1)近来比较忙，没怎么留意博主们的动向。这不，前几天见久不露面的思羽MM码了篇文章说什么汉语和满大人来着，心里一高兴，就冒冒失失地一个跟头扎进去，留了个言，结果差点儿没一个跟头栽出来。怎么也没料到思羽和沐岚两位居然在斗气。天！这友谊的小木筏说偏就偏，愣地不知去绕，去学那淙淙泉水绕过礁石吗？好在这友谊的小木筏就晃了几下，尽管一旁还有几位男同学莫名其妙地在灌水起哄，但小木筏总算没翻。根据网络RP守恒定律，这一定和两位MM平素的大度有关吧？我不知道，因为相关的因素太多了，例如鼓鼓的荷包。这人要是有钱了，闹别扭起来就自觉更有底气。男同学尤甚：显然的。两位MM为什么闹别扭不太清楚，但好像和一位姓斯的德国哲学家有关。大家知道，哲学俗称折学，本来就绕；大哲学家谈哲学，自然就绕得更多更大更上一层楼，因为他们得维护其卓绝的声望。这是因为，万一名牌哲学家说错了，因为他们说得很绕，所以他们就有更多的回旋余地，说不定还可以趁机指责别人读不懂。这位姓斯的折学家呢，如果光绕也就罢了，偏偏还不务正业，借谈哲学的幌子贩卖民主和数学，结果将一位性情直率不绕的、另一位性情刚直不阿的MM搭进去不说，顺带还将万维几位数学家和民主学家惹火了。中秋刚过完，天气本来就时冷时热，让人防不胜防，何况有的同学中秋佳节请客时因为忽视初等数学，导致计算出了差错，亏了本。2)受过高等教育的才子因忽视初等数学而吃亏的例子不胜枚举，因此有些机警善于捕捉商机的才子就反其道而行之，重视初等数学，从而一举成名，甚至享受国务院特殊津贴。我见过的因研究初等数学而一举成名的最佳例子，是某位姓黄的大拿。据说这位黄姓大拿早年受过良好的德育教育，因此鼓吹吃大锅饭，爱好文革。以前因为看了许多火箭发射失败的新闻报道而痛心疾首，因而苦思苦想，发现根源在于人们对圆周率的误解，因为对圆周率的值估算错误，导致发射火箭时摇摆甚至失败，这其中最值得指着鼻子谩骂的罪魁祸首，就是古希腊的阿基米德阿老先生，因为阿老先生是世界上首位号称将圆周率精确到小数点三位的人；而且更可恶的是，他的研究导致后世数学家得出了圆周率是无理数这样的错误结论，因为圆周率的值是3.2，是个有理数。为了证明圆周率是有理数，黄同学不惜血本买了一台非常精密的天平，通过测量A４纸张及其内切圆的质量，而得出了这一非凡的科研成果，并且自费出版了一本 200 来页的专著。重视初等数学在万维有着优良传统，特别是在bbs论坛，象灵机一动班主真实话语、贵宾妖妖等同学都是其中的好手。博客这块，昨天新朋友心有灵机出了一组初等数学题，虽然简单了点，但其意义在于在blog这块点亮了重视初等数学的航灯。这让我想起了很多年前，某同学给了我一个类似的题：用常见的数学符号连接四个９，每个数恰好使用一次，使得结果是 0-100 的各数。基本上是势如破竹，从 0－100 很快整出来了，惟独 94 是例外。它象土八路，追不上，甩不掉，咬不动，砸不烂。我苦思苦想了好几天，就是整不出，将我牙齿恨得痒痒的。不久就是期中考试，神差鬼使似的，有道题竟然是用数学符号连接４个９，使得结果等于1997。看到题后我屏住呼吸，但抑不住眼睛放光，心道好家伙，这题如果我整不出，别人希望也不大；如果我整出了，那我可能是班级单科第一名，不用说那是很光荣的......结果呢，我愣是没整出，牙齿再度恨得痒痒的。交卷后，我懊悔不已地走出教室，逮着数学课代表， 我患得患失地问：阿牛好，你做出那道 1997 的题没有？ 