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 | 再搀和几句房贷：单利 vs 复利 |
| | 1) 开场白
昨晚在 BBS 说了码个小帖讨论如何“实现”房贷的“单利模型”的，这里试着抛出这个帖子，作抛砖引玉之想。因集腋可成裘，故也希望那些有一定康门三四 (特别是真正的行家、圈内人士) 批评或者提出合理的见解。
先说几句开场白，只因论坛这几天就房贷是 based on “Simple Interest (单利)”还是“Compound Interest (复利)”讨论得热火朝天，甚至连大家更加熟知的 Savings Account 是 based on 单利还是复利模型也出现了点小分歧。作为一个只有点康门三四的金融盲，我不清楚在金融界，Simple Interest & Compound Interest 是不是 (strictly) well defined 了的术语，但是这几天我和大家讨论时也顺便度娘了 wiki 百科，看了那里的解释、定义，所以我想那里对这两个名词的释义应该是普遍接受了的解释。
这里再说一次我 (对论坛朋友帖子) 的观点：如谁对单利复利的理解不同，即使和约定俗成的不同，也是可以的 (至少我没意见)，但是要不自相矛盾，要前后自洽。对俺这样半文半理、毕业于重点中专的学生而言，看别人如何“develop”一套俱备 self-consistency 的东西，也是某种享受。
讨论问题是需要某些共识为基础的。这里尽管大家在争论房贷是基于单利还是复利，但是争论的(主要)双方对单利 (Simple Interest)、复利 (Compound Interest) 的理解是没有分歧的，那就是：无论是 Savings Account 还是 Mortgage Account，利息 Interest 如果不产生利息，属单利；如果利息产生了利息，亦即通常所说的“利滚利”，属于复利。这个理解是和 wiki 百科的解释一致的。在这个意义上，美国的 savings account 是 based on 复利，这点也基本上得以认同 (除了个别同学外，不过那是非主流，这里不费笔墨)。
但是对房贷是 based on Simple Interest or Compound Interest，分歧就大不少。尽管根据统计员明城同学的统计，在上述约定下，大部分同学认为房贷是based on Compound Interest，但是认为房贷是基于单利模式的，也有好几位。通过几天的观察，这几人认为房贷是基于单利模式的主要理由是：当房贷定下来后，Mortgage payment 就定下来了，如果客户定期配这个数据，就自动意味着当月的利息已经付清了，所以利息不会产生新的利息，所以房贷模型是基于单利 Simple Interest 的。当然也有一些较为冷僻点的观点，例如铁狮子的一个观点是，“(利滚利) 我也就觉得不合理，借债还钱付息理所应当。而利息并不是我们向银行借的钱，凭什么也要付利息呢？”等。还有个别更加冷僻的观点，例如美国政府为美国人民着想，所以房贷收取单利而不是复利，因为复利给百姓的负担过重，等，这里就不详述了。
作为“复利论”阵营的一员，我试了几个不同的方法让那些“单利论”阵营的同学放弃他们的观点，可惜没有成功。俺的几个主要方法重述如下：
a) 康门三四。既然你存钱的 Savings Account 银行都给你复利，那么对银行借钱给你的房贷，银行会只收取单利么？30 年 (typical 贷款期限) 可不是短时间，银行就算是慈眉善目充满爱心的慈善家，他们也没法承担 Simple Interest 给他们带来的巨额亏损。大家查查数据就知道，美国的 Real Property Market 比股市大多了。
b) (对上面单利论者的主流观点提出个悖论) 考虑个 initial loan = $500,000，rate = 6%，30-year 的房贷。Monthly mortgage payment = $2,997.75。单利论者认为，如果客户每月配 $2,997.75，那么利息付清了，因此是单利；但是如果某月配额小于这个数，那么利息没有配完，只有这时才会有复利。比如说每月只配 $2,751.07，就会产生复利。俺说你可将这月配 $2,751.07 理解成 P=$5000,000，rate=6%，40-year的贷款就成了，(按照他们的观点) 两者都对应 P=$5000,000，rate=6% 的 Simple Interest Case。那几位同学居然看不出这是以彼之矛攻彼之盾的 Paradox，真令人无语。
c) Compound interest 的特征是，在计利息时，本金和利息是等价的，是可以不区分可以混为一谈的。真实话语同学总结得好，“凡是按当前Balance计利的都算复利”。单利模型则相反，因为利息是被排斥在本金之外的，所以单利模型 balance 中，本金和利息是要区分开来的，因为前者参与下一轮的利息计算，后者不能。房贷 mortgage 公式的推导过程，恰恰表明了它是 based on compound interest。
顺当说一下，就我所知的而言，中国以前银行就储蓄帐户而言，是明确规定了计单利的。现在官方的规定是：
a) 活期储蓄 (大抵对应于美国的 Savings)：计单利；
b) 定期储蓄 (大抵对应于美国的 CD)：假设 5 年的定期。5 年后，储户如果不将钱取出，银行会自动 renew (和美国这边差不多)，renew 时将利息计入，算作本金，期满后 (亦即另一 5 年后) 一起 compound 算利息。这和美国这边的 CD 有所差别。据我所知，美国的 CD 在 CD period 内 rate 固定，但是利息是 monthly compounded 的。
