设万维读者为首页 万维读者网 -- 全球华人的精神家园 广告服务 联系我们 关于万维
 
首  页 新  闻 视  频 博  客 论  坛 分类广告 购  物
搜索>> 发表日志 控制面板 个人相册 给我留言
帮助 退出
     
  木桩的博客
  我来自金星
网络日志正文
音乐和数学 - 十二平均律 2016-05-24 16:53:20

   Music,  is an universal language of mankind

                     – Henry Wadsworth Longfellow, an American poet

    要知道乐器为什么能发出美妙的音乐,首先要知道声音是怎么来的。声音是自然界物体之间的碰撞冲击,导致空气压缩震荡,产生震荡波。震荡波有长有短,于是,人类的耳朵能感应到的就是不同的声音。自然界最美妙的声音无过于人类的歌声,世界上任何一种乐器,都无法超越人类的歌声,但是可以想方设法模仿,于是,各种乐器应运而生。

    首先,我们知道一个物理现象:拨动一根长丝竹,产生震荡发声。如果把长丝竹一切为二,再拨动那根短了一半的丝竹,震荡的频率提高了,声音相对也提高了(通俗地说,频率越高,声音越高,女高音的频率要比男低音的频率要高许多)。这就是说,音乐声和震荡频率是紧密联系在一起的。

    中国古代就有了如何定音律的方法,司马迁在《史记》中写道:“九九八十,一以为宫。三分去一,五十四为。三分益一,七十二为商。三分去一,四十八为羽。三分益一,六十四为角”。

    这是什么意思呢?意思是取一根用来定音的竹杆,长度为81单位,定为“宫音”。然后将81乘2/3,得到54单位,定为“徴音”。将54乘4/3,得到72 单位,定为“商音”。将72乘2/3,得到48单位,定为“羽音”。将48乘4/3,得到64单位,定为“角音”。这个方法叫做“三分损益”,产生了中国古代的五位定音:宫,商,角,徴,羽。也就是我们熟悉的简谱中的 1(do),2(le),3(mi),5(so),6(la)。 写成数学表达式:

    宫  81

    徴(损)81x2/3 = 54

    商(益)54x4/3 = 72

    羽(损 ) 72x2/3 = 48

    角(益)48x4/3 = 64 

    注意,这五音律的长度都是整数,都能被3除尽。这说明古代科学技术的限制范围,一根竹竿,也只能做到这些了。 

    中国明代音律学家朱载堉在1584年提出十二平均律。将一个音程的8度间,刻划成12个平均音阶。固定为首的那个作为基音,接下来的音阶,以 1.059463094公倍数,成等比级数,也就是说,前面一个音符乘上 1.059463094,就成了后面一个音符了。 

    后人推出21/12  (2开12次 方根)约等于1.059463094,这是个保留了9位小数点的无理数 。一个8度音程,通俗地讲,1(do)2(le)3(mi)4(fa)5(so)6(la)7(xi)8(do) ,被划分成12个单位,每单位为“半音符”,所以有了12个“半音符”。在算术上,这个8度音程开12次方根,求其平均,是符合逻辑的。朱载堉的思想是这样的:把事情倒过来算,知道了一个头,也知道了一个尾巴,中间等比级数的“倍数”就要硬算了。但是,16世纪还没有计算机,一个整数2要开12次方根,这可是件非同小可的事,不知道朱载堉花了多少天,用了多少草稿纸,又是如何折腾出这个数的,猜想和祖冲之计算圆周率有得一拼。这要专门研究数学历史的人,从历史古书中找到答案。中国的数学,严格讲是算术,是算出来的,没有体系。不像希腊人的欧几里德平面几何,一套理论体系很完整。

    欧洲的16-17 世纪,音乐处在巴洛克(Baroque) 时期,音乐的服务对象是教堂和宫殿。当时已有了一套完整的12平均律的乐器制作方法。 

    这是从Google那里copy 过来的部分数据来说明问题:

   Note     Frequency(Hz)     Wavelength(cm)

                  C0                          16.35                            2109.89

                  C0# /B0 b             17.32                            1991.47

                  D0                          18.35                            1879.69

                   .                         .                                   .

