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 折腾
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数学 ? 三分钟 !(24) 2015-03-25 09:03:38

数学 ? 三分钟 !(24)

        历史上有许多关于概率论有趣也有名的问题。布丰投针的问题就是其中之一。布丰（George-Louis Buffon, 1707-1788）是法国的一个博物学家，人品好人缘也很好，不仅正牌的官员喜欢他, 普通百姓也喜欢他，连海盗也喜欢他。 据说海盗曾将整船掠品赠送给了布丰。布丰最著名的就是投针问题：在地板上画上许多等距离的平行线，假定距离为一个单位长度。将一枚针投向地面，假定针的长度为r，r小于单位长度1, 也就是小于平行线之间的间隔。假定投掷的次数为n，针与平行线相交的次数为h，随着投掷的次数增加，h／n趋近于2r／π，结果是, 针与直线相交的概率2r／π。从中可以看到, π = 2rn/h。这是一个惊人的发现, 因为它把一个完全不是随机量的园周率π, 表示为大量随机投掷的极限, 极大 地提高了概率论的知名度和可信度, 并将概率论引进了几何学。

      关于概率论最有影响的讨论, 是因为天花而引出的风险评估。天花和人类的文明几乎足一样的古老, 是一种传染性病毒。一般情况下, 有1/3的感染者会死于非命, 幸存者身上也会留下许多永久的疤痕, 但对天花会有终身的免疫力。在18世纪英国医生詹纳发现天花疫苗之前, 人们抵抗天花的措施就是接种牛痘, 其基本思路就是从已经感染的人身上, 取出天花病毒较弱的变异, 注射到健康人身上, 从而产生对天花的免疫力, 这种做法也有风险。

  出生于数学世家的瑞士数学家丹尼尔.伯努利(概率论中大数定律创立者雅各布.伯努利的侄子), 首先对天花与接种牛痘之间的关糸作了概率分析, 他认为接种牛痘的大部分婴儿都存活下来, 并且一生都免于天花的威胁, 虽然有些婴儿在接种后一个月内会死去, 但接种依然是保护大众健康的有效措施。 他根据当时死于天花的案例, 得出分析结果 : 接种牛痘使平均寿命增加10%。

  对伯努利的观点, 达朗贝尔 (就是在开篇中介绍过，被亲生父母抛弃的那位达朗贝尔) 持不同的意见, 他认为: 对于新生婴儿来说, 接种牛痘的风险是立竿见影的, 直接的; 而患天花的风险, 是将来的潜在的。让一个人, 经历一段正常的人生之后, 再死于天花, 总比一开始就付出全部的生命作为赌注好。在对30岁组的成年男人分析中, 伯努利的报告指出, 不接种的平均寿命为54岁, 接种的平均寿命为57岁。达朗贝尔则认为, 为了多活有限的3年, 一个30岁的男人拿出全部的生命来冒险, 是否明智?

达朗贝尔的辨论是数学史上的经典。事实上, 达朗贝尔并不反对伯努利的建议, 他也认为接种牛痘是有利于公众健康的好方法。 他所反对的, 只是伯努利所作的数理分析。 从这一事例中不难看出,用概率论的语言来解释世界是多么不容易, 如果希望通过概率论让人们来认识世界, 明辨是非，则更是微妙更是困难。任何一个数学理论对实际间题的应用, 都需要对理论和实际之间的关系作一定的补充假设, 数学推出的结论, 也许是这些假设严密的逻辑推论, 但不能保证结果与现实一致。纯洁的数学理论尚且如此,何况其它的理论? 所以说, 理论, 基本都是用来忽悠人,吓唬人,矇人的!
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文章评论
作者：漁舟舟 留言时间：2015-03-31 13:22:04
P=(2∫_0^(r/2)▒〖4 Arc Cos x/(r/2) 〗 dx )/(2∫_0^(1/2)▒2π dx)
=(4r∫_0^1▒〖 Arc Cos y 〗 dy )/2π
=(4r∫_(π/2)^0▒〖θ(- sin⁡θ)〗 dθ )/2π
=2r/π
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作者：漁舟舟 留言时间：2015-03-31 13:19:45
P=(2∫_0^(l/2)▒〖4 Arc Cos x/(l/2) 〗 dx )/(2∫_0^(1/2)▒2π dx)
=(4l∫_0^1▒〖 Arc Cos y 〗 dy )/2π
=(4l∫_(π/2)^0▒〖θ(- sin⁡θ)〗 dθ )/2π
=2l/π
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作者：五十肩 留言时间：2015-03-30 23:32:37
谢谢博主的这一系列。很感兴趣，也很受教。一年前自修时做过蒲丰试验的这道题（是搬抄书上的解法），用Monte Carlo Simulation, calculated 4000 repeats, very close to 3.1416. 希望能看到更多的后续
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作者：little_red_man 留言时间：2015-03-26 18:25:14
>>我见过的最好结果是 3.1415929

