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网络日志正文
关于定理(theorem)的定义 2016-05-05 11:46:11

在一个普普通通的定义上较劲,却又不肖理会一下整个数学界的基本共识。这就是中国人的任性之处。事实上,在所有的真命题当中,能够满足其逆命题也为真的比率应当等于零(溪大炮知道为什么吗?)。这样的东西很少,毕德格拉斯定理(勾股定理)恰好是这样的一个定理,即其逆定理也成立。因此,溪大炮的说法纯属瞎掰。不过,俺挺喜欢溪大炮的,就像革命党人喜欢孙大炮的道理差不多。

以下是网上(http://mathworld.wolfram.com/Theorem.html)关于定理(theorem)的定义,并没有要求其逆定理也必须成立,才配称为定理一说。

A theorem is a statement that can be demonstrated to be true by accepted mathematical operations and arguments. In general, a theorem is an embodiment of some general principle that makes it part of a larger theory. The process of showing a theorem to be correct is called a proof.

Although not absolutely standard, the Greeks distinguished between "problems" (roughly, the construction of various figures) and "theorems" (establishing the properties of said figures; Heath 1956, pp. 252, 262, and 264)。

According to the Nobel Prize-winning physicist Richard Feynman (1985), any theorem, no matter how difficult to prove in the first place, is viewed as "trivial" by mathematicians once it has been proven. Therefore, there are exactly two types of mathematical objects: trivial ones, and those which have not yet been proven.

The late mathematician P. Erdős has often been associated with the observation that "a mathematician is a machine for converting coffee into theorems" (e.g., Hoffman 1998, p. 7). However, this characterization appears to be due to his friend, Alfred Rényi (MacTutor, Malkevitch). This thought was developed further by Erdős' friend and Hungarian mathematician Paul Turán, who suggested that weak coffee was suitable "only for lemmas" (MacTutor, Malkevitch).

R. Graham has estimated that upwards of 250000 mathematical theorems are published each year (Hoffman 1998, p. 204).

 

 

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文章评论
作者:Sr. Loonie 回复 嘎拉哈 留言时间:2016-05-24 11:19:36
网上不是有个段子么某些人会迫使你把智商降低到他们的水平,然后再以他们最擅长的方式打败你。所以,我们就不要再跟一个“民科”计较了。你说呢?
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作者:嘎拉哈 回复 嘎拉哈 留言时间:2016-05-06 18:10:55
没说清楚。尤其是用概率的说法,更让人糊涂。
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作者:嘎拉哈 留言时间:2016-05-06 08:23:28

还是紫鸟理解俺。我的这个臆测虽然是形而上学的,但是其实跟“一个长方形是正方形的概率等于0”的道理是类似的。对于任何一个真命题来说,它属于“逆命题为假”的概率,应当远远大于属于“逆命题为真“的概率。这是因为,一切真命题,都假逆命题的真子集。逆命题为真,相当于两个集合完全重合这一特殊情况。

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作者:紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-06 07:56:12
闲人,你打字快,善于灌水,精于混水摸鱼,金蝉脱壳,反客为主等妙计,我给你留个思考题,你看能不能码个帖子(主贴最好)阐述阐述以下 statements 有没有表面上甚至本质上的联系:<br><br>1)原命题等价于其逆否命题;<br>2)否定之否定等价于肯定;<br>3)以毒攻毒和给做美梦的人注射琼瑶蜜汁是一回事<br><br>另:像以毒攻毒这种妙计为什么没有列入三十六计?时代在发展,科技在进步,如果现在要将36计扩充一下,你觉得扩充到多少计为好?
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作者:紫荆棘鸟 回复 嘎拉哈 留言时间:2016-05-06 07:41:05
兔子厉害!我在想,如果谁能成功组织一场溪谷闲人对兔子的辩论擂台赛,那也应该算好事吧:辩论者双方辩得尽兴;观众也一下子能看懵觉得双方都是人才;网站人气流量增加。不只是双赢,而是三赢。
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作者:紫荆棘鸟 回复 gugeren 留言时间:2016-05-06 07:32:45
牛顿三大定律与爱因斯坦的相对论,前者的使用范围小,后者则大---------------其实这种说法是不对的,牛顿经典力学和爱因斯坦的相对论,“使用范围”其实是一样“大“的,因为从数学结构而言,两者是对等的,只是咱们这个世界就现有的认识看,是属于相对论的而不属于牛顿经典物理的。如果人类不那么笨,或者如果人脑天生能容易 adapted to 相对论时空,不是像现在这样天生容易 adapted to 伽利略时空,那么经典物理就完全可以抛弃不学,因为不需要。
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作者:紫荆棘鸟 回复 gugeren 留言时间:2016-05-06 07:14:38
不过,那也不像博主说的,“比率应当等于零”,倒还是蛮多的。<br>-------------------<br>基本上是0吧,当然这个“比率”没有定义好,不过按照直观上那种理解,比率应该是0,你考虑个局部和整体之间的关系就可以了,例如你可以写出无穷多个正确的命题。也就是定理:<br>根号2是无理数;<br>e 是超越数;<br>3/5是有理数;<br>……这些都成立,但逆命题是不成立的。<br>
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作者:嘎拉哈 留言时间:2016-05-06 07:11:10

