数学? 三分钟!(7)

    古希腊数学高峰的标志当数欧几里徳所著的《几何原本》。这是一本发行量最大，影响人类历史两千多年之久，现在依然被广泛使用的教科书。书中所讲述的许多定理与发现，已在同时代数学家中广为流传，并非欧几里德本人的成就，它汇集了希腊人思想与智慧的精华。关于欧几里德的生平，人们知之甚少，只知道他生活在公元前三百年左右。

     在众多的数学著作中，《几何原本》能一支独秀世代流传，最根本的原因是它对几何学的研究采用了公理化的方法。 开篇第一章，便对几何学赖以生存的公理进行了详细的说明。以平面几何为例，简单讲就是五条公理：一，两个点确定一条直线；二，直线上的线段沿着直线可以任意延伸；三，以任意一点为圆心任意大小为半经可以画一个圆；四，所有的直角都相等；五，给定一条直线和直线外一点，只有一条直线通过给定的点与给定的直线平行。这几个简短的公理便是欧几里德几何学的基础和游戏规则，其它的全部内容都只是基于这些公理的逻辑推理和演绎。

     公理是不需证明的真理，也是检验其它推论与定理是否正确的标准。这事看起来好像很简单，对一门学科建立一套个体间相互独立彼此相融，而整体上又完备无缺的公理体系实非易事。在后续的介绍中，会看到欧几里德的几何公理经受了人类两千多年的历史检验，毫不夸张地说，挑战欧几里德的几何公理，无异于挑战人类的智慧，而改变其公理，就会改变人类对世界的认识。引入公理化这种十分逻辑而又注重形式的研究方法，正是欧几里德给数学带来的“数学真理”的新思想，当数学用一组公理及其推论来表示时，其中的理论就变得严格，而且可以被检验了。这便是欧几里德最具智慧的远见卓识和深刻洞见。

     这一方法对其它学科和数学的其它分支也立下了一个典范。诞生于欧几里德之后近两千年的牛顿三大定律，奠定了物理学和现代科学的基础。牛顿的《自然哲学的数学原理》一书，类似于欧几里徳《几何原本》开篇的方式，先谈游戏规则，介绍其定理的重要性，然后再作数学上的演绎与推理，其中也渗透着欧几里德几何学公理的思想。

   几何学公理思想的影响，超越了数学和科学的范畴。比如一个法制国家，其宪法就是社会运作与人民生活的公理，是判断是非的标准。在我们生活的现实中和虚拟的网络上，常常看到许多无谓的争论，大多是一方将自己认定的那点歪理甚至死理，作为真理强加给另一方，缺乏公理所致。所以常有人感叹，公理何在？（下集継续折腾）