它就从不回答也回答不了引力到底是神马,它只是告诉你,你如果用微分几何,你就能优美地表述引力而已。因此,时空弯曲是个因为引力的表述方法(微分几何)的选择而 derived 出来的名词,它本身不包含物理信息,因此它当然就解释不了引力波为什么应该存在,因为描述引力,微分几何(从而广义相对论)并非是必须的。

有点类似的,物质的微观结构现在用李群描述,但这不是必须的,但人类和上帝差太远,咱们实际上是很笨的,没有多少办法去描述我们想描述的,再加上李群确实有效,所以它就 embed 到物理教材里去了。老爱之所以伟大,是因为他从很简单的看起来很make sense的原理出发,发现了某种数学方法去描述物理某个分支,因为这种描述方法的很 robust (废话,math 么)很 powerful,它反过来左右支配了这个物理分支的进展。

这几天芹泥、高鹏等人都陆续说了些故事,例如统计物理大哥大波尔兹曼,就被他自己创立的理论弄得精神崩溃。以前大家为个动能动量而争得面红耳赤,为原子分子存在与否闹得不欢而散(波尔兹曼就因此而自杀)。现在呢,这些东西都可以在更基本的假设下合理地从数学 derive 而来,包括以前看起来非常基本非常robust的定律例如能量守恒定律,都无非是些推论而已。我们的描述方法越来越简洁,越来越 robust,依赖的原理越来越少,而大千世界的复杂性则归结到哈密顿量的复杂性里去了,但那不是描述方法的复杂。

因此,现在物理所依赖的数学方法虽然越来越复杂(again,这种复杂性很大部分原因可能不是因为它们本来应该复杂,而是因为我们人类太笨,只能如此罢了),但 build up 物理体系的基本原理却是越来越简单,越来越看上去 fundamental。例如你如果能顺利地解答进制问题,那么学明白初等的非欧几何就没问题,而这是理解同时性的关键。然后再加上协变原理和最小作用量原理(将能量守衡、动量守衡之类先抛一边,这些是推论,更复杂一点的东西),这就足够了。而这只需要很基本的知识。

大道至简?Possibly。科学的本质虽然是归纳的,但我们越来越依赖演绎,也越来越钟情于演绎。虽然科学受制于实证,但正如数学也需要受制于可能是先验的逻辑一样,在保证这个前提下,我们就可以天马行空。因此数学的本质是主观的唯心的,而物理的描述方法也同样可以是主观的、唯心的,而唯心的东东总是比唯物的西西更接近唯美。

浏览(2761) (13) 评论(97)
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文章评论
作者:小思 留言时间:2017-01-07 12:36:48

紫荆棘鸟朋友您好!谢谢好文,深度领教,受益匪浅!一年一度,我给您拜年,祝新年愉快,恭喜发财,身体健康,事事如意。

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作者:紫荆棘鸟 回复 该博客已关闭 留言时间:2016-11-10 06:53:24

呵呵,建议将博名改为“博客未关闭”,发几篇博文上来吧。

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作者:该博客已关闭 回复 紫荆棘鸟 留言时间:2016-10-27 19:41:41

紫鸟博好,特别声明一下:这是第一次在万维交流。

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作者:紫荆棘鸟 回复 杭州阿立 留言时间:2016-10-27 15:04:16

阿立久违了。你是说“该博客已关闭”吧?看起来这是位老博主,但我没 figure out 是谁。还有,你也多在这里露面吧?好像很少见到你了。

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作者:杭州阿立 留言时间:2016-10-27 05:09:41

坐在海底以为安全了,居然被关博的千有引力引导来此。向关博学习、致敬

原来紫鸟在灌水啊!

居然灌的海底起波澜。虽然一窍不通,佩服更甚

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作者:紫荆棘鸟 回复 coolboy 留言时间:2016-10-22 10:54:32

酷同学好,这不就是灌水吗?高等数学不会砍了,呵呵。你说得也是,万维以政治家居多,哪天你侃侃大气物理,让他们发懵。

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作者:紫荆棘鸟 回复 QWE 留言时间:2016-10-22 10:50:34

老Q好,顺祝在新地方做出一番成就,大嫂也一起回去了吧?

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作者:紫荆棘鸟 回复 ladybug 留言时间:2016-10-22 10:49:11

呵呵,瓢虫MM最近也难觅芳综了,万维少了一道风景。

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作者:紫荆棘鸟 回复 海天 留言时间:2016-10-22 10:47:06

海天好,你最近也沉寂了?米国大选如若换着是加拿大大选,你一定会评论一番吧。

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作者:紫荆棘鸟 回复 该博客已关闭 留言时间:2016-10-22 10:45:32

有道理,无进制算一种退化情形。

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作者:coolboy 留言时间:2016-10-20 08:15:46

过来支持一下紫鸟的帖子!这种高质量的、专业性很强的帖子一般也是少数人能看懂,极少数人才能写得出来。紫鸟的文字功底则又大大地增加了文章的可读性,再赞!不过论坛上讨论科学(尤其是数理化学科)问题的帖子或发言则多数是带有些“民科”味的闲论。类似地,从事政治生涯或做总统其实也是一份专业性很强的职业。只懂得“初等数学”即一些个体片面表象外带喊上几句口号,而不知“高等数学”即各类事件对一个大国总体生存发展的关系及有效的施政措施,则多半也会对国家产生更负面的影响。

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作者:QWE 留言时间:2016-10-19 22:47:39

紫鸟的数学贴看不懂,人多说明写得好

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作者:ladybug 回复 紫荆棘鸟 留言时间:2016-10-18 14:09:46

谈数学,俺两眼发直。不过,紫妹妹字里行间的诙谐和机智俺是非常欣赏滴!

