| | ZT: 木樁 blog 2015-11-07 http://blog.creaders.net/u/9037/201511/239623.html 隨着當代科技的高速發展， 在科學研究和工程設計領域裡，離不開計算機的模擬。實行這種模擬，通常需要將非常複雜的微分方程化簡到能夠在計算機上編程實現。在這個化簡的過程中，仍然要求所得到的結果能充分地逼近原始複雜問題的解。在應用數學上，實現和證明這個過程的方法，叫做“科學計算”－ Scientific Computing。
這樣說來，“科學計算”和計算機是緊密聯繫在一起的。沒有計算機，也就談不上“科學計算”。但它又和計算機科學不一樣。計算機就是一個可以用來算題的機器。然而，“科學計算”，是把一個完全無法計算的東西，比如一個無窮維的微分方程，變換和簡化成可以在計算機上演算的東西。也就是說，一個複雜而神秘的東西，用一個簡單的算法來做為它的替身，放到計算機去求解。應用數學家就是尋找和創造這些“替身”的伯樂。
我們知道，宇宙空間，球體之間的引力和它們之間的距離有關。計算每一對星球之間的引力，整個銀河系統裡的運動規律。。。，模擬這個龐大的系統，計算量可怕，計算機不知道要算到猴年馬月，科學家只能望洋興嘆。再看看設計宇宙飛船，飛機導彈，和設計汽車的領域裡，飛行物質的周圍，被一層流體氣層包圍着，如何設計流線型的飛行物體，那是航天航空，和汽車製造業的關鍵之關鍵。當然，還有在我們周圍的電磁場波。。。等等，總之，大到宇宙，小到電子，無處不存在科學家想探索的奧秘。
計算數學家在這探索自然界奧秘的過程中，扮演了什麼角色？
首先，應用數學家為上面的自然現象寫出微分方程，這叫建立模型。他們認為，這些微分方程能夠準確地描述我們想要知道的物理現象。但是，這些微分方程都是無窮維的，非常複雜， 大部分的微分方程都是無法顯式求解的。
當代的計算機，無論有多先進，它只能夠對付有限多個數的運算，我們想要在計算機上運算無窮維的微分方程，得到它得解，辦不到。也就是說，在計算機上做無窮多個加減乘除的運算，無法實現。
既然這般，科學家說了，我們不需要模型的準確解，如果能得到一個相對誤差不超過1% 的近似解，我們就滿足了。“科學計算”要做的事，就是找一個算法 （algorithm），設計一個編程，來代替那個可怕的微分方程，這個編程是可以在計算機上運算的。這樣還不夠，還要證明，得到的解符合相對誤差不超過1% 。有了這樣的證明，確保了精確度，科學家方才心服口服。
“替身”找到了，科學家卻又改變了主意，得寸進尺了。他們說現在要求精確度達到 0.1%，0.01%，0.001%。。。計算數學家可以用同樣一個方法，達到這些要求，只不過要增加計算量。比如，增加網格點的個數。只要你給出要求，精確度ε，我總能找到網格N，來滿足你的要求，在數學上，這叫收斂性。
那麼，是不是總是可以用增加計算量來達到精確度？這不好講。毫無疑問，增加計算量肯定會帶來更高的精度，但是，如果代價太大，或者效率太低，都是不聰明的辦法。
這裡存在一個數學家很關心的問題：如果有兩個算法，一個 A， 一個 B， 都能達到誤差不超過 1% 的要求，但在同一台機器上，A要花兩天才能算出結果，然而， B只要兩小時就能給出同樣的結果。你喜歡誰呢？當然是B，這是傻子都能回答的問題。這是計算方法中不可忽視的問題，叫做算法的效率。
最後談一下“科學計算”中的 穩定性。
計算機是不能準確表達所有的數的。比如，1/3，存在計算機里的是0.3333333333333。。。
到底給出多少個小數點，那就看你的計算機是怎麼設計的。現在的計算機，一般可以保留十幾位有效數字。被截斷的部分，就是“截斷誤差”。
當今的計算機里，“截斷誤差”通常可以小到 10-15 ，似乎微不足道。但是問題在於，很多算法，都要在計算機上運算成千上萬步。我們假設有一個算法，它在計算機上的每一步運算，都把誤差放大 1%。這一點點放大，似乎微不足道，但是運算一萬步後，誤差就被放大了1043 倍，原來微不足道的10-15 的截斷誤差，現在被放大成了1028，這可是個天文數字啊！這樣的誤差，把所有真解的影子全都埋沒了，那還了得！
