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有姐妹兩人，貧困潦倒，無依無靠，住在一間廉價出租公寓。這個公寓的房客都是和她們類似的窮人。她們的隔壁鄰居是個不得志的畫家。姐姐得了病，但是沒錢去看醫生，病一天天重下去。她們房間窗口望出去是一堵牆，牆上有一朵薔薇，正在開花。姐姐對妹妹說，等到這薔薇的花謝了，我就不行了。可是一天天過去，這朵薔薇非但沒有凋零的跡象，而且越開越鮮艷，姐姐的病也終於慢慢好轉。有一天下雨，大概是屋子漏雨，他們去敲畫家的門，請他幫個忙。過了好久，畫家才來開門。畫家病得很厲害，地上都是泥水，還有一雙沾滿了泥漿的靴子。幾天之後，畫家離開了人世。兄長告訴我，這就是美國作家O Henry 的著名短篇《薔薇》中一個片段。幾年之後，我和這位兄長都離開了農村。我後來來了美國。這位兄長後來回上海了，他就是上海第一測量事務所副總經濟師林才和先生，上海浦東機場的招標就是他們負責的。

這個故事深深打動了我，幾十年過去，我對這個故事的深刻內涵，又有了更深刻的理解。為寫這篇短文，我對這個40年前聽到的故事做了一些查證，原來小說名為《最後的葉子》（The Last Leave）。或許是兄長記錯了，也可能是當時的中文譯者覺得《薔薇》更能吸引眼球。我記憶中的故事情節和原著也有些出入，但不管是葉子還是薔薇，這個故事所折射出的哲理和由此而得的啟迪，我永遠不會忘記。

學術研究是一件很嚴肅的事，應該和這多少有些唯心的“暗示”沒什麼關係。但是經常有這種情況，一個研究課題，好多年沒人能做出來，不管沿什麼途徑，用什麼方法，有時感覺只是一步之遙了，最後還是敗下陣來。然而，當某人用一個方法解出來後，那些原來鎩羽而歸的途徑和方法，卻似柳暗花明，個個豁然開朗都有解了。就我所知，這方面最著名的例子是用來描述鐵磁體的Ising模型。此模型由Ising於1925年提出，一維很容易解，但沒有相變，故只是個數學工藝品而已。二維嚴格解直到1944年才由Onsager給出，成了人類歷史上第一個觀察到的相變模型（水變成水蒸氣就是液相轉換為氣相）。在他解出後，沒有幾年，那些原來死路一條的方法猶如枯木逢春，一個個殊途同歸的嚴格解象雨後春筍似地冒了出來。我知道的就有四種： Kaufmann的矩陣代數，Fisher的（量子力學）產生湮滅算符，Percus的排列組合方法，還有一種是Dimer（在晶格上覆蓋兩個最近鄰格點的條狀物），其作者就記不得了。上述四種嚴格解，看上去都比原始解要簡潔明了。但是不得不承認，沒有Onsager前輩的解答壯膽，人們可能就不會去啃這塊毫無希望的硬骨頭，因為有可能會就此虛度一生，一事無成。只有在他解出後，大家才確信，這“題目”對於高手來說，是屬於“回家作業”級的。所以大家每當說起Ising模型，還是言必稱Onsager解。

另一個例子是我的親身經歷，關於集體振動模式（Collective Modes）。這玩藝由Bohm 和Pines（曾任《Review of Modern Physics》總編輯）於1955年提出，看上去似乎極其有用，所以大家寫論文都喜歡引用。一為方便，二為時髦，其中以蘇聯超級大師Landau最為積極起勁。然而，因為這些模式的內在數學關係實在是深奧莫測，大家也就引用而已，從來沒有解決過具體問題。一直到1991年，即使在最簡單的一維情況，也是毫無進展。Landau大師在引用過程中，還錯了好幾次。

但是，說毫無進展，也並不確切，只是大家不知道而已。當年的貝爾實驗室（Bell Lab）有一位數值模擬（Simulation）大師，幾十年前他就設計過水分子相變實驗，在當時堪稱世界之最。所以說他大師，絕無吹捧之嫌。他自己不會寫任何語言的程序，太太就是他的程序員。所以貝爾實驗室給他的編制多少年來也就是三個人：他，他太太和一個博士後。他於80年代後期設計了一個極為精巧的實驗，他發現這些模式在一維的某些特定條件下，會形成一個個恆等式。後來，他曾把這些計算機紙傳真過來給我。雙精度的數字，幾十行幾百行全是16個0，沒有半點雜音。這些恆等式，自然不是解析形式的，只是說，在這些函數上任意取點，函數值都是0，小數點後面乾乾淨淨的跟着16個0。

