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Topic 1) 引力的本质是弯曲的时空吗？(续)

好，前面咱们对狭义相对论简略地做了个铺垫，接下来咱们来看老爱的引力理论，也就是广义相对论。我们来看看广义相对论到底是不是时空弯曲。先从上次回答胡鲁的留言、以及嘎拉哈同学的一则评论开始：

胡鲁：嗯。结论：物理是哲学问题。
紫荆棘鸟：算一半靠谱了，(物理和哲学) 表述上都有主观色彩 (尽管受制于exiting 表述方式，特别是 math)，但哲学只要求逻辑上自洽，不要求回归到现实世界里接受检验。本质上，俺就是要忽悠出这样个结果，让大家明白：
1) 狭义相对论是本质的，是物理的；
2) 广义相对论是非物理的，它只是一种表达。

嘎拉哈：(留言部分，因为原留言太长)
爱因斯坦确实聪明，但同时也必须承认，他也是一个老滑头。以时空弯曲为例，他把万有引力用几何方法同空间捏在一起的做法，其实是在踢皮球。问题在于，人家这一脚踢得漂亮，至少人家这一脚，又被观测所证实了（比如引力透镜的存在）。光线确实在大星体附近弯曲了。人类可能要等上数百年甚至更久，才可能搞清其中的奥秘。

有的同学可能会纳闷甚至生气，因为你前面不是说了么，老爱江湖地位能比肩牛顿，凭的就是广义相对论，这里你居然敢说“广义相对论是非物理的”，这不是蠢话、糊涂话么，这不是找骂么？其实不是。作为老爱的一名粉丝，俺断不会故意说贬低他老人家的话。其实这话可以这么看：既然广义相对论是非物理的，所以它就是可以不存在的；如果它存在并且还能极大地影响着物理本身，那就很能说明它的 creator 智慧上的卓尔不群。闲话少说，我们从直观上看广义相对论到底是怎么回事情。

作为题外话，我们从“大范围”看看广义相对论在物理学中大体上是个什么“地位”。没错，广义相对论比狭义相对论复杂很多 (狭义相对论除了对大家脑袋里根深蒂固的经典物理概念和图像的冲击外，本质上是很简单的)，但是它却不如狭义相对论那么重要。狭义相对论是有物理上本质意义的 (因为这个自然界存在个最大的速度)，它对物理的影响是全方位的。广义相对论主要是影响着天体物理和宇宙学；并且，因为本质上它是非物理的，所以即使它不对，本质上它不会动摇物理的根基，尽管实际上现代宇宙学得重新改写，但是这种改写是表述上的改写，尽管是工程浩大的改写，而且很可能因为技术上的困难而改写不了。

现在的 cosmology 最成型的，可能还是基于 Friedmann-Robertson-Walker 度规 (是广义相对论有物理意义的几个解析解之一) 下的宇宙学，可以称得上是宇宙学的 standard model，它不考虑量子效应。炸药奖得主温伯格等合写的专著 Gravity & Cosmology 可能是这方面最权威的著作。当然还有一些别的解析解和它们所对应的物理模型，这里就从略了。若考虑量子效应，那五花八门的理论就更多了，除了 big bang theory 得到很多人的认同外，其余的似乎都是一家之言。这些理论在处理量子效应时因为必须兼顾广义相对论，所用的假设和技巧一般都是 semi-classical 的。有的理论出发点很是匪夷所思，至少俺对其 validation 充满疑惑，比如说暴胀模型，海森堡不确定性原理居然是其赖以立足的根本之一，因为大爆炸最初巨大的能量来源，是来自于时间的不确定性。

扯远了，我们来看广义相对论本身。我们知道，从 Hilbert “公理化物理”的角度而言，狭义相对论是其两个假设/公理基础上的演绎定理。广义相对论也是类似的，事实上它应该是到目前为止最完美的“公理化物理”的范例。我们看看广义相对论所依赖的一些假设，最经常提到的有两个：
1) 广义相对性原理：物理定律的形式在所有的观察者看来都是相同的；
2) 惯性质量和引力质量等效。
其实除此之外还有一个 (无论从物理还是曲面几何来考虑都应该包括)：
3) 局域的平直几何空间是闵可夫斯基空间，其时空变换遵循洛伦兹变换。

本质上，广义相对论是这三个前提下的数学定理，尽管具体到物理学，特别是宇宙学上，出于对天文观测结论的考虑 (例如宇宙是膨胀的而非静态的)，爱因斯坦引力场方程也可以加入一项宇宙学常数，但是这是另一回事情。

就个人理解而言，公设 1) 是和广义相对论的张量表述形式是对应的，很可能，张量表述形式是广义相对性原理数学表述的充分条件 (尽管看起来不会是必要条件)。尽管 1) 是狭义相对论原理 (以及牛顿第一运动定律) 的自然延伸，但是爱因斯坦将它 generalize 出来作为广义相对论表述上的公设提出来，不可否认地 (尽管也许是不可避免的 --- 参见下面俺准备简介的“希尔伯特广义相对论”)，它包含了老爱对物理表述形式化、对称化的偏爱。在我个人看来，如若广义相对论以后会有不同程度上的修正，那么三个公设中 1) 是最不可能被舍弃、修正的。这是一种美学上的信念。

