由賭博所想出的一道概率數學題

最近在單位里與一位來自愛爾蘭的後裔討論了許多經濟問題，他是一位堅定的共和黨人，主張低稅率，低福利，對於川普的減稅政策大為支持。從討論中我能感受到他所學的經濟學與我所理解的不同之處，因此我們之間的觀點很難達到統一。

他把富人變得更富，窮人更窮的原因歸結到富人善於理財，窮人胡亂花錢上面。

我試圖說法他，一個擁有巨額資金的人，在市場的博弈當中會擁有巨大的優勢，換句話說，如果兩個人擁有相同的知識，但兩者的資金量不一樣，那麼經過幾個回合下來，富人變得更富，窮人變得更窮就是一個大概率事件，這與雙方的知識沒有關係。當然我的上述觀點說服不了他，所以我一直在試圖尋找一個簡單明了的例子來說服他。

上個周末一個偶然間，找到了一本壓箱底的老書，它是一本教你如何在賭場中玩21點並能贏錢的技巧。這本書我以前看過好多遍了，但注意力都是集中到一些玩牌技巧與押注技巧上，不過這次我的注意力卻轉到一些非技巧的方面。書的開始談到為什麼要玩21點而不是賭場裡的其他的遊戲，那是因為只有這個遊戲的輸贏概率接近50%，其他的遊戲賭場的獲勝概率都遠大於50%。上升到策略層面，作者主張在玩之前，要坐在牌桌旁仔細觀察，如果你發現一個牌桌上，賭場總是贏，那你就要放棄上桌玩牌的打算。如果一個牌桌上賭場輸的多一些，那是入牌局的好時機。為什麼呢？作者說這是因為，即使你玩得再好，從概率上講，賭場的贏面稍微大一些，但即使是那麼小數點後的小優勢，從長期的角度考慮，玩家還是要輸的，因此入場要選擇時機。

反覆咀嚼他的話，突然間我想到了一個簡單的例子。

一個雙人賭博遊戲，遊戲的規則很簡單，就是扔硬幣決定輸贏，如此簡單的規則使得遊戲雙方的知識與智慧變得無用，這正是我所需要的。此外這是個零和遊戲，與股票市場上的交易相符。此外我還附加上了兩個條件，使得這個例子變得簡明，至少是在數學上可以求解的。這兩個條件就是：一個人手裡只有1塊錢，另一個有N塊錢，一次投幣輸贏只有1塊錢；其次，這個遊戲要一直持

續下去，直到一方的錢輸光為止。現在的問題是，手裡只有一塊錢的那個人最終獲勝的概率是多少？

如果我們把這道題延續下去，可以換作是，一個大房子裡有Ｎ個人，每個人在開始的時候手裡都只有１塊錢，然後開始投硬幣賭博定輸贏，一次輸贏都是１塊錢。在開始的時候，先隨機選兩個人之間玩。當然在剛開始的時候兩個玩家的手裡都只是１塊錢，所以只要拋一次硬幣就能決定雙方的輸贏。所以雙方的輸贏概率都是５０％。之後輸的人被淘汰出局，贏的人留下坐莊，然後再

從其餘的人中，任選一個上來與莊家拋硬幣賭博對決；他們兩者之間要一直玩下去，直到一方輸光為止。輸者出局，贏者坐莊，再從其他未玩的人中任選一個上來與莊家對決。如此下來，你會發現：（１）贏錢與玩家的智力無關；（２）莊家獲勝的機會隨着本錢的增多會越來越高，到後來一個普通玩家是根本無法贏莊家的，因為那是一個極小的概率。而我所出的那道數學題正是這

個遊戲玩到最後所出現的場面，莊家手裡握着N塊錢，另一方只有1塊錢。

以上就是想出這道題的思路。

這道題的結論應該是莊家獲勝的概率是N/(N+1)，而另外一方獲勝的概率只有1/N。當然我是花了好長時間才把求解它的思路捋順的。

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以下是我的思路：

先假定下面的一系列的變量：P(0),P(1),P(2),...,P(N),P(N+1).這裡P(k)是當一個人手裡有k圓錢時輸了的概率。

對於我們上述的問題，雙方手裡一共是(N+1)塊,所以你一旦手裡握了全部，那你輸了的概率是零，於是P(N+1) = 0

此外，如果你手裡沒有錢，那你輸了的概率就是P(0) = 1;

找到了這兩個解題條件，我們下面要找的就是P(1)，就是手裡握有1塊錢時輸了的概率。此外我們還知道，當你握有1塊時，經過一次投幣之後，你的結果只有兩種：（1）輸，手裡沒錢了；（2）贏，手裡有2塊錢。所以擁有1塊錢時輸了概率可以通過下面的方程計算：

P(1) = [P(0)+P(2)]/2

同樣的道理，如果手裡有2塊錢，經過一次投幣之後，其結果有兩種，（1）1塊錢；（2）3塊錢。如此我們有下面的方程式：

P(2) = [P(1) + P(3)]/2

一次類推，一般地我們有：

P(N) = [P(N-1) + P(N+1)]/2

上面有N個方程，N個未知量P(1),P(2),...,P(N)。求解後自然就是上面的結論了。