<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/hVoW2Qgxvy0" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>

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作者:紫荆棘鸟 回复 嘎拉哈 留言时间:2016-05-06 06:40:01
兔子用超越数证明地球是宇宙唯一有生命的星球<br>------------------------------------------<br>有这种事?但这种假有什么值得去打的。纯粹搞笑么。过去兔子几年为了“范例哲学”进行了艰苦卓绝的推销,这种论断只需一例就足以让他自毁长城了。
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作者:紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-06 06:08:02
嘎子,删掉重复的吧。万维这破程序,唉。
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作者:紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-06 06:07:08
怪了,我发的帖子呢?明明显示发出来了,但转眼间就不见了。
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作者:紫荆棘鸟 回复 嘎拉哈 留言时间:2016-05-06 06:03:13
你也真严肃,发这种帖子,回这种帖子,应该抱着灌水的态度。否则你一严肃,就中了闲人的诡计…… 另:我没觉得闲人将“原命题等价于逆否命题”弄混了,因为我曾经见过他将这句话背诵过,写了出来;而且他的帖子也没表明将这句话弄混了。他的帖子都是为了“只有逆命题原命题都成立的命题才能称为定理”服务的,当然这些帖子要么就是错的,要么就是故意混淆视听(因为这本身就是无稽之言)。以前我没判断出的是,闲人是不是因为面子的关系故意胡搅蛮缠。现在的判断是:YES。这也是我楼下说闲人很 cute 的原因,因为他现在肯定知道“只有逆命题原命题都成立的命题才能称为定理”是不对的,无稽之谈,但他口头上绝不认输,他为了defend他自己做出了艰苦卓绝的努力,包括故意混淆视听,你说这种人能不 cute 吗?你看他都说了: gugeren补充的对; 紫鸟总结的很好; …其实紫鸟所说的都是反驳他的,他即使理解不了我的帖子,也不会不知道我在反驳他。他之所以说紫鸟总结的很好,是因为这里你是帖主,而且紫鸟一般只灌水,不 attack 人,所以我即使 100% 反对他,也不会将他逼入墙角,但你不一样。他帖子的目的不是试图说服你,也不是试图说服他自己,而是试图让那些点击过这个帖子的、但判断不出谁对谁错的人(论坛上文科生很多的,对不对)去相信去猜测闲人其实是对的,或者闲人至少在试图让这些人判断不出谁对谁错。所以他宁肯说“紫鸟总结的很好”,就冲这么一句,我十有八九就懒得批评闲人了。因此场面上,闲人倒貌似占了上风似的。
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作者:嘎拉哈 回复 溪谷闲人 留言时间:2016-05-06 05:38:03
万维莆田系泛滥成灾。俺下一个打假目标,是兔子用超越数证明地球是宇宙唯一有生命的星球。别提有多搞笑了。
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作者:嘎拉哈 回复 嘎拉哈 留言时间:2016-05-06 00:11:46
我倒要看看,这高家庄的地道里,到底能盛多少水!
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作者:嘎拉哈 留言时间:2016-05-06 00:08:00

<p>维基关于定理和逆定理之间的关系的解释(https://en.wikipedia.org/wiki/Converse_(logic)</p>

<p>Converse of a theorem[edit]</p>

<p>In mathematics, the converse of a theorem of the form P → Q will be Q → P. The converse may or may not be true. If true, the proof may be difficult. For example, the Four-vertex theorem was proved in 1912, but its converse only in 1998.</p>

<p>定理的逆定理</p>

<p>数学上,对于P->Q型的定理,其逆定理为Q->P. 一个定理的逆定理未必成立。即便是成立,证明起来也许也会是困难的。例如,四顶点定理早在1912年就已经被证明。但是直到1998年,其逆定理才被证明。</p>

