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 | 房贷是基于复利而不是单利的：通俗易懂版 |
| | 最后一帖 (尽管食言了，昨天说了不再讨论这个的)，尽量写得通俗易懂，但愿对个别人 (例如潜水没有发言的) 起一定的作用。
不参与讨论或者辩论。不过如果有诸如计算错误之类的问题，大家指出后我还是会谢谢并且改正的。
基于篇幅，这里就不详细解释单利 Simple Interest 或者复利 Compound Interest 的定义，好在大家对这个没有分歧。
首先，来点康门三四。
1) 大家知道美国银行的存款 savings account (等) 是基于复利的，所以除非特别原因 (例如政府命令等。这种可能是存在的，例如中国就规定活期储蓄是单利储蓄)，贷款 (包括房贷) 也应该是复利的，否则银行在自杀。单利和复利的差别，在短期是没太大的差别，但是对长期 (例如 30 年) 储蓄或者贷款而言，差别是很大的。我前不久根据单利的定义，给房贷建立了个单利的模型，计算结果表明，对普通房贷，50万、30年、6% rate，单利、复利模型的利息差别，是 34-35 万左右。
2) 最重要的、不过也通常不那么被人注意到的康门三四，是对一个成熟、公平的市场而言，复利模型才是合理的，单利模型反而是不合理的。在 rate 公平合理的前提下，单利等同于借贷人抢劫放贷人 (例如中国的活期储蓄，就等同于银行抢劫客户的钱)。所以，通常的贷款 (包括房贷) 计复利，是天经地义的，这和银行、大栅栏墙街贪婪与否没有关系。这点，金融大佬、诺贝尔经济学奖得主的高徒全伊从专业的角度给了个简洁的解释。这里，俺再 次来个通俗的解释。复利模型之所以公平合理，是因为复利模型中，本金 Principal 和利息 Interest 是等价的，它们都能在下一轮利息结算中产生利息，而单利模型中，本金和利息是两种不同的钱，前者是能下蛋的金母鸡，能产生利息，后者则不能，但是从投资角 度而言，两者显然是等价的，没有区别。也就是说，对一个成熟、合理的市场而言，除非特例，储蓄、贷款都应该是基于复利的 (简单的说，就是允许利息产生利息，亦即利滚利)，基于单利的反而是不合理的。据说从商业角度而言复利是犹太人的发明，因此你说犹太人贪婪也行，见利忘义 也罢，但是你得承认他们的智慧和理性。
普通房贷是一种特殊贷款么？不是的，因为房贷 mortgage 配额公式，和房地产本身没有直接关系，那个公式适应所有分期等额付款形式的贷款，例如车贷。这点，大家随便找相应的 Online Calculators 验证验证就可以了，无须详述。所以，从康门三四角度而言，普通房贷应该是基于复利模型的贷款，否则否则目前市场上绝大部分分期等额付款形式的贷款就会是基 于单利的，这显然不对。
就我个人而言，我十分纳闷为啥居然有很多人认为房贷 (从而几乎所有的分期等额付款形式的贷款) 是基于单利模型的，这些人固然有少数是胡绞蛮缠的，但是大部份却是认真的。这真让人吃惊。
认 为是单利模型的人中，主要理由是这样的：在 mortgage 决定下来后，如果客户定期定量付款，那么每个月的利息就配完了，所以不存在利滚利的可能，所以房贷是计单利的。这种说法初看起来有些似是而非，花 个几分钟细细考究，就会明白站不住脚。这是因为，如果每个月的利息就配完了，那就只表明客户不会有额外的利滚利；如果某个月没有配完，那么没有配完的部 分，如果完全按照贷款模型，就会有额外的利滚利。无论客户定期定量配房贷与否，都不会改变既定的 Mortgage 原本就包含了利滚利与否这个事实，因为这是不相关联的两码事。
那么既定的 Mortgage 是不是已经包含了利息产生的利息部分呢？肯定的。除了上述康门三四告诉你肯定外，我们还可以通过具体论证以及实例来表明这一点，尽管许多同学这么做了，但是我这里的方法和例子的角度不同，兴许会有额外的启发。
论证之前说两句题外话。
1) Mortgage 公式推理过程清楚的表明，因为每一轮结算利息时，利息是根据 current balance 计算的，所以它肯定是基于复利的模型，这点任何人都没法否认。本来，正因为 Mortgage 毫无疑问是基于复利模型的，话题就完全可以结束了，可以说 PERIOD 了，问题是有的同学一定得去用单利解释它，并且说没有利滚利。