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作者:该博客已关闭 回复 该博客已关闭 留言时间:2016-10-17 13:53:23

想了想,限制位数不超过a的b进制表达式是可以建立的,而且是表达是唯一的。

那么这个表达式“退化”到1是什么情况呢?就是自然数n的表达需要n个1来表达。也就是,以这种方式生成的1-进制,实际上是从有进制“退化”到无进制。

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作者:海天 留言时间:2016-10-17 13:10:21

还好还好,万维有个回复排行榜,漏掉的好文还有被补看到的可能。这篇里弯弯绕太多,不过“大道至简”,我看明白了大概意思,就是紫儿MM驭着数学物理双驾马车一通狂奔,顺便把万维的人和事给捎进去了。我前几天读到篇文章,讲用欧几里德逻辑方法分析政治。一跨界自然就妙趣横生了。

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作者:该博客已关闭 回复 紫荆棘鸟 留言时间:2016-10-17 12:36:28

但是,另一方面,a的表示最多需要a个1,不需要无限长的数字。所以,要使得b能够“退化”到1,需要建立一个b进制表达式,使得对任何b,b进制的表达最高位数不超过a

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作者:该博客已关闭 回复 北雁高飞 留言时间:2016-10-17 12:06:46

你这么一说,我都不能说谢谢了。

那就说半句吧: very much.

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作者:该博客已关闭 回复 紫荆棘鸟 留言时间:2016-10-17 12:04:30

如果是Hilbert问题,那么由Dijkstra躺在床上化6个小时在脑中解题,也是一件美谈。

我想我有点理解你的想法。问题在这里:

假设 a = b ^n,即 n = ln(a)/ln(b), n的整数部分,就是a在b进制中的最高位数。b->1, ln(b)->0, n->无穷大。所以b“退化”,意味着a的表示是无限长的一串数字。

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作者:特有理 回复 特有理 留言时间:2016-10-17 11:47:24

P和Q中间的符号被万维搜刮走了,其它的符号我也不会写了。想怎么理解都行啦。嘿嘿:))

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作者:特有理 回复 紫荆棘鸟 留言时间:2016-10-17 11:43:55

实际上,P与Q不是=>的关系,因此前提P=>Q不成立。

此问题中,应该是PQ。

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作者:北雁高飞 留言时间:2016-10-17 11:22:38

咱是学工程的,见到数学绕弯题,也绕道走。:-)

进来就是给紫儿问个好!祝秋安!

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作者:北雁高飞 回复 该博客已关闭 留言时间:2016-10-17 11:19:09

给关博的“显摆”点赞!

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作者:紫荆棘鸟 回复 该博客已关闭 留言时间:2016-10-17 10:43:01

谢谢,我等下去看看Dijkstra的思路。刚才狗了一下,好像“阿凡提”问题是 Hilbert 先提出来的。<br>

按通常的理解,1-进制自然不可能,无解。但你如果鼓捣出了 b > 1 and b < 1 的进制,将 b =1进制看成是两者的“退化”情形,并非不可能,但我没有 clue。<br>

当然这是网络游戏,进制只是数的一种表示,并无本质意义。

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作者:溪谷闲人 留言时间:2016-10-17 10:21:57

“发现引力波”的重大意义在于:“引力场”有可能是“无源场“,或者存在一种超出引力场范围的“无源”力场。按照万有引力定律以及经典力学,引力场是有源场。

这一点,类似于电磁学中的有源电荷电场(称为散度场),和无源的

电磁场(称为旋度场)。

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作者:该博客已关闭 回复 紫荆棘鸟 留言时间:2016-10-17 09:49:18

在描述中选择b>1是因为需要表示 0<= digit < b。1/b的情况,因为已经在前面0.5进制中讲过,所以没有再提。

进制问题,最终还是需要进位的,比如逢10进1。我的理解,进制至少需要二个digit。退化为1个digit,就变成无差异,没有熵了。

我的一些回复夹杂在下面你的回复中了,包括Dijkstra的阿凡提问题的解题思路。

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作者:紫荆棘鸟 回复 紫荆棘鸟 留言时间:2016-10-17 08:19:00

说错了,当 N < 400 时,解还是唯一的,但是到了 500,就有 2 个解答:(4,13) and (4, 61)

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作者:紫荆棘鸟 回复 绿岛阳光 留言时间:2016-10-17 07:34:07

哈哈,绿岛好,不过我也像牧人说的那样,时不时射出一枝冷箭。

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作者:紫荆棘鸟 回复 该博客已关闭 留言时间:2016-10-17 07:31:17

b<1 也可以的,你将小数部分和整数部分对个调不就行了。关键是 1-进制我没 clue,协调不出一种 strategy 来使得1-进制是 0<b<1-进制 和 b>1 进制这两种东西的“退化”情形。

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作者:该博客已关闭 回复 该博客已关闭 留言时间:2016-10-17 07:27:40

http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd06xx/EWD666.PDF

http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:GPzitTohUn0J:www.cs.utexas.edu/users/misra/Notes.dir/product%2Bsum%2Bknowledge.pdf+&cd=2&hl=en&ct=clnk&gl=us

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作者:紫荆棘鸟 回复 老度 留言时间:2016-10-17 07:27:04

老度好,那我也来篇 application 方面的。到时也请指教。

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