計算數學需要研究穩定的格式，確保“截斷誤差”控制在某一範圍內，不准誤差每部放大。這就是所謂的“穩定性”。
以上所說，是“科學計算”的基本常識，屬於中學生的科普。1978年，徐遲的一篇報告文學《哥德巴哈猜想》，使得高考志願選數學系的大門擠破了頭，人人爭先恐後地想當陳景潤。陳景潤是搞數論的，屬於純數學，所以大家都認為只有純數學才是數學，應用數學不是數學。這是一個誤導。純數學和應用數學確實有區別，我這裡不往深里去解釋它們之間的區別，但有一點是大家一聽就懂的，那就是應用數學可以混，純數學沒法混。此話怎講？學純數學，懂就懂，不懂就不懂，證明不出來就是證明不出來，沒法不懂裝懂。然而，學應用數學，有些數學功底不咋的人，跟在人家已經設計好的東西後面，這裡算算，那裡改改，總歸可以的，這叫濫竽充數。但這不等於說應用數學就比純數學容易。能夠設計出巧妙的算法，絕對需要 紮實的數學功底和智慧。有幾個經典的算法，都有冠名。設計出這些算法的人，都是牛人。應用數學的牛人和純數學的牛人沒有區別，都是非常智慧的人。
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文章評論
作者：杭州阿立 留言時間：2015-11-08 04:53:29
搬個板凳好好坐着，慢慢看。
木樁周末愉快！
作者：杭州阿立 留言時間：2015-11-08 05:29:29
木樁這個題目，有點撓到了阿立的癢處。
先聲明，阿立既不是搞數學模型的，也不是搞計算機和算法啥的。（雖不明，但覺厲）
但我們行業的一個問題，嚴重與數學/物理模型有關，又嚴重趕腳一代不如一代，有點懷念伽利略呢。
計算機技術的日新月異，有一個副作用是，當模型與實際應用不符合時（不是小誤差），人們容易傾向於從精度考慮：比如物理/數學模型里，本來忽略的高階量不應該忽略，模型本身簡化太多，總之是往更複雜，更包容萬象的方向前進。。。而不是停下來想一想，可能模型本身有問題，需要被審視？
作者：木樁 留言時間：2015-11-08 17:41:07
阿立兄：建立模型又是另一門學問了。有專門一幫人在那裡搞這東東的。這不屬於計算科學的範圍。
有些模型已經沒有爭議了，比如，NASA 航天航空的模型，這些模型已經用了幾百年了。空氣動力中的流體力學模型，其中最重要的兩個元素，一個是“舉力”， 一個是“阻力”。每年修改模型時，也就在這兩個參數上改，並且越改越好。現在美國生產的飛機，越來越省油，飛得越來越快，阿立兄，你儘管放心大膽地去做。
計算機，半導體，交通流量。。。這些都是近代嶄新的科學，建立模型的年曆不長。而且，很多部分都是工程師，物理學家們自己在搞。所以也沒什麼奇怪，為什麼模型和實際計算會有誤差。你的思考是對的，這些模型有問題。事實上，他們每年在開這樣那樣的會議，討論改進模型，改了算，算了不准再改。。。沒有法子的事，只好遭阿立罵了。
以上這些，都是我道聽途說的，現買現賣給阿立兄。你若再問下去，那我就要交白卷了，請刀下留情！
作者：0+1 留言時間：2015-11-08 18:22:36
我認識一個牛人，本人不懂任何算法語言，卻主持過許多著名模擬試驗，其中包括世界上第一次水分子相變試驗。能猜出是誰嗎？
作者：杭州阿立 留言時間：2015-11-08 18:23:17
木樁：阿立木有刀的，只有南豆腐。而且這豆腐也是燒魚頭豆腐的，不砸人的。
當然偶爾自己買塊豆腐撞一下。木樁只要小心地上的豆腐渣就可以了。
或者讓草兄在前面帶路，也安全的。只是要小心草兄一個回馬槍，給你上點眼藥。:-)
作者：木樁 留言時間：2015-11-08 18:32:58
阿立兄，什麼叫“上眼藥” ？能不能解釋一下？
作者：木樁 留言時間：2015-11-08 22:04:35
回 0+1博友：你的博名很有意思，兩進位，我猜你是在計算機行業里的人了，是不是？你提到的那位“水分子相變”的建模大牛，我不知道。不是大牛不夠大，是小巴辣子太小。以後不敢寫科普文章了，再寫下去，人家以為我是方舟子呢！
作者：土人走江湖 留言時間：2015-11-08 23:30:03
All models are wrong. Some are useful.
