踩踏事件的偏微分方程解

林晓

发生在2014年岁末的上海外滩人流踩踏事件，在数学上和原子弹爆炸是同解的问题，看官且慢表示你的轻慢和不肖，听我慢慢说来。这种现象数学上的宏观描述中文被称之为激波，日本人叫衝撃波，台湾人叫震波，俄国人叫Ударная хваля，美国人叫shock wave。

激波现象来自于守恒律，也叫做物质不灭定律，能量不灭定律，或者动量不灭定律。大海里的水，天上的空气都符合这个定律。高速公路上汽车符合这个定律，当然外滩上的人流也符合这个定律。进入外滩的人，既没有孙悟空用汗毛吹出更多的人的本事，也没有忍者的遁地术忽然消失。由守恒律建模导出的方程是一种波动方程，在数学上叫做双曲型偏微分方程，文革时杨乐张广厚研究的就是这类方程。原子弹的爆炸也适用于这类方程。这就是为什么外滩事件和原子弹爆炸在数学家的眼里是同一个问题的原因之所在。

激波是一种非线性波动。什么叫做非线性波动？如果一种扰动它的传播速度和扰动幅度大小无关，这种波动就是线性的，一般来说振幅较小的波动可以被看作是线性的，如水面波和声波。但是当波动幅度大到一定程度时，传播速度和振幅会有互动性。原子弹爆炸产生的冲击波也是空气波，和声波是一个爹妈生的两个儿子，只不过前者得了肥胖症，这种肥胖症具有自我增肥的能力，于是越来越胖，胖到了有横扫千军的威力。

人流的密度可以看作是一种波动，密度大的地方是波峰，密度小的地方是波谷。如果人流波传播的速度与密度无关，那就永远不会有踩踏事件的发生。所谓非线性波是说传播速度会随振幅的大小而变化。如果传播速度和振幅成正向关系，也就振幅越大传播速度越大，就会产生前向的冲击波。譬如大海里水波幅度大到一定程度后，会有后浪追前浪，那是因为后浪的振幅大，于是传播的速度也大，追浪的结果是在波前产生了一个冲浪，一个近乎垂直落下的间断性波前。大水年长江的洪峰也属于这样的冲击波。

不过外滩人流波的传播速度恰恰相反，与波动的振幅成反向关系，也就是人流密度越大，传播速度越小。这和高速公路上的汽车有点相似。这种非线性关系会产生一种后向的冲击波或向后的间断面。面对这种后向的冲击波，如果高速驶来的车辆刹不住，就会酿成大祸。外滩的踩踏也是这种后向冲击波。

一般来说人流密度有一个临界值，在这个值以下可以看作是线性波，不会发生爆发性事件，而超过这个值以后，问题就变得非线性了，于是就会产生激波，或衝撃波，或震波，或Ударная хваля，或shock wave。而政府的职责就是要把人流波的振幅控制在这个临界值以下，无论这个政府是中国大陆的，日本的，台湾的，俄罗斯的，还是美国的。