数学? 三分钟!(12)

 数学发展的历史, 也是人类思想发展的历史。从前面的介绍，我们已经看到了现代数学的曙光, 本节介绍几位近代的开拓者。第一位是法国数学家笛卡尔(1596~1650)。 笛卡尔有创见的思想之一是简化地解释代数项的方式，在笛卡尔之前，包括古希腊和伊斯兰的数学家，都是将解释成几何学上的正方形，解释成几何上的立方体，而对于及更高次方，难以赋予类似的几何意义, 束手无策。笛卡尔抛弃了这种有局限的几何解释，就是简单的一次项二次项高次项, 改变了对这些符号的理解，使之更易于研究。

笛卡尔的另一成就，就是创造性地应用了坐标系，将代数作为几何的语言，建立起几何学与代数学之间的桥梁, 从而创立了解析几何学。在解析几何诞生之前，追朔至古希腊数千年，数学家们所了解的曲线，也不超过十二种。解析几何学使得数学家们对曲线的研究随心所欲。同时，解析几何学也成为表达微积分思想的一种语言。

笛卡儿出生在一个贵族家庭，大学毕业后有过十年左右旅游参军体验生活的阅历, 他一直雄心勃勃想创立新学科，发表过许多有关哲学天文学解剖学气象学光学以及数学方面的著作，虽然他的哲学思想一直受到人们的质疑，他关于科学的许多思想，后来也被证明是错误的，但这并不影响他被誉为一位伟大的数学家和思想家。他的思想是数学史上的一个转折，他新颖而有成效的思想方法，引导和催生了数学界一系列伟大的思想。

另一位对解析几何学作出巨大贡献的是法国数学家费马（1601—1665）。费马在许多领域都有卓越贡献，最使他出名的，则是费马大定理。简单介绍一下。华人都知道勾股定理，也有许多华人认为这一定理是古代的华人数学家祖冲之发现的。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理（本糸列之六）。就是三个正整数, 其中两个数的平方和等于另一个数的平方,即 满足这一的三个数，称为毕达哥拉斯三数组。自然数中有无穷多这样的三数组。费马在研究毕氏三数组时，作了一点推广：如果不是平方而是三次方四次方会如何呢？(即 , m>2) 结果他发现，没有任何正整数能使等式成立，也就是说, 只要指数大于2，毕氏三数组不存在。谜惑人的是,他在书边注明:他发现了这一事实简短而美妙的证明 。从而激发了无数数学家探宝般的求证与寻找。这就是数学历史上最著名的费马大定理。

这一定理并不复杂。费马所处的时代，有机遇接触古希腊的原著，顺着前人与历史的脉络，也就不会为费马盟生其大定理感到惊奇，或许有家长会感叹：原来如比简单，“我那小子”也有这种才华。(这话听起来好像有点大言不惭信口开河，违背数学精神。不过，这不违背本系列的精神，就是远距离欣赏数学美女的轮廓，了解大概的来龙去脉，对数学的学习可能会有所帮助。进一步的深入学习，得向真正的学者请教。跑江湖的扯数学，只能是师傅哄进门，造化在个人。)

另一位必须介绍的是端典数学家欧拉（1703-1783）。虽然笛卡尔建立了几何与代数之间的关系，但他依然缺少数学工具将这种方法用于曲面研究。欧拉第一个全面而系统化地使用了函数，并开创性地将参数引入函数，从而使他对三维对象的解析描述，比任何人都深入。他推广了圆锥曲线的思想，完美地呈现出二次曲面，椭圆抛物面双曲抛物面，椭圆锥面椭球面，单叶双曲面和双叶双曲面, 开创了美仑美兑的立体几何学。除立体几何外, 欧拉对数学的贡献是全方位的。从欧拉的一个方程,可以看到他成就的一斑: 方程中包含了最重要的五个数(0，1，i，，e），进一步理解这几个数, 会理解数的多彩与变迁, 自然数, 小数,分数, 有理数, 无理数, 实数, 虚数, 代数数,超越数,… 一个方程折射了数学皇宫的半壁河山。

欧拉从古希腊的数学思想中吸取了灵感，用新颖美妙实用的方法, 将源自古希腊数学家们心中的数学之美,完美而真实地展现于世, 也将数学推向了高峰。 令人感慨的是, 欧拉28岁时一只眼睛失明，后来双目失明，他的许多重要成果是在他双目失明之后完成的。就象贝多芬没有听力，为世界创造了不朽的音乐; 欧拉在黑暗中,为世界带来了极致的美丽。可是, 历史是难以预料的, 一件“针尖儿大”的小亊，竟然让欧拉的立体几何学从正统的数学中出局，使几何学偏转方向, 进入了新的航程。（下集继续折腾）

(万维博主 紫荆棘鸟的博客中, 有两篇文章信息十分丰富, 连接如下:)

数学史十八传奇之笛卡儿: 达摩祖师 (ZT)

数学史十八传奇之费马: 黄裳 (ZT)