                   .                         .                                   .

                 G4                       392.00                           88.01

                G4# /A4 b              415.30                          83.07

                A4                         440                               78.41

                A4# /B4 b              466.16                          74.01

                B4                         493.88                          69.85

                  .                         .                                   .

                  .                         .                                   .

    先取A4 = 440 Hz,Wavelength = 78.41, (wavelength 相等于中国古代的竹竿长度)。为什么要取440 Hz,这是个conventional choice, 不是vital的(如果取 420Hz,产生的声音偏低,也可以取460Hz,得到的声音偏高,这由个人喜好,有人喜欢沉闷的声音,有人喜欢高亮的声音).  我猜想, 440 Hz是个正数,便于计算。以A4  Note为基音,定下了钢琴上所有的Note。 

    从这张图表中,观察到一个有趣的现象,值得注意:频律乘上波长是个常数(四舍五入),也就是声音在空气中每秒传播的距离,约等于34500cm。不信我们验证几个:

    对于 Note C0  : 16.35 x 2109.89 = 34497 cm/second

    对于 Note D0  : 18.35 x 1879.69 = 34492 cm/second

    对于 Note A4  : 440.00 x 78.41  =  34500 cm/second

    再来计算一下音阶,它们全是按等比级数均匀分布的:公比正是上面提到的 2的12次方根, 约等于 1.059463094,不信我们试试:

    取A4 基准音它的频率取440.00Hz:

    下面一个Note是 A4/B4b  (在钢琴键上,是往高音走)

    它的频率是 440.00Hz x 1.059463094 = 466.16Hz,  再下面一个Note是 B4  

    它的频率是 466.16Hz x 1.059463094 = 493.88Hz,等等。

    反过来:

    A上面一个Note是 G4/A4b  (在钢琴键上,是往低音走)

    它的频率是 440.00Hz /1.059463094 = 415.30Hz。 再上面一个Note是 G4  

    它的频率是 415.30Hz/ 1.059463094 = 391.99Hz,等等。       

    依次类推, 求高音的,乘公倍数 1.059463094,求低音的,除公陪数1.059463094,用数学中recursive 的方法,我们可以得到钢琴上的整个音阶,乐器就是这么制作的。    

    欧洲的十七世纪,在音乐理论领域里,代表人物是巴赫 (Johan Sebastian Bach , 1685-1750)。巴赫是德国最伟大的古典音乐作曲家之一,他的Well Tempered Clavier 是钢琴专业学生的必修课。WTC 分上下两册,每册有24 首曲子,这是12 平均律在音乐上的体现:12 个大调和它相对应的Prelude 和Fugue,12 个小调和它相对应的 Prelude 和Fugue,总共48 首曲子。


P1 - 这是钢琴键的中间部分,从C 到 C (CDEFGABC),一个 8 度音(one octave)

从C往右一个黑键,C升了半音,这个黑键叫C#,从D往左一个黑键,D降了半音,这个黑键叫Db

每个黑键就有两个名字了,一个升,一个降。

th-7.jpg

P2 - WS= whole step (整音)  HS= half step(半音)

th-1.jpg

P3 - 一个八度音程里,有12个半音,这个是从 C 到 C,

th-9.jpg

p4 - 这个是从 C-flat 到 C-flat (Cb-flat = B)

th-11.jpg


请听我演奏:Prelude#1,C Major, Well Tempered Clavier,  Johan Sebastian Bach

Slide1.jpg

浏览(3219) (11) 评论(112)
发表评论
文章评论
作者:芨芨草 回复 木桩 留言时间:2016-06-02 00:50:51
有木姐姐这片心意,看着蛋糕就高兴了,吃不吃都没关系。排行榜本来和咱们没关系,但现在有那么一个心人在里面搅和,咱不能让一颗老鼠屎坏了一锅好汤。这事不知道便也罢了,既然知道了就不能让小人得意。木姐姐别担心,码个楼,轻车熟路,五分钟就能码一百层。
回复 | 0
作者:木桩 留言时间:2016-06-01 19:21:00