G E P Box
作者：beiqian 留言時間：2015-11-09 03:37:25
木樁博主，你好！我已經十幾年不做數學了；但你的博文又勾起了我的回憶；我點擊了好幾次，看了好幾遍......
同你分享個picture：
http://ad-assets.nytimes.com/paidpost/ge/biomimicry/images/gfx-twin-dsk-ie.jpg
圖裡的東西大概也是缺不了“simulation 和 computation”的
作者：杭州阿立 留言時間：2015-11-09 04:19:06
木樁：“上眼藥”是芨芨草的專利（不知道有木有版權？）。
草兄在你這裡留言提到阿立，然後會在自己園子裡或者阿立園子裡，留句話：
“阿立學長，我在木樁那裡給你上了點眼藥。。。”
神馬意思呢，還是讓草兄自己交待？
作者：杭州阿立 留言時間：2015-11-09 04:20:34
“土人走江湖”說的這句話，也是阿立常聽到，偶爾自己也說的。嚴重附議！:-)))
作者：溪谷閒人 留言時間：2015-11-09 07:08:50
半瓶子醋、半吊子油，不懂裝懂瞎忽悠。
作者：msc 留言時間：2015-11-09 10:07:08
I had been in scientific computing business for many years:
http://www.mscsoftware.com/product/adams
and had been dealing with algorithm and modeling in daily bussiess. My experience with large scale scientific computing tells me that several criteria such as 收斂性, 穩定性 and ACCURACY are closely related to each other. If right algorithms and techniques are employed, the programs works beautifully. For implicit programs, the NR iterations should not exceeds 3 times before reaching the error tolerance less than 1e-10.
作者：錢村牛 留言時間：2015-11-09 11:54:12
我在中國沒學懂《線性代數》。什麼“高斯消元法”，“迭代法”都是到了美國才聽說了一點。中國的數學課本根本不教你數學，他們要故作神秘讓你們崇拜數學家。
作者：錢村牛 留言時間：2015-11-09 11:56:29
好像中國做不了噴氣發動機就是因為不會解偏微分方程。同樣的葉片放中國做的燃燒室里幾下就燒壞了。
作者：溪谷閒人 留言時間：2015-11-09 13:25:06
扯什麼計算數學？
知道富里哀級數、拉普賴斯方程、泊松方程、矢量分析、矩陣變換……知道二分法、有限元法、智能網格剖分……嗎？
至於計算機語言、計算機結構、計算機算方法、模型轉換，那都是基礎知識。
都是一知半解，以此蒙外行、胡吹亂侃，跟那些黨國科學家一個德行。
作者：小樹 留言時間：2015-11-09 13:40:03
我很欣賞你有數學恩賜. 我是醫療系畢業,80年入學時沒開高數,老師說,數學學了不用也會忘記.由於學醫要去農村,我為了逃分配, 應屆考上研究生. 後來,在研究當中感覺力不從心,只會照貓畫虎.
