由赌博所想出的一道概率数学题

最近在单位里与一位来自爱尔兰的后裔讨论了许多经济问题，他是一位坚定的共和党人，主张低税率，低福利，对于川普的减税政策大为支持。从讨论中我能感受到他所学的经济学与我所理解的不同之处，因此我们之间的观点很难达到统一。

他把富人变得更富，穷人更穷的原因归结到富人善于理财，穷人胡乱花钱上面。

我试图说法他，一个拥有巨额资金的人，在市场的博弈当中会拥有巨大的优势，换句话说，如果两个人拥有相同的知识，但两者的资金量不一样，那么经过几个回合下来，富人变得更富，穷人变得更穷就是一个大概率事件，这与双方的知识没有关系。当然我的上述观点说服不了他，所以我一直在试图寻找一个简单明了的例子来说服他。

上个周末一个偶然间，找到了一本压箱底的老书，它是一本教你如何在赌场中玩21点并能赢钱的技巧。这本书我以前看过好多遍了，但注意力都是集中到一些玩牌技巧与押注技巧上，不过这次我的注意力却转到一些非技巧的方面。书的开始谈到为什么要玩21点而不是赌场里的其他的游戏，那是因为只有这个游戏的输赢概率接近50%，其他的游戏赌场的获胜概率都远大于50%。上升到策略层面，作者主张在玩之前，要坐在牌桌旁仔细观察，如果你发现一个牌桌上，赌场总是赢，那你就要放弃上桌玩牌的打算。如果一个牌桌上赌场输的多一些，那是入牌局的好时机。为什么呢？作者说这是因为，即使你玩得再好，从概率上讲，赌场的赢面稍微大一些，但即使是那么小数点后的小优势，从长期的角度考虑，玩家还是要输的，因此入场要选择时机。

反复咀嚼他的话，突然间我想到了一个简单的例子。

一个双人赌博游戏，游戏的规则很简单，就是扔硬币决定输赢，如此简单的规则使得游戏双方的知识与智慧变得无用，这正是我所需要的。此外这是个零和游戏，与股票市场上的交易相符。此外我还附加上了两个条件，使得这个例子变得简明，至少是在数学上可以求解的。这两个条件就是：一个人手里只有1块钱，另一个有N块钱，一次投币输赢只有1块钱；其次，这个游戏要一直持

续下去，直到一方的钱输光为止。现在的问题是，手里只有一块钱的那个人最终获胜的概率是多少？

如果我们把这道题延续下去，可以换作是，一个大房子里有Ｎ个人，每个人在开始的时候手里都只有１块钱，然后开始投硬币赌博定输赢，一次输赢都是１块钱。在开始的时候，先随机选两个人之间玩。当然在刚开始的时候两个玩家的手里都只是１块钱，所以只要抛一次硬币就能决定双方的输赢。所以双方的输赢概率都是５０％。之后输的人被淘汰出局，赢的人留下坐庄，然后再

从其余的人中，任选一个上来与庄家抛硬币赌博对决；他们两者之间要一直玩下去，直到一方输光为止。输者出局，赢者坐庄，再从其他未玩的人中任选一个上来与庄家对决。如此下来，你会发现：（１）赢钱与玩家的智力无关；（２）庄家获胜的机会随着本钱的增多会越来越高，到后来一个普通玩家是根本无法赢庄家的，因为那是一个极小的概率。而我所出的那道数学题正是这

个游戏玩到最后所出现的场面，庄家手里握着N块钱，另一方只有1块钱。

以上就是想出这道题的思路。

这道题的结论应该是庄家获胜的概率是N/(N+1)，而另外一方获胜的概率只有1/N。当然我是花了好长时间才把求解它的思路捋顺的。

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以下是我的思路：

先假定下面的一系列的变量：P(0),P(1),P(2),...,P(N),P(N+1).这里P(k)是当一个人手里有k圆钱时输了的概率。

对于我们上述的问题，双方手里一共是(N+1)块,所以你一旦手里握了全部，那你输了的概率是零，于是P(N+1) = 0

此外，如果你手里没有钱，那你输了的概率就是P(0) = 1;

找到了这两个解题条件，我们下面要找的就是P(1)，就是手里握有1块钱时输了的概率。此外我们还知道，当你握有1块时，经过一次投币之后，你的结果只有两种：（1）输，手里没钱了；（2）赢，手里有2块钱。所以拥有1块钱时输了概率可以通过下面的方程计算：

P(1) = [P(0)+P(2)]/2

同样的道理，如果手里有2块钱，经过一次投币之后，其结果有两种，（1）1块钱；（2）3块钱。如此我们有下面的方程式：

P(2) = [P(1) + P(3)]/2

一次类推，一般地我们有：

P(N) = [P(N-1) + P(N+1)]/2

上面有N个方程，N个未知量P(1),P(2),...,P(N)。求解后自然就是上面的结论了。