第九章：分形音乐和分形艺术

王二和林零手拉手在校园里散步。王二向林零介绍更多的分形知识，林零是学音乐的，说到最近听了一个音乐和数学关系的讲座，还提到“分形音乐（Fractal  music）”哩！讲座从一个笑话开始∶

一个男数学老师曾经问林零系里一个研究音乐理论的女老师∶

“音乐里只有七个音，你为什麽要准备花一生的时间去研究呢？”

音乐老师迟疑了一下，笑着反问道∶

“数学不也只有十个数字，你又为何打算研究一辈子，还不一定能研究清楚呢？”

一般来说，人们不会否认艺术（如雕塑、建诛、绘画等）与数学的关系，因为它们需要一点理性的计算。但如果说到音乐与数学的关系，就不太一样了，大多数人可能很迷惘∶数学与音乐有关系吗？

其实在音乐发生的最初级阶段（上溯到毕达哥拉斯时代），它就与数学有着亲密的血缘关系。毕达哥拉斯认为“数”是世界万物的本源，包括音阶序列（五度音或八度音）。他认为音阶更多是出于推理而不完全是人耳分辨的纯粹“自然”结果┅┅

王二却急于想了解“分形音乐”是怎麽一回事，知道後才好去向两位师兄吹牛皮啊。林零看着他搔头抓耳的样子，笑了∶

“正好我那天看了你们在计算机上显示的分形，还明白了曼德勃罗集是怎厶产生出来的，要不然，我可听不懂那天讲座中讲的这分形音乐是个什麽东西┅┅”

林零接着说∶“产生曼德勃罗集和朱利亚集图形的时候，你们不是用黑色、红色、黄色等等不同的颜色来标志不同的数学迭代性质吗？如果要产生分形音乐，也可以用你们那个方程作迭代啊┅┅”

王二还没有摸着头脑∶“对呀，在张三的程序中，是根据迭代後，当n->无穷时，Z点到原点的距离Rn的极限情况，来决定点的颜色，比如说

如果Rn<100，c为黑色；

如果100，c为红色；

如果200，c为橙色；

如果300，c为黄色；

┅┅┅┅”

林零说∶“你们产生颜色，我们也可以产生音乐嘛┅┅”

王二突然开了窍∶“对了，我们涂上‘红橙黄绿蓝靛紫’，你们就弹出‘哆 咪法嗦啦啼’┅┅”

的确是这样，如上几章节中所说的用迭代法产生图像的过程，就可以照样用来产生音乐！比如说，如果用‘哆 咪法嗦啦啼’来代替‘红橙黄绿蓝靛紫’，用一条时间轴代替两维复数空间中的一条线的话，一段与曼德勃罗集中某条直线相对应的‘曼德勃罗分形音乐’就产生出来了！   

尽管分形音乐现在听起来可能还不是那麽宏伟和美妙，但至少使人觉得有趣吧，毕竟不是由人，而是由电脑产生出来的音乐！如果再加上一些人为的努力，使将来的‘分形音乐’更逼真地模仿真正的音乐，是完全可能的。

除了曼德尔布集之外，人们还研究了许许多多其他种类的分形，并且发现，自然界的分形现象比比皆是∶从漫长蜿蜒的海岸线，到人体大脑的结构，分形似乎无所不在！分形最重要的共同特征，是它们的自相似性。最开头我们说到的‘花菜’的例子，很直观的给出了‘自相似性’的定义∶部分与整体形状相似，只是尺寸大小不同而已。

如前所述，分形除了‘自相似性’之外，还表现出随机性，以及非线性迭代引起的非线性畸变。

当你仔细观察曼德尔布集的图形，在多次放大的过程中，你会经常见到‘似曾相识’、却又不完全相同的图景，这里的‘似曾相识’，就是来源于分形的‘自相似性’；而‘不完全相同’，则体现了曼德尔布集图形因非线性变换而表现的貌似随机的一面。

既然分形无处不在，当然也存在于历代音乐大师们所作的音乐中。听音乐时，我们不也经常听到某个旋律反复出现，然而又变化多端，并不是只作简单重复的情况吗？也许，正是这种相似性和随机性的和谐结合，你中有我，我中有你，既相似又随机，互相渗透，穿插其中，才使音乐给了我们艺术的美感，给了我们无穷想象的空间。

人们通过计算机，分析研究了音乐大师们的作品，发现分形结构，普遍存在于经典音乐作品中，比如巴赫和贝多芬的作品。

不仅仅是类似于曼德尔布集和朱利亚集那种看起来复杂的分形存在于音乐中，更广义地说∶美妙而简单的数学规律普遍存在于音乐大师们的作品中。

比如，在建筑和绘画中经常见到的黄金分割规律，也广泛存在于音乐中。

上世纪90年代，加州尔文分校的“神经生物学系记忆中心”的研究人员们，发现莫扎特的音乐对年轻孩童们，具有一种神奇的力量，可以加强注意力，提高创造力。听一段莫扎特的音乐，好比是做了一场促进协调、提高脑部功能的运动。这个结论公布之後，美国有些学校，在课堂上播放莫扎特的音乐，作为背景音乐， 说对加强课堂纪律，安抚学生情绪，起到良好作用。

莫扎特的音乐简单而纯粹，不像巴赫音乐的繁复，也不像贝多芬的使人荡气回肠。特别是莫扎特的小提琴协奏曲，单纯、明丽、幽雅而流畅。有人利用计算机研究分析了几首莫扎特的小提琴协奏曲的曲式结腹，发现99%都符合，或近似符合黄金分割律。用更通俗的话来说，就是曲调的重要段落所在位置，大都在整部曲子的0.613处。此外，附属主题、音调转接、主题再现、副歌开始等等，也大都相对发生于各段的黄金分割点。

也许，莫扎特的小提琴协奏曲给人的‘简单和美’的感觉，就根源于这些简单的黄金分割？

刚才介绍过现代作曲家根 分形迭代创作的‘分形音乐’。也有人用更简单的数学规律，诸如二进制序列，各种级数，甚至一段英语文字等等，来创作音乐。用数学作曲，已经成为现代作曲家的热门课题。反正，音乐曲谱实际上也是一种编码，只要你想出一种什厶方法，将数学的东西与音乐码互相转换，你就能写出一段曲子来。好听与否就是另一回事了。

其他如绘画、雕塑、建诛设计中的分形更是比比皆是，见图（9.1）。

图（9.1）∶艺术中的分形

图（9.2）∶用迭代法产生的‘山’

林零向王二介绍完毕她所听的“分形音乐”讲座内容，对听呆了的王二说∶

“真没想到理科研究的东西也能用到如此感性的音乐和艺术上！有人说∶感性让人自然，理性让人智慧，理性和感性结合才能产生完美。你知道吗？讲座开始时，我说到的那个音乐理论女老师，就是讲课的秦教授自己┅┅”

王二很灵光，想象力十足∶“那厶，那个数学教师，後来就成了她的丈夫，对吧？”

林零无语，只对王二嫣然一笑。

下面是Stony Brook 一个音乐系学生根 Fibonacci数而作的一小段曲子，他用钢琴演奏出来∶

https://docs.google.com/leaf?id=0B7ZOv_0yiMYgM2VlMDQwNTMtNDU2Yi00MWZk...

到下列视频网站，可以欣赏更多的分形音乐:

http://www.youtube.com/watch?v=uHg_g-3Yeow&feature=related

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