做道数学题

  据说这是美国中学生竞赛题目。或许人家有数学天赋的小孩子三下五除二，即刻便做了出来；但对我这个老头儿却想了很久。此题用不了多少计算，但需要逻辑推理。题目如下：

  小明考了7次测验。每次成绩不同，都在91到100之间（包含）。都是整数。他每次考后都计算平均分，也都是整数。他的第7次测验是95分。求他的第六次的测验成绩。

  根据题的条件，七次考试的分数都是整数，在91到100之间，每次都不重复；每次考试后计算出的平均分也都是整数。我首先想到的是，前五次测验的平均分的个位数应该是0；五个数相加后的平均数如果是整数，个位只能是5或0，因为第七次已经95分。前五次考试分数之和在466和490（91+92+93+94+96和96+97+98+99+100）之间，由此推出，前五次分数之和是470、480和490。先这样推理好像有点没头没脑哈。放一放，先算七次测验的分数累计吧。

  现在已知七次测验的三个分数91、95和100，相加286。另外四个未知数都大于91，小于100，也就是92至99之间（扣除95），四个未知数相加之和在375（92+93+94+96）到390（96+97+98+99）之间。那七次测验分数之和是661（375+286）到676（390+286）之间。这些数据有多少能被7整除？只有665、672。

  这两个数据减去第七次测验分数95后是570和577。前六次测验分数之和显然不能是577，因为此数不能被6整除。现在得出，七次测验分数之和是665分，前六次测验分数之和是570分。

  现在我们已经计算出前五次测验分数之和是470、480和490。570减去480或490是90 和80，已知测验分数90之上（不含90）。现在我们由此推出前五次测验分数之和为470分。因为前五次测验分数之和和前六次测验分数之和的差是100，由此推断，第六次测验分数就是100。

  那前五次每次测验分数是多少？呵呵，人家没问你这个问题，你就不必计算了。你一定要我算，我只能很笨地在91到99（不含95）这八个数据中瞎碰。那计算量可太大了，也没什么逻辑推理。这八个数字是91、92、93、94、96、97、98和99。经过反复测试，得出第一次到第五次的测验分数是92、96、91、97和94；这五个分数符合题给定的一切条件。计算这些数据的小窍门，前两次测验分数之和被2整除，前三次测验分数之和被3整除，前四次测验分数之和被4整除。我“多此一举”地计算是为了证明出题者不是随随便便出的题。当然，前五次测验分数各是多少的推算估计会有更好的办法，我现在想不出来。

  下面我想说说为什么我会这道美国中学竞赛题感兴趣。看看美国中学生数学竞赛题，着重逻辑推理。就这道题的逻辑推理来说，没有多少必须先要掌握的数学计算技巧，我想会四则运算就可以了。剩下的就是推理的方法。我翻过来倒过去地瞎折腾了半天，最后才决定从七次测验分数之和减去前六次测验分数之和；再用前六次测验分数之和减去前五次测验分数之和来求第六次测验分数。显然，前六次测验分数之和和前五次测验分数之和之差就是第六次测验分数。如果思路正确，这道题会非常迅速地求出来。

  我在中国大陆生活了37年，对中国的数学考试有体会。考试主要是靠计算技巧，逻辑推理是其次的。我知道中学数学要学的计算技巧很多，也有必要学（对数、三角函数、平面几何、多次方程和代数等等）；然而我相信，一个搞数学的人，最重要的是他的逻辑推理能力。我在中国大陆上学时还有个感觉，就是对一般不靠数学知识作为工作工具的人来说（比方学文科的），学得实在太多了！没必要。有时上数学课简直就是在搞“数学游戏”（我不知道数学竞赛是否都以计算技巧为主）。中国的数学教育如此，其他学科也是如此，学习的实用性差。总的来说，中国人传统上是不注重逻辑推理能力培养的。

  还有点感想，讲出来恐怕太主观。我认为很多国人的逻辑推理能力差和传统观念有关。比如评价一个人的历史作用往往非好即坏，特别的“爱憎分明”。对毛泽东，要么是恶魔，要么神一样的“伟大领袖”。毛泽东在这些人眼里永远不是人（说他是神和恶魔，其本质是一样的）。再者，很多人往往强调个人在历史上的决定性影响，对制度上的原因往往忽视。中国因为传统专制制度，人治是肯定的。其实正是因为中国是传统专制制度，是实施人治，专制统治者才能为所欲为。如果我们仅仅“鞭尸”毛泽东，对传统的专制制度不予以彻底批判，甚至不自觉地认为专制制度“符合中国国情”，我想您在毫无政治权利情形下是等不到“贤君”的。请记住：绝对的权力导致绝对的腐败，普通百姓是必然的受害者。