常听有人将数学与哲学进行对比，因为两者都高度依赖于逻辑思维。今天的逻辑学其实就横跨着历史上的数学与哲学这两门学科。但这两门学科之间又是显然不同，这并不需要经过什么特殊的训练，而是小学生就能知道的。柏拉图认为数学只不过是哲学家需要掌握的一门基础课而已，因此数学家还够不上哲学家的水平[1]。当然，这一方面因为柏拉图认为哲学的基本标志是辩证法，而数学不需要辩证法，另一方面应该与那个时代的数学知识还相对比较浅显因而哲学家的数学水平也不必数学家差有关。虽然学数学并不需要把哲学作为一门基础课，在数学与哲学高度专业化的今天的数学家恐怕也会很自然地把柏拉图的话反过来说，认为哲学家够不上数学家的水平。 我们可以从两个彼此相关却又不同的层次来看待数学与哲学之间的关联与不同。第一个层次是如我之前在讨论文化的基础分类[2]时提到的，我们可以从两个学科在人类文化中所处的逻辑地位的关系来看它们之间的关联与不同，而第二个层次便是从它们所对应的思维方式的不同来看它们之间的关联与不同。本文要讨论的是数学与哲学在思维方式上的对比。 首先，作为研究数量关系的学科，数学不能回避在它推导过程中的任何一个细节步骤上的关系的确定性（包括所谓的不确定性），而哲学则通常不需要深入到非常复杂微妙的数量关系细节中去。这决定了数学家们需要具有哲学家们所不需要的对于相关的逻辑细节的敏感度。但另一方面，哲学则需要在没有已知的确定的知识的前提下，从开放的不确定的复杂关系中找出能够用最明确一致的语言来描述对象的视角来。这就决定了，哲学家需要具有把握不确定性并在不同的逻辑层次上进行抽象的韧性。 第二，说到这里有必要澄清一点，虽然不论是数学还是哲学都依赖于逻辑的思辨，在现实生活中人们的数学思维或哲学思维并非总是遵循着可以在纸上写出来的明确的逻辑脉络，很多时候直觉起了非常重要的作用，因此当我们对数学和哲学的思维方式进行对比时，一个不容回避的问题就是人们对于数学的直觉与对于哲学的直觉显然是不同的，有些人数学的直觉很强，而有些人则哲学的直觉力很强，当然也有些人或许两方面都很强。当然，如果拿一个受过专业训练并有着多年工作经历的数学家与一个受过专业训练并有着多年工作经历的哲学家进行比较，肯定马上会涉及到各自所学习积累的知识的不同以及与之相应的长期养成的思维习惯的不同而决定的各有所长。 但是，在专业知识的积累与长期的工作习惯之外，仍然不可否认地存在着一些因人而异的利于数学或利于哲学的直觉思维方式。对于数学来说，这样的直觉性在一些没有经过专业训练的青少年身上可以得到很好的表现。这里举几个例子，有一次有人给我出了一个智力游戏，说有人在一座大楼的8楼上班，他经常是上班时坐电梯做到6楼，然后走两层到8楼，而下班时则直接在8楼坐电梯下楼，问这是为什么。我想半天不得其妙，但这时有个小学生两年级的学生一听就说因为那个人是个子矮，所以上楼时够不着8楼的按钮，只好坐到6楼然后走两层，而下楼则不存在这个问题。 又有一次，有人给我出了一个扑克牌游戏题，从红黑两种颜色的牌各取十五张（其实具体张数不重要）弄成一沓，进行如下的操作：从最上面拿出一张翻过来放在桌子上，再将最上面一张（原来的第二张）移到最下面，然后将最上面的那张（是最初的第三张）再翻过来放到桌子上，接在之前放在桌上的那张牌（即第一张）后面，再将最上面一张（原来的第四张）移到最下面，重复这样的步骤直到手里的牌全部放在桌上。要求这样操作的结果是放在桌上的牌是严格的红黑相间的一个序列。这需要对那一沓牌做特殊的处理。作为北美一流大学毕业的工科博士，我在那里折腾了半个多小时也不得其解，这时过来一位五年级的小学生，在问明白了游戏要求后，坐到一边，三分钟后便找出了答案。 还有一次我接触到一道中学生老师出的数学题，要求在1到40之中找出4个数，用这4个数进行加减乘除运算（每个数只能用一次）能得出1到40中的任何一个数来。我这个博士生又在那里折腾近一小时，还列出方程式来，仍不知所措。这时过来一位从未接触过这道题目的大学两年级的学生，在了解了问题后，闭目思考了最多也就是三秒钟，非常自信地给出了答案，然后我们一一验证，果然可以通过加减乘除得出1到40之中的任何一个数。 要知道在几十年没有接触中学数学之后，我曾为了辅导一中学生而一口气将美国的SAT数学考试轻松提前做完只错了一道题。换句话说，本人的数学基础并不差，而我的博士与硕士论文都有长篇的数学推导。记得我读博士时，为了推导非理想流体力学的一阶近似方程（比零阶高一阶）的解析解过程中，经常是一个等式要有十多页长。也就是说，本人并非数学功底很差的人，但上面几个例子告诉我，数学的思维并非全都是理性的逻辑思维，很多时候是非意识的直觉在起作用。 