芨芨弟,不要生气了,你已经尽了你的力,没什么遗憾。你待我最好了,我说任何感谢的话,都显的苍白无力,那就不说了。我们已经说好了,到此为止,听姐姐一句话吧,盖完爪哥楼就歇手吧!泥瓦工盖楼的活儿太累人,芨芨弟劳苦功高,慰劳慰劳你,给你做了一个大蛋糕,你最喜欢的那一款,待会儿听到敲门声,那是大厨师送蛋糕来了。

回复 | 0
作者:木桩 留言时间:2016-06-01 19:13:23

谢谢 pia 先生, 韫栋先生(两个石放在一起,这个字不认得,又给语文老师取笑去了!)的支持。万维博客是我们海外华人的精神家园,争排名榜不是我们的本意,看到有人在污染空气,不守规矩,心里就来气了。还得谢谢樊斤品,他让我看到了人得丑恶一面,同时也看到了人间的真善美。

回复 | 0
作者:芨芨草 留言时间:2016-06-01 18:33:36
木姐姐,你再写篇文章,我帮你顶上去,不能让樊东西占了上风。
回复 | 0
作者:pia@ 留言时间:2016-06-01 11:00:00
就是支持!
回复 | 0
作者:pia@ 留言时间:2016-06-01 10:59:43
再支持!
回复 | 0
作者:pia@ 留言时间:2016-06-01 10:59:20
支持!
回复 | 0
作者:pia@ 留言时间:2016-06-01 10:58:41
好文!
回复 | 0
作者:pia@ 留言时间:2016-06-01 10:57:31
回复 | 0
作者:韫栋砳 留言时间:2016-06-01 07:45:16
好好文章!
回复 | 0
作者:韫栋砳 留言时间:2016-06-01 07:45:01
好文章!
回复 | 0
作者:韫栋砳 留言时间:2016-06-01 07:44:47
好文!
回复 | 0
作者:韫栋砳 留言时间:2016-06-01 07:44:24
好!
回复 | 0
作者:木桩 回复 ladybug 留言时间:2016-05-31 21:10:15
接住了ladybug 飞来的砖,拿在手里掂了掂,哟,这是块好砖!谢谢!
回复 | 0
作者:ladybug 留言时间:2016-05-31 18:43:51
这儿的学问太深了没关系,俺就是来帮忙加块砖,一起来对付“狂人日记”。
回复 | 0
作者:木桩 回复 紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-31 16:17:13
紫儿妹妹回来了!我们这里热闹哩,这不,都在做泥瓦匠盖大楼呐!你也知道是怎么一回事了,我就不重复了。这樊网友如果是第一次犯规,大家能原谅,但他一而再,再而三,名知故犯,愈演愈烈,这就引起公愤了。我们没有要和谁争排名,但是我们要保护万维博客的优良传统和名誉,任何不正之风应该抵制。樊网友要反腐,但他自己已经腐败了,怎么去说服人家?
回复 | 0
作者:芹泥 留言时间:2016-05-31 13:45:49
俺也来添砖加瓦。这些评论水平太高,够我消化一阵了。问候谭岳先生,先生好久不见了,一向可好? 海天MM要继续这个话题吗?很期待,最好盖成一个双子楼。 紫儿MM一回来就干活,好勤快呀。
回复 | 0
作者:紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-31 09:11:13
不容易,芨草弟和爪四哥联手才能勉强战胜樊同学。
回复 | 0
作者:爪四哥 回复 芨芨草 留言时间:2016-05-31 08:12:18
草兄交给的光荣任务俺胜利完成啦
回复 | 0
作者:爪四哥 回复 紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-31 08:11:15
我原本想发个“向无品先生学习”的无字文,正文一字不写,打算给自己玛一百个回贴,每个回贴都是一只 直接冲到头名,引起网管注意,后来想想算啦. 万维都不在乎自己网站规矩被abuse,咱着哪门子急啊.