作者：木樁 留言時間：2015-11-09 19:30:54
回 beiqian 網友：謝謝你提供的圖案，這些數字化的內燃機確實應該用到了計算幾何的工具，離不開計算和模擬。
作者：木樁 留言時間：2015-11-09 19:38:19
回 msc 網友： 謝謝你提供的網頁。好的算法確實需要好的軟件實現，才能充分顯示出它的優點。這個網頁上的軟件看上去挺先進的，應該在工業上有很好的應用吧？
作者：木樁 留言時間：2015-11-09 19:45:13
回 錢村牛 網友：你大概是指國內的工科數學教學吧？國內理科的數學教學，包括計算數學的教學，一般還是挺紮實的。至於發動機的設計，牽扯到從計算模擬到材料和工藝方方面面，比較複雜，國內在這方面確實還有一定的差距。
作者：木樁 留言時間：2015-11-09 19:52:55
回小樹網友：隔行如隔山，如果要我去學醫學知識，恐怕連照貓花虎都不會呢！
作者：青燈苦禪師 留言時間：2015-11-09 20:41:38
寫的很簡明易懂。這要是三十年前看到這樣的文章，就可以節省我好多的腦細胞了。
我不是學數學的，不知道計算數學家都做什麼。比方說，建模，一般都是領域專家在做，寫出描述物理系統的微分方程組。而微分方程的離散化，也是領域專家做的，把微分方程組轉化為代數方程組，再由計算機求解。
而求解代數方程，似乎非線性代數方程組求解的辦法不多，進展幾乎沒有，也不知道有多少數學家在這方面化功夫。一般現在都是利用Newton-Raphson辦法把非線性代數方程組轉化為線性方程組。
進入到線性方程組求解，似乎是計算機專家的領域，也幾乎看不到計算數學家的影子。
所以真的不知道他們在幹什麼？
作者：佛陀 留言時間：2015-11-09 21:12:20
覓れ嘉ゅ睲硄虜Τ兵Τ瞶琵иぃ來萊ノ計廄碞フ辨竒盽硂妓炊ゅ徹
作者：佛陀 留言時間：2015-11-09 21:19:27
贊木樁好文，清通簡明，有條有理，讓我們不懂應用數學的人，一看就明白了。希望能經常看到這樣的科普。
作者：杭州阿立 留言時間：2015-11-10 03:50:11
中國的理論教學很早就不錯的，個人看法。
阿立是工科，但數值計算等大學也學了點的。國內讀碩士的時候，有限元除了上課，真的編程解決實際問題（當然是簡化問題）。還在國際會議上（好像在西安）宣讀論文的。
邊界元也在國內就開始做了。
作者：msc 留言時間：2015-11-10 12:53:56
Between the subject matter expert(SME) and application engineers, defintely there are positions for computational mathematcians who study the modeling, convergence, efficiency and stability. Though the simualtion techniques come first by engineers and/or SME, it should eventually be blessed by the mathematicians or the engineers equipped with mathematical minds.
My career has been greatly benefited with my aptiude in applied math and interest in real problems of engineering. We have done soem poineer work in engineering simulations which benefits the industry a great deal.
作者：芨芨草 留言時間：2015-11-10 18:29:25
木姐姐寫的東東像教科書似的，得慢慢看，邊看邊琢磨。
先解答“眼藥”問題。我估計阿立學長也不甚明白。阿立學長四處出擊，什麼都懂。對什麼都懂的人不能問太多，問多了就露餡了。哈哈。一句話，上眼藥就是使點兒小壞，不傷筋動骨。