公设 2) 应该就是引力恰好能用(伪) Riemann 曲面表述的本质原因。就物理而言，2) 在相当高的精度范围内得到了实验的支持 (废话，否则广义相对论早就被改写了，是不是)，但是这个公设本质上是物理的，而不像 1) 那样属于表述意义上的，所以它存在不对、需要修正的可能，反正我想不明白为啥引力质量非得等效于惯性质量。当年老爱和数学大师外尔折腾经典统一场论均以不了了之告终，他们为啥失败，俺不清楚，但是直觉上 2) 可能会带来重大障碍 (如果不是主要障碍的话)：因为引力质量完全等效于惯性质量了，所以局域微分几何就恰好能描述引力；如果谁将额外的物理对象 (在经典统一场论里，众所周知，主要是电磁相互作用) 纳入这个框架，传统的局域微分几何就难以简洁地将两者统一描述，除非你能将电磁相互作用和局域微分几何既定的几何概念 (例如挠率 ---- 当然这里只是举个例子) 对等起来。特别声明一下：外尔的统一场论是啥，我没看过，这里评论几句，很可能是不靠谱的，尽管我自认自己的直觉判断多少会有点道理。有懂行的评评看？

公设 3) 中的闵可夫斯基空间/洛伦兹变换 (本质上就是狭义相对论) 是和 1)、2) 完全独立的，也就是说，从描述引力的几何角度而言，比如说，这里的闵可夫斯基空间/洛伦兹变换可以被欧几里得空间/迦利略变换所取代 (亦即广义相对论所要求的局域范围内必须保证狭义相对论的有效性是可以被取代的，例如被牛顿经典力学取代)，从而得到一套并行的引力理论，尽管事实上没有人这么做，因为大家都知道牛顿力学应该被狭义相对论取代。上次我在某留言里这么说，有的同学表示惊讶，这也让我感到惊讶。这难道不明显么，如果你真明白 GR 的结构的话。可以预期的是，用欧几里得几何取代闵氏几何作为 GR 局域上的平直空间所得到的引力理论，在计算水星近日点进动的结果，数值只会有老爱的引力理论的一半。

所以，看到了么？公设 1) 是表述上的，公设 2) 是历史上本来就如此的 (只不过这里成了能用局域微分几何描述引力的关键)，公设 3) 虽然是物理，但那是狭义相对论带来的。所以本质上，“弯曲的时空”，亦即微分几何，只是引力的几何描述，而没有回答引力到底是什么这样更 physical、更 fundamental 的问题。

好了，闲侃 (2) 暂时到此，以后俺可能会接着闲侃别的话题，例如可变光速问题、物理构架上时间的特殊性等 (没打算具体先说哪个，到时有时间的话，滑到哪算哪)。这里剩余的篇幅，我们看看和 GR 以及 Einstein 有关的一则“野史”，我觉得这是比较有趣的。

(D. Hilbert & A. Einstein)

众所周知，上世纪声望最卓绝的两位数学大拿，一个是庞加莱，一个是希尔伯特，尽管老俄一般会将他们的科尔莫哥洛夫 (将概率论公理化的那位大拿) 排在榜首。当然，这里所提到的普林斯顿高等研究院的外尔 (Weyl)，也足以列入前十。有意思的是，庞加莱和狭义相对论有不解之缘，希尔伯特则和广义相对论结下了不解之缘。狭义相对论好说，简单，一般认为，即使老爱不横空出世，狭义相对论也很快会被别人例如庞加莱等人完成，这里略去不说，单说希尔伯特。作为“公理化物理”这一信念的主人，希尔伯特本人也对引力作出了研究，取得了一系列重大的结果，甚至有可能还在老爱之前得到了引力场方程，尽管他的引力场方程和老爱的并不完全一样。

爱因斯坦本人的切入点我们在上面说了，主要是那三个公设。希尔伯特的切入点和老爱的不一样，主要是立足于以下两个：

1) 广义相对性原理：物理定律的形式在所有的观察者看来都是相同的；
2) Mie's axiom of the world function。这里的 Mie 是一位德国物理学家 (希尔伯特是哪个国家的？呵呵)，Mie 这里和希尔伯特相关的理论，是假定咱们这个世界的物质，其实起源于电磁相互作用这样一个现在看起来匪夷所思的理论。这里所谓的 Mie's axiom of the world function，本质上就是 Mie 这个理论下的哈密顿量 H。

显然，1) 和老爱的 1) 是一回事情。历史上这两位伟人有过交往，有惺惺惜惺惺的味道。Hilbert 这里的 1) 是不是受了老爱的影响，就不得而知了，但是这和他本人的“公理化物理”的思想是吻合的。Hilbert 的引力理论包含了一系列重要结果，这里举几个重要的如下：
1) 关于 Ricci 张量的毕安其 (Bianchi) 恒等式；
2) 诺特定理 (Noether Theorem) 的原始雏形；
3) 和爱因斯坦的引力场方程某些类似的引力场方程。

Bianchi Identity 可能不算啥，但是诺特定理却是非同小可的。这个定理是物理学上最重要、最核心、最本质的定理之一，因为现代物理大家基本上都在研究对称性，而对称性和守恒流是对应的；而 Hilbert 引力场方程，因为他和老爱一样从广义相对性原理、用张量记号表述他的理论，里面和老爱的场方程一样，出现了像 Ricci 张量这样的几何/物理量。