回复 | 0
作者:紫荆棘鸟 回复 爪四哥 留言时间:2016-05-31 08:11:00
哦,还有这回事(因为至少有三位博主去他的园子里规劝他,提醒他,他不仅不听劝,还把劝他的人的贴子删掉,拉黑)。这么做就有点过分了。
回复 | 0
作者:爪四哥 回复 紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-31 08:07:03
建议大家还是洗洗睡罢. 这位大仙背景深厚,万维网管根本不敢拿他怎么样...
回复 | 0
作者:爪四哥 回复 紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-31 08:04:28
还有比这位樊先生更下作的网友在我的园子留言,大言不惭地把爪四哥的好心规劝比做中宣部,建议俺去做共产党的删贴员,要把爪四哥从万维上轰走,乖乖...
回复 | 0
作者:爪四哥 回复 紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-31 07:58:47
这样的反共义士用这样下作的手段反共,都让人怀疑是否是共产党派来的高级黑
回复 | 0
作者:爪四哥 回复 紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-31 07:56:14
回禀紫鸟:不知者不为过. 这个不适用于他. 因为至少有三位博主去他的园子里规劝他,提醒他,他不仅不听劝,还把劝他的人的贴子删掉,拉黑. 接着又码起另一座高楼.
回复 | 0
作者:紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-31 06:51:50
在外跑了差不多一周,差点错过这篇文章。主贴和评论都很有水平,受教了。而且最出乎意料的是积极草同学热心当起了语文老师。
回复 | 0
作者:紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-31 06:49:37
帮顶!盖楼压住樊同学的嚣张气焰……其实每周读者回复榜就是个摆设,不必当真。凡同学好像是新人,可能都没留意到这样一个排行榜。
回复 | 0
作者:芨芨草 留言时间:2016-05-31 00:27:27
木同学,说得对,咱不和无耻的东西一般见识,那样反倒降低了咱们的身份。最后还要纠正木同学一个错误,是“到此为止”,不是“到此为至”。
回复 | 0
作者:木桩 回复 芨芨草 留言时间:2016-05-30 23:30:17
语文老师,不要再去理会排行榜上的事了,到此为止。姓樊的看来是不会罢休的,此人作风很流氓,不管他是出于什么目的,他的作派于他的目的将会是适得其反,他爱怎样就怎样,别去理他。
回复 | 0
作者:木桩 回复 芨芨草 留言时间:2016-05-30 22:41:43
前几天我就注意到这樊家伙,他把芹泥的文章硬是挤了下去,我一急之下就先扔了2块砖,回过头就到你那里讨救兵了。本来这种事情,一笑了之,不必认真的。看来这家伙非要争第一名,用的手段很下作,这不是明打明的作弊吗?他这名字高高挂在那里,到底是出风头呢还是丢丑?芨芨弟弟,你的心意我领了,但我劝你到此为至,和这样的人计较不值,你的时间宝贵,一秒钟都不要花在这种人身上。
回复 | 0
我的名片
木桩
注册日期: 2014-11-04
访问总量: 522,577 次
点击查看我的个人资料
Calendar
分类目录
【教育与学术-1】
· 格林威治 -- 国际标准时间
· 美国的福利保险费是怎样算出来的
· 美国的401(K)养老金
· 关于量子保密通讯
· 揭露中国学者在期刊上造假作弊
· 中国和美国教育学术界的若干比较
· 计算数学家在干些什么?
· 学术杂志的“影响因子”
· 有感中国人的高校情结