这＊显然＊是个造假的实验结果。如果不能理解到这一点，那概率学得也太。。。
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作者：漁舟舟 留言时间：2015-03-26 08:36:09
紫鸟，本来没打算证朋这道题，受你影响，作了尝试，我的证明方法也很简单，几行公式就能表明，但要用到积分的基本常识。（所以，不算找到了用初等数学的解法）
谢谢你认真的解释。
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作者：紫荆棘鸟 留言时间：2015-03-26 07:25:09
对的，得到 3.1415929 的那位，如果我没记错的话，是抛了 26000 多次针。有位抛了 40000 多次的反而没这位的结果精确。
---初等数学证明试验的正确性？能请教一下怎么证明么？既然容易？---
确实是举手之劳，最多半个小时吧。你可以选个简单的参数，例如针长=平行线行距一半，这样就等价于证明 PAI = lim 抛针总次数/针线相交次数。你选针的中心坐标（x，y）和针线的角度 $alpha$ 作参数看针线相交需要什么条件就成了，中学那套东西就足以应付了，不过别问我如何如何，我不会：）

其实这里要求针长 小于 线距（=1）是不必要的，但实测中假设这点可以保证在同样测量的次数上得到更好的精确度。

闲人楼上那十几个问题，和“概率/数学”本身是无关的，从数学本身而言，只要求抛针是完全随机的就行，也就是楼上的 （x，y），$alpha$ 的取值机率是完全一样的就行了。你那些问题属于“工程”问题，用论坛某某的话说，就是“用物理的枪，没法打中数学的点”。
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作者：溪谷闲人 留言时间：2015-03-25 14:38:37
“我见过的最好结果是 3.1415929
很容易用初等数学证明蒲丰试验的正确性。”
初等数学证明试验的正确性？能请教一下怎么证明么？既然容易？
再问一下：初等数学、高等数学的界限在哪里？
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作者：漁舟舟 留言时间：2015-03-25 13:41:25
紫鸟，谢谢你的信息。
这里的数学系列，还有一两则就完了。

这么枯燥的文章，难得有人读，我准备设一千美元酬金，谁读了全部系列，就送给谁。全部文章读完，大概要90分钟，每篇三分钟。请同志们相互传达。
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作者：紫荆棘鸟 留言时间：2015-03-25 12:39:27
很多人做过这个投针试验，我也做过，大约投了几百根。
我见过的最好结果是 3.1415929
很容易用初等数学证明蒲丰试验的正确性。
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作者：漁舟舟 留言时间：2015-03-25 12:36:38
这个实验，他可能没想让人重复。您说不定可以设一组条件，用自己的实验数据来验证它或推翻它。布丰之后，有许多人做过。
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作者：溪谷闲人 留言时间：2015-03-25 12:04:29
“在地板上画上许多等距离的平行线，假定距离为一个单位长度。将一枚针投向地面，假定针的长度为r，r小于单位长度1, 也就是小于平行线之间的间隔。假定投掷的次数为n，针与平行线相交的次数为h，随着投掷的次数增加，h／n趋近于2r／π，结果是, 针与直线相交的概率2r／π。从中可以看到, π = 2rn/h。这是一个惊人的发现, 因为它把一个完全不是随机量的园周率π, 表示为大量随机投掷的极限, 极大 地提高了概率论的知名度和可信度, 并将概率论引进了几何学。”

针的长度r小于单位长度1，究竟比1小多少？
针应该多长？如果仅仅比单位长度1小这个条件，用一粒米行不行？针有多粗？
针需要什么材质？竹、铁、铝还是金？
起码应该没有风吧？
从多高的地方投针？
地面是什么地面？土地？水泥地？木板地？还是沙地。
平行线，线的粗细有关系吗？
投针的时候，用手还是用特定的工具？
自然落体，还是用力？
垂直投还是斜着投？

这类实验需要别人能够重复做才说明问题。
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