<p>小子诶,还有什么可以狡辩的吗? </p>

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作者:嘎拉哈 留言时间:2016-05-05 21:58:41
<p>【要使一个命题成为定理,就必须经过“原、逆命题”都成立的证明。绝无例外。即便一些看似毫无问题的“猜想”,最著名的猜想莫过于“哥德巴赫”猜想,至今也无人可以证明,计算机再发达,至今也束手无策。】</p><p>----- 用溪大炮的茅,戳溪大炮的盾。哥德巴赫猜想之所以还没有被证明,并非是因为它的逆猜想没能被证明,而是因为猜想本身就没能被证明。换言之,假如当年陈景润证明了正猜想,但只因没能证明逆猜想而不被国际数学界承认,那中国人要不被气疯了才怪。这回傻了吧。</p>
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作者:嘎拉哈 回复 紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-05 16:17:40
<p>我也搞不懂溪大炮的问题到底处在哪。从最近的辩护来看,他的问题似乎是混淆了(或者记错了)”逆命题“和”逆否命题“的区别。但是又不不好意思认错。只好东拉西扯。事实上,一个命题的真假,与其逆命题的真假,是两个独立的问题。例如,毕达哥拉斯定理,与其逆定理,应当被视为两个独立的定理,因为需要各自单独证明。</p><p>一个命题与其逆否命题原本在逻辑上就是恒等的。因此,只需证明其一即可。这小子显然是搞混了。</p>
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作者:gugeren 留言时间:2016-05-05 15:19:26

另外,<定律>主要是从实际中归纳出来的一些规律,自然科学和社会科学中都有;应该是可以加以证明的,即可以把符合定律要求的数据或事实放入定律中去,然后得出定律的结论;否则这个定律应该就有错,至少只是一个在有限范围内的定律。

例如,牛顿三大定律与爱因斯坦的相对论,前者的使用范围小,后者则大。

定律与定理之间的区别,在于前者主要是通过归纳事实而得出的,后者主要是通过逻辑演绎而得出的。注意“主要”2字。

一己之见,供各位参考。

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作者:嘎拉哈 回复 溪谷闲人 留言时间:2016-05-05 15:10:14
<p>【要使一个命题成为定理,就必须经过“原、逆命题”都成立的证明。绝无例外。】</p><p>----- 谁要是在告诉我中共是唯一不讲理的中国人,我跟他急。没有逆定理就没有定理的说法,跟没有共产党就没有新中国的说法有什么区别吗?</p>
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作者:gugeren 留言时间:2016-05-05 15:09:26

记得“原命题和逆命题同时都成立”应该称为“充分必要条件”。

不过,那也不像博主说的,“比率应当等于零”,倒还是蛮多的。

见:

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%85%E5%88%86%E5%BF%85%E8%A6%81%E6%9D%A1%E4%BB%B6

不过,定理应该是经过逻辑证明的命题吧?不一定非要证明其逆命题成立才是定理。

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作者:巴黎老高 留言时间:2016-05-05 13:11:13

啥?原命题和逆命题还要必须演绎, 归纳完还要演绎归纳。逻辑需演绎推理和归纳推理, 定律就是定理的科学,定律的本质。

惨!。。。闲人会解释?这些术语予我说来;如似天书,越看越晕菜!

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作者:紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-05 12:21:53

闲人还是非常 cute 的。

要求原命题&逆命题都成立的命题才能算定理,虽然有点令人瞠目结舌,但这勉强可以解释为对定理这个概念理解上的不同,也就是说,闲人不知怎么搞的突然将定理这个概念忘记了,而自作主张地要求其逆命题也成立。

闲人更大的误区,他通过上个主贴的留言表现出来的,就是他用这个例子来说明“定理”:

原命题:飞机能在天上飞;

逆命题:能在天上飞的都是飞机;他解释说,因为原命题成立,而逆命题显然不成立(因为鸟能在天上飞),所以“飞机能在天上飞”这个原命题虽然成立,但不能算定理。

从闲人的解释来看,他更大的误区在于区分不了演绎的和归纳的结论。原命题:飞机能在天上飞,虽然不是定理,但它不是定理的原因并非是因为它的逆命题不成立,而是因为这是个属于归纳推理意义下的结论,而定理是属于演绎逻辑的(另外说一句,数学中的大家熟悉的数学归纳法,以及不太熟悉的结构归纳法,都属于演绎推理,不属于归纳推理)。

“飞机能在天上飞”,这个“正确”的结论如果一定要冠以一个“学术词汇”,那可以冠以“定律”,但无论如何和“定理”扯不上干系。

定理是能证明的,定律是不能证明的,只能证伪。这是数学/定理和科学/定律的本质区别。

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