2) 那么它是不是也有可能符合单利的定义、在是复利模型的前提下，同时也是单利模型呢？单利论者认为，是的，只要每个月的付款超过了利息，那么付款首先应该支 付利息部分，然后才是本金部分，而房贷月配明显超过了第一个月的利息 (从而超过以后任何一个月的利息)，所以利息部分完全被抵消了，所以它也应该是单利模型。
3) 我几次要求单利派朋友为房贷给出个复利模型，可是至今没有看到任何进展。另一方面，我和真是好玩等人很早就为房贷建立了单利模型。
从纯算术角度而言，2) 可以成立。但是概念上，它和直观是违背的，毫无疑问会导致荒谬的结论。这是因为 2) 严重依赖这样一个假设，并且会导出一个看起来很荒谬的结论 (这个结论是单利论几位主将已经承认了的)：
a) 依赖的假设： 单利模型中，客户偿还的钱必须先算利息，剩余部分 (如果有) 才算本金。他们说这是银行的规定，但是至今没有找到权威的根据，也没有解释这个规定的合理性。就康门三四而言，这个规定显然是不合理的，因为你存入银行的 钱是算利息还是本金？算利息，显得荒谬，所以应该算本金。所以基于对称原理，对单利贷款模型而言，你配的钱，自然只能算本金。复利模型则不存在这个 concern，因为利息和本金是等价的，算什么都是一样的。
b) 从这个假设推出的结论： 理论上不存在基于复利模型的分期等配额的贷款。这个结论毫无疑问是可笑的。即使它确实正确，这么重大的结论也应该从教材或者权威部门找到依据。谁找到了 么？再说，基于贷款和存款的对称性，如果我每月一号定期在储蓄账号 (假设 $10000 存款，5% Rate) 里取走 $100，银行就不给我计复利了？这不荒谬么？
另外补充两个 Issues:
1) 我发现一些单利的朋友不区分“Interest”这个词的外延，混为一谈。在银行年底给你的报税表中，银行会告诉你你为 mortgage 支付了多少利息。那个利息 is defined as your total payments，less your balance/principal change。这个利息实际上是 Interest you've paid 的意思。但是在贷款单利模型中，你某月k 的 Balance B_k 包含两部分：本金部分和利息部分：B_k = P_k + I_k，这里的利息的意思是你的账号 Balance 中“Interest Portion”这个意思，和上面的 Interest you've paid 是两码事，有些同学居然混为一谈。对单利模型而言，这里的 B_k、P_k and I_k 中有两个是独立变量，下一轮的利息，是这两个变量的函数，而复利模型则只是一个独立变量 B_k 的函数。从这个意义而言，复利模型比单利模型结构上简单。
2) 其实单利者们以前 ZT 的文章，说 no interest compound 的，基本上都是说房贷违约情形下所欠的钱是否去 compound interest 这回事情，包括一些官司案例。在违约情形下，法律对客户的保护，通常是对弱势一方的保护，代价就是破坏游戏规则的公平、合理。文明社会的特征之一就是强势 一方 yield 弱势的一方，比如说，吃救济享受福利。食品券是从天上掉下来的么？当然不是，是从那些较富裕些的人口袋里掏出来的。客户还款违约后，如果完全按照借贷模 型，那么客户违约的那部分 extra balance 会计入当前 current balance，重新计算 mortgage 配额。法律对客户的保护，就是禁止这一部分。法律这么做的另一依据，我猜，是因为银行的损失有个 bottom line：foreclosure。因此，对于客户违约房贷，银行几乎不会去 recalculate new mortgage payment，而是采取另外的惩罚方式。 但是这并非说原既定的 mortgage 没有利滚利。利滚利 (复利) 才是成熟的、合理的、公平的，也是“道德”的。
好，接下来稍微形式化一点。很明显，如果你将贷款看成是 balance 是负数的存款，那么存款和贷款实际上是一回事情。例如你从银行贷款 $500,000，那就等价于你的帐户里有 -500,000 的 Balance。所谓的房贷或者车贷，无非就是银行主管牵着你的手，签订了一个协议，这个协议就是告诉你，你每个月往这个账号里存入多少钱，使得 360 月后 (对 30年贷款而言)，你的账号 Balance = 0，就这么一回事情。
