柔性梁的自振動分析屬結構動力學範疇，在航天、土木與機械工程中有廣泛的應用背景，也是工程學院研究生課程中的一個重要題目。美國eComputingX公司最近推出了近90個在線科學計算軟件工具（online software tools for scientific computing），其中一個恰好適用於Euler-Bernoulli梁的自振動分析：
SD-01: Vibration of Euler-Bernoulli Beams – Eigensolutions
這個在線軟件工具可用於智能手機與平板電腦（常規的電腦當然也行）。工具SD-01對工程師、教授與學生都非常有用。您如果不是eCX的會員，也可以點擊SD-01使用有限版的工具。
在線軟件工具SD-01對均勻分布Euler-Bernoulli梁的特徵值問題求解，在梁的任意邊界條件（支撐條件）下給出自振頻率與振型函數精確解析解，並對任意選定振型進行動漫演示（animation）。跟據該工具的參考資料（Subject Review），圖1中梁的橫向振動位移w由下面偏微分運動方程與邊界條件所控制：
式中各參量定義如下：
梁邊界條件的表達式見表1。
設梁位移為
將其帶入運動方程可得常微分方程
與相應邊界條件，其中
根據上面方程，梁的振型函數可表達為
其中未知常數a1, a2,a3, a4 由梁的邊界條件確定。將u(x)的表達式帶入邊界條件，最終可得一個梁的特徵方程（超越方程）
這個方程有無窮多的根
梁的自振頻率可由這些根來表達：
現在來看如何使用SD-01求解。打開工具頁面，可見圖形用戶界面（graphic user interface or GUI for short）如下：
我們的問題是：
梁的邊界條件：左端固支，右端滑動
梁的參數：r = 0.15, E = 8,000, I = 0.24, L = 3.78
根據上面數據修改GUI頁面，得
點擊Run鍵進行計算，立即得到結果（另起新的一頁）如下圖所示：
上圖所顯示的是梁的前四個自振頻率與相應的振型函數。此外，還有一個選定模態的動漫演示：
你如果點擊圖中上方的“Analysis”標籤，即可得到振型函數的解析表達式如下
除了SD-01，eComputingX的結構動力學工具箱中還有其他有用的工具:
感興趣者可點擊鏈接https://www.ecomputingx.com/tools.jsp 瀏覽。
捷算通
http://blog.creaders.net/JSTong/
2015/05/27
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