我的數學水平只到小學，１加１還行。所以對“科學計算”的定義還是沒明白。是不是可以這樣理解：科學家根據需要想出了一個模型或數學公式，為了表明自己水平高深，這個模型或公式誰都看不懂，而且這個模型或公式還不能有解，如果有解，和實際不符合，豈不壞了一世英名。這時候科學計算家就出來拍胸脯了：這點兒事，小菜一碟，交給我了！然後根據模型或公式，或根據科學家的解釋，做出一個能夠用計算機運算的簡單的模型或公式去趨近科學家的預想。如果計算結果和預想不相符，再修改運算模型。如果是可見的預想，如天氣，交通，則可根據實測結果將運算模型修改至接近實際。如果是虛無縹緲的東西，如宇宙演變，則修改至科學家滿意為止。如何？
作者：芨芨草 留言時間：2015-11-10 18:40:29
如果“建立模型又是另一門學問了。有專門一幫人在那裡搞這東東的。這不屬於計算科學的範圍。”那也就是說，有人把科學家的模型簡化成能在計算機上運算的模型，然後科學計算家再根據這個簡化模型寫出能在計算機上運算的運算步驟。再交給編程工程師編寫計算程序，再放到計算機上運算。對嗎？也就是說，科學計算家是把一個計算模型具體化。
作者：芨芨草 留言時間：2015-11-10 18:52:21
海天博主在《學術雜誌的“影響因子”》裡的跟貼應該說得比較形象，“為了進行一個價值判斷或比較，人們不得不想辦法，對模糊性質進行指標量化，還必須簡便易行。這樣出來的指標，到底是不是很好的判斷依據，往往很難說清楚。”
木姐姐，科學計算家就是乾量化的活，對嗎？
作者：木樁 留言時間：2015-11-10 19:45:38
回青燈苦禪師網友：我逐條回答你的問題如下：
1 一般講來，建模確實是領域專家在做。但必須有應用數學家研究這些微分方程的性質。比如說：解的存在性，唯一性和適定性，等等。沒有這些性質，所得到的微分方程是不好使用的。
2 微分方程的離散化，應該由計算數學家提出方法，或者由領域專家提出方法，然後由計算數學家分析和改進這些方法。
3 求解代數方程，包括非線性方程和線性方程，在方法上，最近幾十年來，其實發展是很大的。一些在二，三十年前很難求的方程，現在有一些很快很好的方法能夠求解。在這方面，計算數學家做出了很大的貢獻。
作者：木樁 留言時間：2015-11-10 19:52:51
回佛陀網友：上有青燈苦禪師保駕，下有佛陀師傅引路，這是天意還是巧合？會有一天，木樁洗盡紅顏，返歸朴真。青燈菩提，勤拂心中塵埃！
作者：木樁 留言時間：2015-11-10 20:32:36
回阿立兄：你平日裡吟詩作賦，偶而也PK一下達芬奇，即興時“殺雞殺鴨”，一曲“二泉映月”。好一個江南才子！今日才知，阿立兄還曾經在國際學術會上宣讀論文。要是唐伯虎還活到今天，還不羞死他！
作者：木樁 留言時間：2015-11-10 20:44:52
回mcs網友：如你所說，很多計算方法，確實是由工程師和領域專家首先提出的。比如，著名的“有限元”方法，就是這樣的。計算數學家在這裡起的作用是分析和改進這些方法。在美國的很多工程師，他們的數學功底都不錯的，可以同時兼任工程師和計算數學家的角色（我相信你就是其中之一）。這樣的話，設計，分析和應用計算方法就能得心應手了。
作者：木樁 留言時間：2015-11-10 21:38:40
回芨弟：看了你的跟貼，讓我哭笑不得。你這麼個聰敏人，一直是最相信你的，怎麼寫出如此邏輯混亂的東東呢？你看到嗎？樓上那兩位佛家道家聖人都說看懂了呢！還說什麼“科學計算就是乾量化的活”，海天真的是很聰敏，得要領。你都還不如人家海天呢！
看來我沒有把科普文章寫好，失敗，失敗！
而且，你好像也沒搞懂“影響因子”，好吧，我現在編了一個題目，讓你解答，你就回答我一個字，“是”，或“否”。看你是真懂還是假懂。
題目如下：
假設 木樁在 2010 年 12 月 的時候，在A雜誌 上發表了一篇文章。
假設 芨芨 在2011年1月的時候，看到了這篇文章，有了些思路，準備開始寫文章。
o 2011年12月開始 寫 。。。。。
o 2012年 6月完成文章，其中引用了木樁 在A雜誌上的文章
o 2012年6月 提交 B雜誌
從構思 ＝》完成文章 ＝》呈交，一共用了 一年半的時間。
再看雜誌B，從接受文章，到送出去讓評委專家評估，退回來修改，再送回去，然後接受發表，其中來來回回，至少要一年的時間。
假設，芨芨 的文章在 2014年2月正式發表。
SCI 把B的文章收入進數據庫時，同時更新了木樁的文章的被引用次數 （增加 1）
計算2014 年A雜誌的影響因子：
• 假設，2012 和2013 年，雜誌A一共發表了 200 篇文章。
• 假設，這200 篇文章在2014 年被引用了300 次