有了这个铺垫后，余下的问题就很好理解了。比 如，就单利帐户而言，你去银行开个帐户，你存入 500,000，这个 500,000 算本金还是利息？当然算本金，因为算利息未免太荒唐。如果你第二个月存入 10,000，这 10,000 自然也只能算本金，因为这笔钱和利息无关。类似的，如果你开始贷 500,000，或者说存入 -500,000，这个 -500,000 算什么？自然也是本金。第二个月你存入 10,000，它当然也是本金。这里的概念相当清晰，那就是，无论对贷款还是存款，你存入的钱都是本金，不是利息。这就否定了上面单利派所依赖的假设，所 以我们再次证明了，单利模型是不对的。
如果这些还不能让他们信服，那么我们看个实例，从数据上证明房贷是复利而不是单利。因为这个实例就是来自 Mortgage 本身，所以它最有说服力。
实例：假设贷 款 $500,000，年限 30 年，annual simple rate = 6%。那么根据 online mortgage calculator，monthly payment c = $2,997.75，total interest = $579,190.93。我们记这为方案A。
现在，我们假设在第一个月来个 prepayment，多配 $10,000。此后不再多配，每月恰好配 c = $2,997.75。我们记这为方案 B。大家进入这个网站 http://mortgage-x.com/calculators/prepayments.htm 计 算一下，结果是：total interest = $531,931.97，节省利息 $47,258.96，大约提早 19 个月还清贷款。这里之所以说是“大约19月”，是因为方案B的最后一个月不需要配 $2,997.75。考虑到方案 B 最后一个月实配 2,682.68，和 c 相差不大，所以我们以提早 19 个月进行估算，判断房贷到底是单利还是复利。
方案 B 既然能节省 $47,258.96 这么多的利息，这个省下的利息必然来自方案 A 和方案 B 之间的差别。差别是什么？很明显，因为两个方案在第2-341月配额完全一样，所以差别只在第一个月以及方案 A 的最后19个月。具体的，是：
1st month，方案 B 多配 $10,000；
342-360th month：方案 A 继续在配 Mortgage。
所以两个方案的利息差别，应该等于方案 B 那个 $10,000 在第 2-341 个月，总共 340 个月，产生的利息，再加上方案 A 在 342-360th months (最后19个月) 利息的总和。
方 案 A 在342-360th month (最后19个月)利息的总和可以在amortization schedule 找到，将最后19个月的利息加起来就是。我做点苦力活，用 whole dollar 的办法四舍五入将它们加起来，得到 I_2 = $2,750。
现在来计算方案 B 最开始的一万产生的利息。
如果是单利模型，按照单利派的解释，这个10000必须是本金，因为第一个月的 c 比利息多，利息还完了。所以这个本金应该产生利息
A_1 = $10,000*340*0.005 = $17,000。
A_1 + I_2 = $17,000 + $2,750 = $19,750，这个和实际节省的利息 $47,258.96 相差很多，所以单利模型完全不能解释这个结果。
如果是复利模型，这个本金应该产生利息 B_1 = $10,000*1.005^340 - $10,0000 = $44,508.09
B_1 + I_2 = $44,508.09 + $2,750 = $47,258.09。这和节省的利息 $47,258.96 是一致的。其中约 $1 的估算差别来自哪里，我也懒得说了，大家去整。
计算结果很明确吧？房贷是基于复利模型的。句号，呵呵。 |
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