民间。民间的金融活动当然基本上都是高利贷性质的。一般的民间高利贷，只要不过份，官方也默许。一般民间的高利贷 by convention 是只计单利的 (是不是大部份这样我就不知道，我知道的是这样)。一则是因为大部分老百姓脑袋里并无复利这个概念，另一方面高利贷期限一般不长，复利还是单利并无多大的区别。民间高利贷的 rate，例如一两年的，现在一般在 12% 左右，短期的，30%-40% is common。官方 approve 做高利贷性质生意的，好像是 rate 如果不高于 36%，则是没有问题的。当然这些是我的个人了解，不一定准确。
2) 房贷的单利 Simple Interest 模型。
先看最简单的 Savings Account，存款，simple annual rate R = 6% = 0.5% monthly = r，initial deposit P = P_0 = 500,000。For simple interest，假设 no other transactions，前几月的结果如下：
月份 月初总金额 B 本金部分 P 利息部分 I 月底所得利息 i
0 500,000 500,000 0 2,500 (=P*r)
1 502,500 500,000 2,500 2,500
2 505,000 500,000 5,000 2,500
3 507,500 500,000 7,500 2,500
........
很明显，for k-th month，本金 P_k = P = constant，总金额 B_k = P + 2500*k。B_k = B(k) 是离散时间 k 的线性函数。大家可能会纳闷，这么简单为啥还搬出来说事。这是因为，这个最简单的 case 能让最多的人明白 Simple Interest 是如何计算的，关键的地方是，尽管账号每月的总 Balance 在变化，但是本金部分和利息部分分开统计的。这是必要的，因为只有本金部分参与利息的计算，利息不能产生新的利息。
接下来我们复习现在的房贷的 Mortgage 是如何算的。假设客户每月月初付款 M，这样，咱们就有
0) 最开始，Balance B_0 = P (你的 principal amount)；
1) 1st month，B_1 = (1+r) P - M，这是你的 principal amount，因为最开始你借了银行 P 这么多钱，银行按照月率 r 收利息，但是随后你偿还了 M 这么多钱；
2) 2nd month，类似的，B_2 = (1+r)*( (1+r) P - M) - M = P (1+r)^2 - (1+(1+r))*M;
3) 3rd month, B_3 = (1+r)*P_2 -M = P(1+3)^3 - (1+(1+r)+(1+r)^2)*M;
........
N) Nth month，B_N = P (1+r)^N - (1+ (1+r) + (1+r)^2 + ... + (1+r)^(N-1))*M
= P (1+r)^N - M*( (1+r)^N - 1)/r
因为你假设 N 月后偿还贷款，所以 B_N = 0，所以从上个公式就可以计算出你的月配 M 出来。
好，言归正传。咱们来看基于 Simple Interest 的房贷到底该如何。沿用上述记号，并且用 P_k 表示第 k 月的 Principal，I_k 表示第 k 月的 Interest，B_k = P_k + I_k，我们有：
0) 最开始，Balance B_0 = P (你的 principal amount)；
1) 1st month，B_1 = (1+r) P - M，这和 Compound Interest Model 是一样的，因为最开始账号上没有任何利息。现在，和 Compound Interest Model 不同，我们得严密跟踪 P_1 and I_1:
B_1 = P_1 + I_1 = (P-M) + r*P
2) 2nd month，注意此时只有 P_1 产生利息，所以
B_2 = P_1 (1+r) + I_1 - M = (P-M) (1+r) + r*P -M
= (P-2M) + r*(2P-M) = P_2 + I_2
3) 3rd month， B_3 = P_2 (1+r) + I_2 - M = (P-2M) (1+r) + r*(2P-M) -M
= (P-3M) + r*(3P-3M) = P_3 + I_3
.................
N) Nth month，
B_N = (1+r)*P_(N-1) + I_(N-1) - M = (P-N*M) + r*(N*P-M*N*(N-1)/2) = P_N + I_N
显然，如果 M = 0 (不付钱)，从上式得出 B_N = P + N*P*r，这自然是理所当然的。
因为已经假设 N 月后偿还贷款，所以 B_N = 0，所以从上个公式就可以计算出你的月配 M 出来，结果是：
M = P (1+N*r) / (N + N*(N-1)*r/2)
对无息贷款，r=0，那么从上式得出：M = P/N，这自然是理所当然的。
和 Compound Interest 的房贷对比计算结果 (Assume P=500,000，R=6%，30-year，N=360)：
复利模型 单利模型
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Monthly Mortgage 2,997.75 2,049.48
Total Interest 579,190.95 237,812.80
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