怎樣比較兩個‘無窮多’

萬維莊銳博寫了一篇《無窮大到底有多大》博文，感興趣的人不少。其實，《無窮大》一文說的是“無窮多”，而不是“無窮大”。文中說到了自然數的有多少個，也就是“阿涅夫0”個那麼多，同時談到了和自然數的個數相對應的是實數有多少個，也就是“阿涅夫1”個那麼多。

自然數的個數，“阿涅夫0”，實數的個數，“阿涅夫1”，這兩個到底誰多呢？我們知道自然數有“無窮多個”，同時也知道實數也有“無窮多個”。都是“無窮多個”，誰多誰少啊？怎麼個比較法呢？

我們先來看我們平時是如何比較多少的：

比如有兩袋大米，

我們誰都很少會問：“這兩袋大米中哪一袋子裡的‘米粒’多？哪一袋子裡的‘米粒’少？”

我們會問：“這袋米是多少斤？那袋米是多少斤？”

這就是說，我們會注重一袋米的‘重量’，而不會注重袋子裡有‘多少粒米’。一般說來，重量重的那袋米我們自然覺得它的‘米粒’比較多，而輕的那袋會比較少。這個辦法可以稱之為‘稱重法’。

可是，如果有人給了我們兩袋‘同樣重量’的大米，又很各色地問：“這兩袋米，哪一袋子裡的‘米粒’多？哪一袋子的‘米粒’少？”怎麼比較呢？

許多網友會說：“更精確的稱重。”這種比較重量的辦法，當然是聰明的辦法。不過，不管如何精確稱重，這兩袋米的重量都沒有區別。那就意味着，我們無法從重量的區別中給出‘米粒多少’的答案。有網友說了數唄。兩個人，一人抱着一袋大米，一粒一粒的數，最後比較兩袋米的‘米粒’各有多少。這辦法還不錯，可以叫做“數個數的辦法”。

除了這個“數個數”的辦法，還有沒有別的辦法呢？再假設一個特殊情況，我們都‘不識數’，‘不會數數’。那，怎麼比較？

其實，有一個最笨的辦法，一個不識數的人也可用的比較兩袋米米粒的辦法。

先假定我和你，我們兩個人都不識數。你抱一袋大米，我抱一袋。我們各人從各自的米袋裡，一粒米一粒米的往外拿。我拿一粒，你也拿一粒，不許多，也不許少。這樣，一粒一粒的對比着拿。誰的袋子裡的米先拿完，說明誰的袋子裡的米粒少。這個對比辦法可以稱為‘一對一比較法’。

這個辦法，不僅可以用來比較重量相同的兩袋米，重量不同的兩袋米也可以這樣比較。

從‘比較方法’的聰明程度來講，‘一對一比較法’是這三種方法中最笨的辦法。

再回到我們開頭說的如何比較‘無窮多’。兩個‘無窮多’比較誰更多，怎麼辦？借鑑上述三種辦法，我們看哪種辦法適合。

稱重法？稱重法只適合有質量的有形物質。我們這裡的‘無窮多’是一個抽象概念，因此，它不能適用。

數數法？似乎有可能，但是，因為‘無窮多’，所以可以一直數下去，也一直‘數不完’。這種辦法也不合適。

現在就剩下‘一對一比較法’這個最笨的辦法了。如何用這個‘笨辦法’比較‘無窮多’呢？這需要一個較為嚴格的論述。

我們有兩袋大米，A 和 B. 並且我們知道，A 袋中大米的‘米粒’是‘無窮多’；B 袋中大米的‘米粒’也是‘無窮多’。但這兩袋大米，誰的米粒更多一些，我們不知道。現在我們就從上面所說的辦法，一步一步的自習嚴格的來描述“一對一比較法”。

我們說過，從A 袋中取一粒米：a，也從 B 袋中取一粒米：b。這句話就使得我們就建立了一個從A到B的函數F(a)。

我們也說過，一人拿一粒，不許多也不許少。這樣實際上就限定了函數的一個特點，也就是不同的變量對應不同的函數值。就是說當，a 和 a_1，是A中兩個不同的元素時，F(a)不等於F(a_1)。

我們還說過，誰的袋子裡的米先拿完，誰的袋子裡的米的個數就少。這就是說，當我們能夠找到一個從A到B的函數F(a)，使得不同的變量對應不同的函數值。但是，我們找不到一個從B到A的函數函數G(b)，使得G也滿足不同的變量對應不同的函數值。這時，我們就斷定B這個無窮多比A這個無窮多還要多。