真是好玩（積、和相互推理）智力題的矩陣分析法

特有理

2013-3-29

才女真是好玩和紫荊棘鳥最近各出了一道相互推理的智力題。真是好玩的題要分別從兩個數的積與和的數理邏輯關係推導出具體的數值；紫荊棘鳥的題是要從月份和日子兩個變量的邏輯信息中推理出具體的生日。詳見昨日紫荊棘鳥的概括性大作《說說真是好玩那道邏輯推理題》，我就偷個懶不再翻找她們的原題的鏈接了，都是跟帖找起來太麻煩。直接從紫鳥的帖子裡搬過來如下：

真是好玩的原題：

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一天，王先生拿出一套卡片，上寫從2到99個數字，每張一個數字。抽出兩張。相加之後，把和告訴張先生，把積告訴李先生。當然，張和李都不知道對方的數字是什麼。於是有如下一段對話：

  張：我不知道那兩個數字是什麼，但是我知道你也不知道。
  李：我本來不知道，你這麼一說我就知道了。
  張：那我也知道了。

  問：那兩個數字是什麼？
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紫荊棘鳥的原題：

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小明和小強都是張老師的學生，張老師的生日是M月N日，2人都知道張老師的生日是下列10組中的一天，張老師把M值告訴了小明，把N值告訴了小強，張老師問他們知道他的生日是那一天嗎？
3月4日 3月5日 3月8日
6月4日 6月7日
9月1日 9月5日
12月1日 12月2日 12月8日
小明說：我不知道的，但是我也知道小強不知道。
小強說：本來我也不知道，但是現在我知道了。
小明說：哦，那我也知道了。
請根據以上對話推斷出張老師的生日是哪一天？
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要說紫鳥那道老師生日的題堪稱此類問題的經典模式。用成語形容就是“抽絲剝繭”，從邏輯推理角度就是通過不完整的信息去排除確定不是的元素，從而最終找到符合信息洽和的唯一結果。而好玩的題由於範圍較大，組合太多還沒做就感到巨大壓力。今兒借着紫鳥的啟發及長周末的閒暇，對好玩的題認真分析了一下，覺得用矩陣法很直觀。特此拋磚引玉與大家探討一下。

紫鳥的文章里已經說的很明白：知和者（張三）只要能找到兩個素數相加的組合，就能確認知積者（李四）有可能找到唯一答案。在此我要補充的是：2與素數的和同樣歸於此類，詳見下面18X19矩陣中深色標註的數字。因此，如果張三能夠確認李四也無法確定具體的兩個數字，說明此和的數字組合完全不包括2與素數及素數與素數的相加組合。例如矩陣中斜線方向的11，17，23。其它如7，8，9，10，12，13，14，18 。。。30的相加組合都不能確認李四不知道。

那麼李四在得到張三的信息後，必須能夠排除兩數相乘的N-1個組合才能得到唯一的確切答案。以紫鳥的（4，13）為例：假如李四的積是52，那麼只有兩種組合滿足要求，4X13和2X26。反推到和數則和有17和28兩種可能。從矩陣中可看到：17不包括2與素數及素數與素數的相加組合；而28則含有所見的11+17的組合。因此，如果張三確定李四也不知道，則張三的和必定為17。由此可以斷定52是由4X13兩個數得來。到此，李四已知道答案。

張三根據李四知道的信息，只要查看矩陣表格中7種數字乘積的組合反演到加法後那些值是否落入深色區域就可判斷，當然此表必須擴展才能全部看到。張三若要得到答案，必須在7個組合中有唯一一個組合沒落入深色區域才行。

但是，如果把區域擴展，還會不會有其它的數組也符合這三層的數理邏輯關係呢？難到是不難，時間的花費應該是指數增長的吧。

局部矩陣：