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趣味的数学 - 13【数字模式】 2019-02-22 21:15:45

趣味的数学 - 13【数字模式】


1】观察以下各式

3^2 + 4^2 = 5^2;

5^2 + 12^2 = 13^2;

7^2 + 24^2 = 25^2;

9^2 + 40^2 = 41^2.

根据这些例子,确定其一般的规律,并加以证明。

【以上这些3元数组(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)和(9,40,41)即是所谓的“勾股弦数组”。】

【转引自Edward J. Barbeau等编著的“Five hundred Mathematical Challenges”第4题。】


2】观察以下各式

1^2 = (1x2x3)/6;

1^2 + 3^2 = (3x4x5)/6;

1^2 + 3^2 + 5^2= (5x6x7)/6;

根据这些例子,确定其一般的规律,并加以证明。

【转引自Edward J. Barbeau等编著的“Five hundred Mathematical Challenges”第41题。】


3】观察以下各式

1/1 + 1/3 = 4/3,4^2 + 3^2 = 5^2;

1/3 + 1/5 = 8/15,8^2 + 15^2 = 17^2;

1/5 + 1/7 = 12/35,12^2 + 35^2 = 37^2.

根据这些例子,确定其一般的规律,并加以证明。

【转引自Edward J. Barbeau等编著的“Five hundred Mathematical Challenges”第98题。】


4】设

a(1) = 2^2 + 3^2 + 6^2;

a(2) = 3^2 + 4^2 + 12^2;

a(3) = 4^2 + 5^2 + 20^2;

...。

给出以上等式的一般形式,并使得a(n)总是一个完全平方数。

【转引自Edward J. Barbeau等编著的“Five hundred Mathematical Challenges”第226题。】


5】观察以下各式

1^2 = 1;

2 + 3 + 4 = 3^2;

3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 5^2;

4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 7^2.

根据这些例子,确定其一般的规律,并加以证明。

【转引自Edward J. Barbeau等编著的“Five hundred Mathematical Challenges”第310题。】


浏览(623) (0) 评论(8)
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文章评论
作者:gugeren 回复 木桩 留言时间:2019-02-23 13:12:44

数学家:

2016还是2017年,万维有人出了一道组合数学题,似乎是把100个数怎么分配到100个位置上【?】。是你很容易地解决了那个问题。

你还记得那道题吗?我找不到出处了。

回复 | 0
作者:gugeren 回复 木桩 留言时间:2019-02-23 09:58:11

#8:

只有两种可能:个位是3或7。

展开(10a+7)^2和(10a+3)^2,只要看后面2项,即可决定取舍。

前者的后两项:140a+9,显然不能得出9009。这样基本就可以决定是“3”了。对“3”加以验算,果然。

回复 | 0
作者:gugeren 回复 木桩 留言时间:2019-02-23 09:54:22

#4和#7的简单解答已附在各题后面。

回复 | 0
作者:gugeren 回复 木桩 留言时间:2019-02-23 08:48:07

#11那两题就不需要什么运算,弄清道理就容易做了。

书中有些证明题非常难,需要5步以上的思路才能得出结果。

#14较容易。

回复 | 0
作者:木桩 回复 gugeren 留言时间:2019-02-23 00:37:36

你以前出的这些题目都不太难,只是找出规律,进行大量的运算。我在做 #4,#7,#8 的时候,花了大量的时间在运算上,我不喜欢做这种类型的题。我喜欢运算量少,但有巧妙思路的证明题。

回复 | 0
作者:gugeren 回复 木桩 留言时间:2019-02-22 23:58:40

你喜欢做什么类型的题目?

回复 | 0
作者:木桩 留言时间:2019-02-22 23:11:27

本来我想用数学归纳法证明的,但这题很简单,只需左右两边的二项式展开,即证。

回复 | 0
作者:木桩 留言时间:2019-02-22 22:50:45

我只做第一题:

第一项是 (2n+1)^2,

第二项 和 右边的第三项 平方之前差1

(2n+1)^2 + m^2 = (m+1)^2

(2n+1)^2 = (m+1)^2 - m^2 = 2m+1

m= 2n^2 + 2n

所以第n 个等式是

(2n+1)^2 + (2n^2+2n)^2 = (2n^2+2n+1)^2

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