数学及其应用 几乎所有的数学都源于应用问题，但时代久远之后，人们往往忘掉了。比如说，几何学，是一门纯数学，但几何学 （geometry) 的意思是测地学，显然源于应用问题。对应用问题的理解，很大程度上决定了数学和科学的发展方向。下面我们用拓扑和分析在经济学领域的应用来分析一下。 很多人都看过一本叫做《美丽心灵》的书，或者根据此书改编的电影。此书的主人公叫纳什，他建立了博奕论中一个重要的结果，用的是拓扑学的方法。主流经济学理论的基础是一般平衡态理论，其严格的数学证明，也是建立在拓扑学基础上的。可以说，拓扑学为主流经济学理论提供了严格的数学基础，但这是不是一个合适的基础？经济问题是数字问题，一件货物，如果成本是100块钱，卖了110块钱，就能盈利，卖了90块钱，就会亏本。但是从拓扑学角度，90 ，100 ，110是没有区别的，所以拓扑学不能表达经济学和生物学中最根本的特征，追求非负的投资回报率。可是由于拓扑学理论简单，早期的数理模型往往源于拓扑学。 价值理论是经济学理论的基础。主流经济学价值理论叫做Arrow-Debreu 理论[1], 为此Arrow 和 Debreu两人都拿了诺贝尔奖。这个理论也是采用拓扑学方法，不能提供一个定量的分析。而对数函数的方法则对决定经济价值的因素提供了清晰的分析。我们来具体了解一下。 在一个新的价值理论里 [2], 物品的价值定义为 -logbP 其中 P 为物品的稀缺程度，范围从 0 到 1， 0 为极度稀缺， 1 为无限丰富，b 为这个物品的生产厂家数目。我们来看一下这个函数的性质。 首先，一种物品的价值是稀缺程度的递增函数，物品越丰富，其价值越低，如果这种物品无限丰富，也就是P = 1，其价值为零。比如说，空气对我们非常重要，几分钟不呼吸，我们就活不下去。但由于空气无处不在，其经济价值为零。下图是价值与稀缺程度之间的关系。 
很多人把经济价值等同于对社会的贡献。当今粮价很低，很多人认为农民对社会的贡献低。但如果粮食太贵，有人买不起，很快引发社会动乱。所以很多国家的政府采取各种政策，以保证粮食的充足，同时也造成粮价低廉。很多政府为了保护农民利益，大量补贴农民。从这个价值理论，我们可以清楚看到，经济价值不等同于对社会的贡献。 我们再来分析生产厂家的个数对价值的影响。b 越小，物品的价值越高，下图是物品的价值与生产厂家数目的关系。一样物品，生产的厂家越少，价值越高，大家都知道垄断和寡头经营的行业，利润很高。这个分析不仅可以应用到产品上，也可以应用到任何社会系统，世界上影响力大的宗教，象犹太教，基督教，伊斯兰教，大多是一神教，而佛教和大多数早期的宗教，是多神教，一神教对教徒的控制能力比多神教强很多，当一神教碰到多神教的社会，往往会击败对方。很多职业收入高，往往是由于这些职业由唯一的组织代表。比如说，加拿大所有的医生，都属于同一个医学学会，没有任何竞争；加拿大医生的收费，是统一的，也没有任何竞争；病人看病，必须通过唯一的家庭医生，彼此之间没有竞争。这就是为什么加拿大医生的地位，比中国高很多。我们经常说西方经济是自由竞争的市场经济，但其中最重要的部门，象医疗，教育，军工，以及庞大的政府本身，都由工会和垄断机构控制，很少自由竞争。  减少选择，对增加价值有决定性的影响。所以几乎所有经济，政治活动，都以减少竞争，增加垄断权力为目的。我们常说的专利法和知识产权保护就是一个例子，知识产权保护最常用的理论是鼓励创新，但创新最多，给消费者带来最多利益的行业，象信息技术，往往是知识产权最自由的行业，而知识产权保护最严格的行业，象生物医学，往往是纳税人花大钱，消费者受益甚少的行业。 从上面的讨论，我们看到，一个简简单单的对数公式，可以帮助我们深刻了解这个社会中形形色色的活动。很多原本不喜欢数学的学生，也很开心学到对数函数的各种性质。关于这个公式更多的应用，可参看价值的熵理论[2]。
经济学的拓扑理论最初建立于半个多世纪之前，这些早期的探索者值得我们尊敬，但是，拓扑学理论没有能够把实际经济活动中重要的因素表达出来，而分析理论则可以。
拓扑学理论是数学的主流，另一门数学的主流是代数几何。代数几何是关于多项式函数的几何理论，多项式自然古老，多项式自然重要。但大多数重要的物理问题，生物问题和社会问题包含指数函数和对数函数，所以代数几何的研究不涉及很多自然界最基本的问题。
自然现象发生在空间和时间之中，自然现象的变化涉及几个变量的变化，所以，偏微分方程应该是描述自然现象最基本的方法。确实如此，过去一百多年，科学理论的重大突破，大都表现在偏微分方程的提出，象麦克斯韦方程，薛定谔方程，Black-Scholes 方程。而这些偏微分方程的解，大都不是多项式函数。如果一直把代数几何作为数学的中心，主流的数学研究就越来越偏离自然界最根本的问题。
我们很多人对数学的现状，科学的现状，经济学的现状不满意。但是要改变这种状况，需要我们的积极参与，把好的数学方法引入经济学研究，把重要的经济学问题引入数学研究。只有这样，数学这棵老树，才能开出绚烂的新花。
具体一点，我们用电磁波谱作一个比喻，从无线电波到伽马射线，但是给人们带来最多信息的是人们熟悉的可见光。同样，从拓扑学到代数几何，数学方法从一般到具体，拓扑学太一般了，生命科学和经济学中所需要的定量化往往不能表达，而代数几何限制过多了，生命科学和经济学中最常出现的对数函数和指数函数被排除在外。我们最需要的是普通的分析理论，就像我们在日常生活中，最需要的是普通的可见光一样。
在众多分析理论中，我们进一步聚焦到两个问题，对数函数和费曼-Kac 公式。熵定律是物理界最普遍的规律，熵的不断增加，是所有生命的动力，而熵的数学表达式是 Ｓ= k log W 所以对数函数自然是生物学和经济学中最重要的函数。
自然界中充满了不确定性，我们对世界的判断是一个求平均值的过程。而费曼-Kac 公式提供了一个求平均值的普遍方法，把费曼-Kac 公式应用到生物学和经济学领域，将极大提高我们对这个世界的认识 [3]。
参考文献 1. Debreu, G. (1959). Theory of value; an axiomatic analysis of economic equilibrium. New York: Wiley. 2. Jing Chen, An Entropy Theory of Value: Forthcoming in Structural Change and Economic Dynamics https://www.researchgate.net/publication/228398386_An_Entropy_Theory_of_Value 3. Jing Chen, The Unity of Science and Economics: A New Foundation ofEconomic Theory, (2016), Springer
下面是一篇关于数学及其在社会科学中的应用的通俗介绍。
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