2014 雜誌A的影響因子 ＝ 300 ／ 200 ＝ 1.5
試問，木樁的文章被芨芨引用1次有可能進入2014“影響因子”公式的分子裡嗎？
作者：芨芨草 留言時間：2015-11-10 23:34:08
因為是２０１４年發表。否！
人家青燈苦禪師說了，“所以真的不知道他們在幹什麼？”
木姐姐不要把在學會演說時用的語言放在這裡，就用最通俗易懂的語言說科學計算家在幹什麼就行了，舉個具體例子會幫助理解。隔行如隔山喲！
作者：木樁 留言時間：2015-11-11 00:31:55
芨弟：你答對了。換句話說，你是白引了我。看來你是真懂了。現在你可以理解，為什麼我當時說，在分子上，把兩年換成五年會好些。如果是五年的話，那我的文章的雜誌A就會被計算在分子裡了，是不是？
要注意的是，五年中，分母也同時增加了數量，分子分母同時在增加，不大好說這個值是怎麼一回事。基於雜誌這個特例，數值應該是往上升的（影響因子會變高）。把兩年增加到五年，不是精確了，而是比較合理了。
作者：杭州阿立 留言時間：2015-11-11 03:52:37
木樁啊：
草兄在給你解釋“上眼藥”是神馬意思呢。直接給木樁上了一點，比較溫和的。肯定是南豆腐派的眼藥。
草兄，可以開始給人工智能和圍棋上點眼藥了。
作者：錢村牛 留言時間：2015-11-11 13:14:35
工程師計算前不必作數學證明，因為算完會做個模型實測一下。牛頓就沒證明過微積分。
作者：芨芨草 留言時間：2015-11-11 17:18:25
木姐姐，你還沒告訴我科學計算家是幹什麼的。要不你就告訴我你每天都在幹什麼吧，除了吃喝拉撒睡以外。
你這道題出的意思不明。這一年不能算，下一年可以算進去嘛，也沒吃虧。大概數學論文發表的周期長。我送的論文一般是半年後發。如果拖到一年，我就不再向那個雜誌投稿了。
提醒木姐姐一下，你要小心那個從杭州來的阿立啊，他總是手持一塊豆腐，不知是南豆腐還是北豆腐，見誰就抹誰一臉。如果不讓他抹，他就自己往豆腐上撞，嘴裡還嘮叨：“我就一頭撞在豆腐上撞死算啦！”
木姐姐聽過國內的“碰瓷”嗎？就是故意往車上撞，然後訛車主給錢。阿立這叫“碰豆腐”。這是個新行為，還沒申請專利。而且這個阿立是獅子大張口，不光要錢，什麼都要！就像刁小三，“我要了包袱還要人吶！”
作者：msc 留言時間：2015-11-11 17:53:35
有限元是1940年左右美國幾個工程師對桁架結構受力分析的一種直觀直接。 當應用到連續體（固體， 流體）上時， 直觀的局限就顯出了。 數學家出來救場了： 有限元無非是變分法的一種表達方式。
作者：溪谷閒人 留言時間：2015-11-11 19:10:30
跟學文學的人講數學，跟學數學的人講物理，跟學物理的人講化學，跟學化學的人講生物學，跟學生物學的人講人類學、跟學人類學的人講社會學、跟學社會學的人講政治學，跟學政治學的人講文學。轉了一圈兒又回來啦。
總之都是中國特色的科學，根據馬克思主義理論，科學是人創造滴。………基本上都是放屁。
作者：木樁 留言時間：2015-11-11 22:35:11
回芨弟：我剛剛表揚了你，你又犯錯誤了。什麼“這一年不算，下一年可以算進去”，概念不清嘛！下一年就更進不去啦！我知道問題出在那裡了，你還在想着雜誌B是不是？忘掉它，這裡和雜誌B已經沒有任何關係了。只要雜誌B在2014 年發表，這是關鍵。我們現在關心的是雜誌A，然而，”木樁的文章發表在A是在2010年12月”。公式里要的是2012和2013，差了兩年。如果是下一年，2015年，那就差了三年吶！
我寫這篇文章，目的就是要科普你上面提出的問題。加上那麼多的跟貼，其中不乏有幾位專家。文章加上我和專家們的互動，你怎麼也該琢磨出個名堂吧？
我的博齡不長，今年一月開始的。當我寫到《淺談人體雕塑》時，“五味齋》論壇有個叫老帽的網友，號召大家都來批判我（好在沒人響應），想不到過了一兩天，他竟然專為我寫了一篇文章，內容和上次攻擊一樣，說我不學無術，不懂裝懂之類的。這麼小的華人圈子，尚會這樣複雜，我還能說什麼呢？希望芨弟諒解！
作者：木樁 留言時間：2015-11-11 22:40:33
回msc: 我知道你是這方面的專家。看了你的網站後，Very impressive! 謝謝你提供的信息，向你致敬！
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