对于哲学来说，直觉也同样起着很重要的作用。以我本人来说，我既不是数学专业出身的，也不是哲学专业出身的。 从前面的几个例子可以看出，我的数学直觉力是不够强的，如果你让我去读最高深的理论数学专著，我肯定咬不下来；但是，我却能相当轻易地将千百年来被专业哲学家们公认为没什么人读得懂的老子或黑格尔的哲学专著读懂，而且能看出其中的不为人知的结构特点，甚至是逻辑缺陷。考虑到千百年来那些没有读懂老子或黑格尔的专业哲学人员中有很多天才级的人物，我从我自己的例子中可以看到直觉对于哲学的作用性。 今天不论是心理学家还是哲学家们显然对这种直觉的作用机理还缺乏基本的了解[3]。但是，人们对于直觉的作用机理的知识上的缺乏并不代表直觉在现实中不存在，毕竟知识是用来反映现实，而不是限制现实的。既然直觉存在于人们的数学和哲学的思维中，那么当我们对数学与哲学的思维特点进行考察时就不能回避直觉这个议题。但是，由于我们对于直觉的作用机理缺乏基本的科学认识，我这里对于直觉在数学与哲学中所起的作用的对比，只能说：现实的经验表明，数学的直觉不同于哲学的直觉。 第三，数学的语言相对简单，而哲学则对自然语言有着非常高的要求。而对于自然语言的领悟本身又与生活的经历密切相关。 第四，与上面的第三相关地，柏拉图和黑格尔都强调人生经历对于哲学领悟的影响，这是哲学与数学在思维上的另一个不同点。虽然数学世界也可被比喻浩瀚的海洋，但毕竟实在一些比较确定的框架下进行的针对性很强的思考，而哲学则面对整个人类文明。这里涉及两个方面，其中第一个便是上面第三中提到的对语言的依赖性不同，而第二个则是生活经历可以提供在语言之外的对于哲理的领悟力。 第五，作为一门研究数量关系的学科，反映数学中最基本的关系的便是那个等号或与之相应的等价关系，或在等号或等价的意义上建立起的其它的各种关系。而不论是等价还是不等价，或想等或不相等，在任何一步具体的推导过程中，都是单一而明确的关系；即便是概率或与之相应的模糊数学也都是有简单明确的相等或不等来表达。 因此，基于明确的相等或不等关系的数学确实如柏拉图所说与辩证法的关系不大，而哲学则由于其所关心的关系之开放性而需要辩证法。因此，对于辩证思维的运用程度的不同便是由数学及哲学这两门学科的对象不同而导致的思维方式的另一个不同点。亚里士多德在世的话恐怕会站出来反对这一说法，因为他不认为哲学需要辩证法。但实际上他自己的著作中也满是辩证的思维。 第六，由于上述的种种原因，数学与哲学在逻辑思维上有一个中学生都会遇到的明显的不同，那就是数学运算经常需要用到一些所谓的小技巧，而即便是高深的哲学思辨也通常都是大来大去。 第七，数学与哲学的最大的不同其实还在于数学注重的是数的特性，而哲学注重的是概念。 在讨论了数学与哲学的思维上的不同点之后，我们也有必要了解数学与哲学在思维上的关联。 首先，很多时候（比如在很多的涉及逻辑的智力游戏或考试中）人们会发现很难界定所涉及的是数学还是哲学。那是因为，数学与哲学统一于逻辑。虽然，在一般的情况下，数学的逻辑与哲学的逻辑可以有着泾渭分明的不同，但是，当一个问题既涉及到明确的数值关系，又有着微妙的非数值的逻辑关联时，我们就会发现很难将那个问题界定为数学或哲学，而只能认为它们是数学与哲学的综合性问题。 另外，数学与哲学永远是同一存在的两个不同的层次，也就是说，任何存在都一定有着其内在的数学关联，而同时它的整体构型也一定能用哲学的语言来进行表达。不过，如我之前曾在关于机器人的讨论[4],[5],[6]中提到的，哲学只属于人类，而数学同时也属于机器人。。。。。。
[1]The Republic, by Plato, URL: [2] 文化之基础分类的界定 （那篇文章看起来简单其实恐怕并不易懂。我将该文的中英文版寄给中英文杂志，目前无一人能读懂） [3]神学界可以就人们不需要通过理性的逻辑思维而得出正确的结论给出对于有宗教信仰的人来说非常令人信服的解释。以我个人来说，我相信我对于哲学的领悟来自上帝的指引与启示。对于对宗教信仰缺乏了解的一般人来说，神学提供的答案并不能令他们满足，因为神学并没有给他们关于为什么有些人的数学直觉强，而有些人的哲学直觉强的问题的一般性公式性的答案。神学之所以没有给出那样的回答是因为神学本来就强调自然的人在超自然面前的特异性，以基督教来说，就是强调每个人在上帝面前都是不同的。 [4] 哲学与数据：区别人与机器人的智能标记 [5] 艺术，哲学，及机器人 [6] 没有道德与信仰的逻辑--人工智能的又一天然缺陷
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