数学课代表笑道：啊，牛？哪里。那道题我木做出，你呢？ 我如释重负地说：哎，我也木有。你是班里数学最厉害的，你都没做出，可见算偏题吧？ 数学课代表点头：嗯诺。后来数学老师训斥道，做不出的题就是偏题？岂有此理。是你们笨，怎么想不到用对数？好吧，这题属于苦力活，有些善于投机取巧的炒股大拿可能不屑一顾，那么我给大家出个不属于苦力活的题，这是以前在论坛BBS灌水时真是好玩同学出的题，大家不妨一试。只需加减乘除，连对数阶乘之类都不要。这题有点绕，但并非脑筋急转之类，而是实打实的计算和逻辑思维。 一天，阿凡提伯伯拿出一套卡片，上写从 2 到 100，共 99 个数，每张一个数。阿凡提随机抽出两张卡片，相加之后把和告诉A学霸；相乘之后把积告诉B学渣。当然，A学霸和B学渣都不知道对方的结果是什么。于是有如下一段对话： A学霸对B学渣说：学霸我不知道那两个数字是什么，但是学霸我肯定学渣你也不知道。 B学渣对A学霸说：学渣我本来不知道，不过学霸你这么一说，学渣我就知道了。 A学霸对B学渣说：那学霸我也知道了。 阿凡提：阿拉伯伯随机抽出的那两个数是什么？3)前不久我转载了应行仁前辈的＂芝诺悖论解决了吗？（ZT，by 应行仁）＂一文，大家讨论热烈，其中包括万维第二大数学家闲人闲先生等名家。在讨论芝诺悖论时，闲人将梯度散度旋度和相对论都搬出来了，比较高深，我看得有点懵。为了制止闲人教授在我那里兜售高大上的学问，或者冷不丁地扯出西风漂流和霹雳舞，我于是灵机一动，给闲人教授出了几个相关的初等数学题（略有改动）：……所以我就临时出几个初等数学的题，向你请教，也就是几进制。这里我计划向你请教四种进制：e-进制，0.5-进制，-2-进制，-0.5-进制。不要去狗答案，因为这是我昨天临时出的题，online估计没答案。一个数有几进制表示，无非就是一种表示，不会影响它的本质，对不对。先看 e-进制，这可能是这四个问题最简单的。比方说， 在2-进制中，十进制中的 2，就表示成 10； 在8-进制中，十进制中的 8，就表示成 10； 在2-进制中，十进制中的 1/2，就表示成 0.1； 在8-进制中，十进制中的 1/8，就表示成 0.1；这些没问题吧？所以你开发的e-进制，用它去表示e，它就应该是10；e的平方就是100；用它去表示1/e，它就应该是0.1。这应该作为一种基本的要求。现在给你几个问题：b）在e-进制中表示十进制中的100； p.s.：你知道某个数的本质是不会随着几进制的表示而改变的，就如同空间中的一个点，在不同的坐标标架下会有不同的数值，但它的性质却不会改变，不能因为你选什么坐标系它的性质就会改变，对吧？所以现在问题来了：你知道e是个无理数，但它在e-进制中它却表示成10，这是个“整数”。这不是意味着e不再是个无理数？ c）在 0.5-进制中表示十进制中的100；d）在 －２-进制中表示十进制中的100；e）在 －0.5-进制中表示十进制中的100。f）如何开发１-进制理论？闲人教授才华横溢，但惜乎秀才遇到兵，有理说不清，闲人教授在这组看上去略有点偏的题面前看上去终不得要领，于是决定无理取闹，指责我道，你这几题不仅属于偏题怪题，而且木答案。这是典型的坑人。4)我坑人? 我是万维资历中老的博主，熟悉我的人都知道我不会出什么偏题怪题的。为神马？因为第一，我谦虚谨慎；第二，我仁慈善良；第三，我不会找谁借钱；第四，更不会借钱不还。