· 首尔-2014世界数学家大会
【教育与科学 - 2】
· 飞机安全吗?--- 分析几次重大空
· 谈谈世界顶尖科学家的排名榜
· 公益贴 --- 再谈疫苗
· 公益帖 --- 新冠疫苗的最新发展
· 公益贴 --- 谈谈疫苗
· 科学计算 (Scientific Computing
· 从三峡大坝想到水利工程
· 检测新冠病毒的3 种方法 --- 分
· 波音737- MAX8 出事原因在哪里?
· 介绍一个美国顶级应用数学系
【教育与学术 - 3】
【回国感想】
· 北京感想
· 2016 - 相会在上海
· 2015 回国见闻 - 爽爽贵阳
· 2015 回国见闻 - 贵州织金洞
· 2015 回国见闻-黄果树大瀑布
· 2015 回国见闻 -云南石林
· 回国见闻 -上海受骗上当记
· 回国见闻 -国内的几个有趣现象
【芸芸众生】
· 为生活在战争中的人们祈祷 !
· 深秋的祭念
· Memorial Day - 告慰全世界新冠
· 20世纪最大的艺术伪造案 -米格伦
· 先生已逝,精神长存 --- 怀念张
· “天鹅之死” -我的油画
· 庞氏骗局
· 从数学家纳什联想到 。。。
· 我的露露和咪咪
【茗香茶语】
· 天鹅的梦呓
· 母亲节,樱花又开了
· 礼轻情意重
【回忆录】
· 童年的回忆
· 西南联大逸闻轶事
· 魂萦上海滩(5)-文革中的那些邻居
· 魂萦上海滩(4)--我的母亲
· 魂萦上海滩(3)-妈妈给我的礼物
· 魂萦上海滩(2)–绿房子里的故事
· 魂萦上海滩(1)-万航渡路
· 童年旧事 -我的小提琴老师
· 父亲留下的传家宝
· 父亲的住房情结
【艺术-1】
· 艺术座谈 (2) - 艺术的两重性
· 艺术座谈 (1) --- 怎样理解音乐
· 艺术也能变戏法
· 我的艺术创作 --- 雕塑, 油画,
· 话说故宫
· 漫谈艺术——西方画 vs 中国画
· 装修设计 - 让电脑为人类服务
· 家庭住宅的装修和设计
· 浅谈人体雕塑
【艺术-2】
· 芭蕾舞 --- 四只小天鹅翩翩起舞
· 摄影练习 — 日本的风俗人情
【钢琴演奏】
· 爱吧!能爱就爱吧!—- 李斯特的
· 聆听古典音乐,欣赏现代建筑
· 肖邦夜曲,情愁凄美,孤独浪漫
· 介绍钢琴夜曲的祖宗 John Field
· 舒曼的钢琴曲--《异国陌人》
· 音乐和数学 - 十二平均律
· 2015 圣诞之夜-《少女的祈祷》
· 钢琴独奏 -《 梦幻》
【钢琴演奏 -2】
【世界各地】
· 伦敦白金汉宫皇家卫队换岗仪式
· 希腊罗德岛太阳神巨像失踪之谜
· 巴西--写在2016 夏季奥运会之前
· 西班牙的小偷和斗牛士
· 法国的香农舍 -女人的城堡
· 印度的硅谷
· 莫斯科之行
· 巴黎的墓地
【歌剧】
· 庚子年 --- 妈妈,生日快乐!
· 二首上海经典老歌给万维朋友拜年
· 祝万维朋友 平安夜好!圣诞快乐
· 歌剧中的咏叹调《我亲爱的爸爸》
· 歌剧欣赏 (2)-我听歌剧的体会
· 歌剧欣赏(1)- 什么是歌剧
· 一首日本民歌 —《爱的礼物》
【诗词歌赋】
· 七言绝句三首 -《春天的思念》
· 七言绝句二首 - 《访友》
· 枫叶又红了 ---- 七言 . 思君
· 名家诵读 --- 唐诗二首
【高山流水论坛年庆】
· 【金牛贺春】贝多芬钢琴奏鸣曲《
· 【金猪贺岁】上海怀旧老歌《月圆
· 【金狗旺旺】— 献给爱丽丝
· 【高山年庆】-- 向朋友们致敬!
【核桃树 --- 万维博客科学沙龙】
· 艺术也能变戏法
· 纪念切尔诺贝利核事故三十周年:
· 疯子数学家 -- 约翰.纳什
 
关于本站 | 广告服务 | 联系我们 | 招聘信息 | 网站导航 | 隐私保护
Copyright (C) 1998-2024. CyberMedia Network /Creaders.NET. All Rights Reserved.