凡事不可细究的物理学和数学原理（三）

梦阮

前文一(·测不准原理的爱情版本)侃了量子力学的测不准原理。

前文二(·凡事不可细究的物理学原理)（· 怪不得牛顿晚年去干这事儿）侃了物理学和数学的关系。

事实上，量子力学的测不准原理有其深刻的数学原理。今天洒家就义务给列位看官分解一二。

首先，海森伯格的测不准原理是说: 

一个运动中粒子的位置，和它的动量，不可以被同时确定。若以Δx代表粒子位置的误差，Δp代表粒子动量的误差，则恒有

Δx·Δp ≥ h/4π

其中，h是普朗克常数。

从数学的角度来看，海森伯格的测不准原理可以表述为：

若以f(t)代表均值为零，方差为σ²的正态分布， 以Ff代表f的傅里叶变换。则Ff是一个均值为零，方差为1/σ²的正态分布。换句话说，D(Ff)·D(f) = 1。其中D代表方差。

一般而言，上述结论不可以推广到任意函数，因为并不是任意函数都可以是一个概率分布函数（p.d.f）。所谓p.d.f 函数，就是满足两个条件的函数：

1. f(x) ≥ 0 for all  x: -∞ to ∞;

2. f(x) 从-∞到∞的积分等于1;

但是，根据著名的帕塞瓦尔定理（或称帕塞瓦尔等式，Plancherel Theorem）傅里叶变换F是一个幺正算符。也就是说，F算子保持函数的平方的积分为一性。

首先，一个p.d.f函数一定只取正值。任意函数f的平方f²就只取正值。如果f²是p.d.f, 则根据上面的帕塞瓦尔定理，Ff²就必为p.d.f.

因此，由上面的傅里叶变换等式就可以推出：

D((Ff)²) D(f²) ≥ 1/2.

众所周知，在量子力学里，位置和动量互为“共轭变量”(conjugate variables)。因此， 它们的振幅概率函数，f²和Ff²，之间的关系正是傅里叶变换的关系。基于物理单位的换算，这其中仅仅相差也一个常量倍数： h/2π, h是普朗克常数。

所以，把方差D(f²) 换成Δx，把方差D((Ff²)) 换成Δp，再加上常量倍数 h/2π，我们就得到海森伯格的测不准原理不等式：

D((F²)) D(f²) = Δx·Δp ≥ h/4π = 1/2 · h/2π

附录

傅里叶变换定理：

设f(t)为一个绝对可积的偶函数（i.e. f(t) = f(-t) for all t），则

其中 

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