显然，我宁可委屈自己，也断然不会出什么偏题怪题。何况人生苦短，大家每年先得历经严冬，然后一边交苛捐杂税一边打肿脸充胖子笑着说这是光荣的义务，随后还得苦挨酷夏。出偏题怪题，损人不利己，那是何苦来哉。何况这题太偏太怪的话，那可能会招致别人的数落甚至怒喝谩骂，效果无非相当于增加点熵，制造点混乱浑沌而已。世间本无事，庸人自扰之而已。不是吗？伟大的波尔兹曼就被自己的熵理论扰得不行，再加上伟大的赫兹在一旁无情地数落挤兑，伟大的波尔兹曼果然抛不开那份落寞，潸然泪下，在孤独彷徨中自杀了。大家看看，比如说土星的光环，那都是些神马？无非是些无知的蠢物，例如尘埃和冰渍，对吧？但我们这些自称有智慧、有灵性的灵长目高级生物，却好没来由地主动放下身段和尊严，称赞那些尘埃和冰渍等无知的蠢物真的好美丽端的好潇洒。如果张三敢说土星的光环并不美丽，我们就会趁机嘲笑张三悟性差，木艺术细胞，说不定连那大专文凭都是靠舞弊混来的。说不定真的是大道至简呢。反正自爱因斯坦和希尔伯特之后，我们就越来越善于归纳简单的原理，然后从这些简单的原理出发，用演绎的法子构造出既美丽又辉煌的玉宇琼楼。这甚至成了一种时髦。有些琼楼其实是空中楼阁，但我们不在乎，因为它们看起来很美。我们已经解决了温饱，所以好美就等于美好。人生旅途多是孤单枯燥、崎岖颠簸的，乏味得很，我们需要给自己那颗孤寂得快干涸的心儿一些儿滋润，一些儿震撼。记得以前有人在 BBS 讨论曾经受过的数学基本训练，例如做习题之类，大家多推崇苏联吉米多维奇编写的习题集。吉米多维奇习题集有两套，其一是供数学系学生用的，另一套是供工科类学生用的。前者无疑要难一些。其实对喜欢动脑筋的同学来说，可能有些同学知道，还有一套习题集要好得多，那就是由波利亚主编、舍贵协编的＂数学中的问题和定理＂（有汉译本，书名大致如此，我家有一本，但可惜留在了长沙老家）。这套习题集的特点是，其问题都是一个系列一个系列的，彼此之间有关联，每个系列有几个到一、二十个问题不等，由浅入深。开始的问题很简单，例如说涉及复变函数某系列的，开始可能就是算算简单的导数或者简单的留数什么的，但系列后面的问题往往是数学研究的前沿问题，很难。因此你如果能大体上看明白某个系列，那绝对有种心旷神怡的感觉。吉米多维奇编写的习题集属于苦力性质的，波利亚的习题集才是名篇大作，因为它同时也是谋篇布局挺讲究的教材。5)大家注意到了，在４）中我看上去海阔天空地罗里罗唆一堆，再看看标题，我是不是跑题了？可能，但其实没跑什么。这里再回到问闲人教授的那几个初等数学进制问题。如果在那几个问题前我再补加几个简单的问题，例如（有些眼尖的同学可能注意到了，那里第一个问题标号是 b）而不是 a））：a1) 用 ２-进制表示十进制中的 100；a2) 证明：如果十进制中某数的各位的数字之和能被９整除，那么这个数也能被９整除； 证明：如果十进制中某数的各位的数字之和能被３整除，那么这个数也能被３整除；a3）将 a2）推广到任意进制，特别这个进制可能是象 -0.5 这样一来的进制。大家看到，a1) 实际上是图森破图那义务，对不对，a2) 也是小菜一碟。a3) 麻烦点，但 a3) 的麻烦是因为进制的基数是象 -0.5 这种有违通常直觉的基底，而不是因为推广本身。