怎样比较两个‘无穷多’

万维庄锐博写了一篇《无穷大到底有多大》博文，感兴趣的人不少。其实，《无穷大》一文说的是“无穷多”，而不是“无穷大”。文中说到了自然数的有多少个，也就是“阿涅夫0”个那么多，同时谈到了和自然数的个数相对应的是实数有多少个，也就是“阿涅夫1”个那么多。

自然数的个数，“阿涅夫0”，实数的个数，“阿涅夫1”，这两个到底谁多呢？我们知道自然数有“无穷多个”，同时也知道实数也有“无穷多个”。都是“无穷多个”，谁多谁少啊？怎么个比较法呢？

我们先来看我们平时是如何比较多少的：

比如有两袋大米，

我们谁都很少会问：“这两袋大米中哪一袋子里的‘米粒’多？哪一袋子里的‘米粒’少？”

我们会问：“这袋米是多少斤？那袋米是多少斤？”

这就是说，我们会注重一袋米的‘重量’，而不会注重袋子里有‘多少粒米’。一般说来，重量重的那袋米我们自然觉得它的‘米粒’比较多，而轻的那袋会比较少。这个办法可以称之为‘称重法’。

可是，如果有人给了我们两袋‘同样重量’的大米，又很各色地问：“这两袋米，哪一袋子里的‘米粒’多？哪一袋子的‘米粒’少？”怎么比较呢？

许多网友会说：“更精确的称重。”这种比较重量的办法，当然是聪明的办法。不过，不管如何精确称重，这两袋米的重量都没有区别。那就意味着，我们无法从重量的区别中给出‘米粒多少’的答案。有网友说了数呗。两个人，一人抱着一袋大米，一粒一粒的数，最后比较两袋米的‘米粒’各有多少。这办法还不错，可以叫做“数个数的办法”。

除了这个“数个数”的办法，还有没有别的办法呢？再假设一个特殊情况，我们都‘不识数’，‘不会数数’。那，怎么比较？

其实，有一个最笨的办法，一个不识数的人也可用的比较两袋米米粒的办法。

先假定我和你，我们两个人都不识数。你抱一袋大米，我抱一袋。我们各人从各自的米袋里，一粒米一粒米的往外拿。我拿一粒，你也拿一粒，不许多，也不许少。这样，一粒一粒的对比着拿。谁的袋子里的米先拿完，说明谁的袋子里的米粒少。这个对比办法可以称为‘一对一比较法’。

这个办法，不仅可以用来比较重量相同的两袋米，重量不同的两袋米也可以这样比较。

从‘比较方法’的聪明程度来讲，‘一对一比较法’是这三种方法中最笨的办法。

再回到我们开头说的如何比较‘无穷多’。两个‘无穷多’比较谁更多，怎么办？借鉴上述三种办法，我们看哪种办法适合。

称重法？称重法只适合有质量的有形物质。我们这里的‘无穷多’是一个抽象概念，因此，它不能适用。

数数法？似乎有可能，但是，因为‘无穷多’，所以可以一直数下去，也一直‘数不完’。这种办法也不合适。

现在就剩下‘一对一比较法’这个最笨的办法了。如何用这个‘笨办法’比较‘无穷多’呢？这需要一个较为严格的论述。

我们有两袋大米，A 和 B. 并且我们知道，A 袋中大米的‘米粒’是‘无穷多’；B 袋中大米的‘米粒’也是‘无穷多’。但这两袋大米，谁的米粒更多一些，我们不知道。现在我们就从上面所说的办法，一步一步的自习严格的来描述“一对一比较法”。

我们说过，从A 袋中取一粒米：a，也从 B 袋中取一粒米：b。这句话就使得我们就建立了一个从A到B的函数F(a)。

我们也说过，一人拿一粒，不许多也不许少。这样实际上就限定了函数的一个特点，也就是不同的变量对应不同的函数值。就是说当，a 和 a_1，是A中两个不同的元素时，F(a)不等于F(a_1)。

我们还说过，谁的袋子里的米先拿完，谁的袋子里的米的个数就少。这就是说，当我们能够找到一个从A到B的函数F(a)，使得不同的变量对应不同的函数值。但是，我们找不到一个从B到A的函数函数G(b)，使得G也满足不同的变量对应不同的函数值。这时，我们就断定B这个无穷多比A这个无穷多还要多。