可以說，看到這個結果，任何一個物理學家都不可能不興奮。如果說這些恆等式不存在，你運氣好，所取的點正好都在函數的零點，而且這幾百個點都準確到16位小數，那這幾率比世界上最難中的彩票還要小無數倍。但是，他經過幾年悄悄的努力，在理論方面沒有取得任何進展。1991年春天，他向我導師求助。我導師沒有透露半點風聲，利用一個鮮為人知的牛頓名下的定理，跨出了萬里長征的第一步。卻不料，他馬上就遇到了問題。兩個月後，他決定叫我參加。第二天，我告訴導師，這些恆等式在某種特定情況是存在的，白紙黑字，不容置疑。兩人當時的激動心情實在是難以用言辭形容。兩星期左右，我們將一般情況下的（一維）解析表達式全部解出。文章在《Physical Review》發表後，我收到了好幾十份索取複印件的明信片。其中，包括了當時的美國陸軍研究所主任。

在實際工作中，我們經常需要消除各種各樣的振動。然而不同模式的振動，將其消除的難度在工程上是不一樣的。一般來說，低頻振動比較容易消除，消除高頻震動難度就大一些。現在我們的工作發現，高頻振動是某些特定的低頻振動的非線性函數。假定XY代表兩種低頻振動，Z是一種高頻振動。我們發現Z和XY建存在着解析關係，Z = XY + sqrt(XX+YY) 。現在假定XY很容易用工程手段消除，而消除Z則勞民傷財。我們的工作指出，只要消除了X和Y，即迫使它們為零，Z就會自動為零。模式之間的實際數學關係比這要複雜得多，但是通過這個簡單的例子，我們可以看到這項工作的重大意義。消除或產生某一頻率的振動向來是工程師的專利，現在數學家靠一支筆，一張紙（或許不止一張），居然可以達到同樣的目的，“紙上談兵”將不再是個純粹的貶義詞。

這篇文章當然有自己抬轎子的嫌疑。其實，在離開學校這麼多年後，抬轎子已經沒有任何意義，但是這故事所包含的道理對有志搞研究的同仁還是很有啟發性的。沒有該大師開創性的計算機實驗，我想即便花兩個星期，天天去閒聊喝咖啡，我和我導師也絕對不會去幹這號“傻事”的。在看到他的結果以前，這就是一個超難的研究課題，前途渺茫。誰知道是兩個星期，兩個月，還是兩年，甚至是20年仰或一輩子。待到看了數值模擬大師的結果，我們和他都知道這是一個高級回家作業，即使我們做不出，肯定另有高手能夠做出。

該大師在做一維實驗的同時，還一如既往嚴謹巧妙地設計了用三角形晶格做的二維實驗。其中，他發現了無序的液態和結晶狀態的固態；發現了性質很象液晶的狀態；甚至還發現在接近某參數條件時，計算機速度明顯變慢！這應該就是傳說中的相變。這裡提供的線索儘管很鼓舞人心，但其中的暗示畢竟沒有一維實驗那麼明確。可以想象，其中各種（二維）模式間的數學關係，也一定比一維複雜得多。我離開學校後的這十幾年，至少有那麼四五次，想根據大師提供的暗示，在二維情況邁出萬里長征第一步，但都如上所說，好幾次一個意想不到的陷阱，就出現在離成功僅一步之遙的地方。

那篇文章發表十年後，我去查了一下引用文獻（Citation），居然是零。這說明，當初寄明信片向我索要Reprint的人群，連最小的突破都沒取得，至少可以說他們的“成果”還無法發表。我在電話中嚮導師匯報了此事。老人家說：”下一次突破，恐怕就不止40年了”。值得慶幸的是，由於這位大師的工作，薔薇花繼續盛開，葉子還是高懸在牆上，有志於此的同仁至少能看到漫長隧道盡頭的一絲曙光。