这里的问题 a) 连带之前的 b) - f)，马马虎虎算个问题系列，虽然都简单，但它们之间确有某种由浅入深的＂递进＂关系，它们多少有点类似于三角函数和双曲函数的关系，或者欧氏几何和经典非欧几何的关系（不是说有关，而是形式上的某种类似，特别是涉及到正负符号时）。如果谁真懂相对论，对这个应该是很敏感的。因此我草拟这个题，倒也不是完全无的放矢，尽管有点小题大作，因为闲人教授在芝诺悖论里确实在谈论相对论。还记得之前的一个热点话题：引力波吗？那段时间有几个频率很高的词汇：引力波、(霍金的)时间简史、相对论、时空弯曲，等。例如许多同学看了几章时间简史后，就依照网络科普来点照葫芦画瓢，例如用时空弯曲去说明／证明引力波应该存在。其实这是不对的，因为引力波的存在根源是因为光速有限，而不是因为别的；只要这个根源是个客观事实，无论你怎么描述表述你的理论，引力波都会存在，充其量只是表叙方法不同而已。但时空真弯曲了吗？不是的。时空谈不上弯曲不弯曲，大家之所以说时空弯曲，那是在广义相对论框架下说的，而广义相对论整体上，从本质而言，并不是一种物理理论，而是一种描述／表述方法，例如它就从不回答也回答不了引力到底是神马，它只是告诉你，你如果用微分几何，你就能优美地表述引力而已。因此，时空弯曲是个因为引力的表述方法（微分几何）的选择而 derived 出来的名词，它本身不包含物理信息，因此它当然就解释不了引力波为什么应该存在，因为描述引力，微分几何（从而广义相对论）并非是必须的。有点类似的，物质的微观结构现在用李群描述，但这不是必须的，但人类和上帝差太远，咱们实际上是很笨的，没有多少办法去描述我们想描述的，再加上李群确实有效，所以它就 embed 到物理教材里去了。老爱之所以伟大，是因为他从很简单的看起来很make sense的原理出发，发现了某种数学方法去描述物理某个分支，因为这种描述方法的很 robust （废话，math 么）很 powerful，它反过来左右支配了这个物理分支的进展。这几天芹泥、高鹏等人都陆续说了些故事，例如统计物理大哥大波尔兹曼，就被他自己创立的理论弄得精神崩溃。以前大家为个动能动量而争得面红耳赤，为原子分子存在与否闹得不欢而散（波尔兹曼就因此而自杀）。现在呢，这些东西都可以在更基本的假设下合理地从数学 derive 而来，包括以前看起来非常基本非常robust的定律例如能量守恒定律，都无非是些推论而已。我们的描述方法越来越简洁，越来越 robust，依赖的原理越来越少，而大千世界的复杂性则归结到哈密顿量的复杂性里去了，但那不是描述方法的复杂。因此，现在物理所依赖的数学方法虽然越来越复杂（again，这种复杂性很大部分原因可能不是因为它们本来应该复杂，而是因为我们人类太笨，只能如此罢了），但 build up 物理体系的基本原理却是越来越简单，越来越看上去 fundamental。例如你如果能顺利地解答进制问题，那么学明白初等的非欧几何就没问题，而这是理解同时性的关键。然后再加上协变原理和最小作用量原理（将能量守衡、动量守衡之类先抛一边，这些是推论，更复杂一点的东西），这就足够了。而这只需要很基本的知识。大道至简？Possibly。科学的本质虽然是归纳的，但我们越来越依赖演绎，也越来越钟情于演绎。虽然科学受制于实证，但正如数学也需要受制于可能是先验的逻辑一样，在保证这个前提下，我们就可以天马行空。因此数学的本质是主观的唯心的，而物理的描述方法也同样可以是主观的、唯心的，而唯心的东东总是比唯物的西西更接近唯美。
