戴世强教授今天转载了一个帖子，很是震撼。用现在流行的网络语言，应该属于“心灵鸡汤”。故事太长，可以读下面链接，不懂数学的照样可以受到激励。我这篇文章只需要高中数学知识就能理解，对数学不感兴趣的读者可以跳过不看。我先介绍一下故事梗概。
海文斯的故事
克里斯多弗*海文思（Christopher Havens），是西雅图（Seattle）重刑监狱的罪犯，今年41岁。他从小就显示出数学天赋，数学老师经常请他帮助同学。由于母亲工作的原因，他每过几年就要搬一次家。很不幸，他所处的环境，你要想“融入”，必须学坏，比如尝试一点大麻和酒精。他终于越走越远，有一次（或许）在毒品作用下，他杀了一个人。于是被关进这个重刑监狱。 在监狱里，一个偶然的机会，他开始自学数学，后来还在狱中教狱友数学。也是一次偶然的机会，有人把他介绍给意大利都灵大学的一位数学副教授。副教授给了他一个数论难题，结果他做出来了。他后来还和副教授做了其他研究，并在《数论研究》上发表了论文。 文章结尾是海文思设计的一道数学题，刊登在《Math Horizon》。 使 1729 y2 + 1 成为完全平方数的最小正整数y 是多少？拿起笔和纸，来试试吧。 令此数为x2。这个数字可以写成1729 y2 = (x+1)(x-1)，就是说两个相差为2 的整数的乘积。 我们将1729因式分解，1729 = 7 ×13 × 19。假如有解，x+1 是这三个数中某些因子和y 中某些因子的乘积。x-1 是其他因子的乘积。 我们把y写成 y = uv，y 不可能完整地同时出现在 x+1 和 x-1。所以 y 中因子在两个数中出现的形式只能是 u2v 和 v。 将1729中的因子和u2v 及 v 结合可以有许多种方法。其中的一种是 7 u2 v = x + 1 & 247 v = x – 1 简单推导可得 v (7 u2 - 247) = 2 很显然 v (247 - 7 u2) = 2 也是可能的解。 这样的方程一共有8个。 (1) v (7 u2 - 247) = 2 (2) v (247 - 7 u2) = 2 (3) v (13 u2 - 133) = 2 (4) v (133 - 13 u2) = 2 (5) v (19 u2 - 91) = 2 (6) v (91 - 19 u2) = 2 (7) v (u2 - 1729) = 2 (8) v (1729 - u2) = 2 我们现在逐一解答，方法其实是一摸一样的。 由 (1)， v 只能有2 个可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， 7 u2 = 249，无解。 假如 v = 2, 7 u2 = 248，同样无解。 由 (2)， v 只能有2 个可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， 7 u2 = 245，就是u2 = 35。所以无解。 假如 v = 2, 7 u2 = 246，同样无解。 由 (3)， v 只能有2 个可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， 13 u2 = 135，无解。 假如 v = 2, 13 u2 = 134，同样无解。 由 (4)， v 只能有2 个可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， 13 u2 = 131，无解。 假如 v = 2, 13 u2 = 132，同样无解。 由 (5)， v 只能有2 个可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， 19 u2 = 93，无解。 假如 v = 2, 19 u2 = 92，同样无解。 由 (6)， v 只能有2 个可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， 19 u2 = 89，无解。 假如 v = 2, 19 u2 = 90，同样无解。 由 (7)， v 只能有2 个可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， u2 = 1731，无解。 假如 v = 2, u2 = 1730，同样无解。 由 (8)， v 只能有2 个可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， u2 = 1727，无解。 假如 v = 2, u2 = 1728，同样无解。 所以最后结论是无解。 看懂这个解答不算困难，大部分高中生应该都可以。但设计出这个方案，确实需要一些功力。刚看到这道题，感觉就是大海捞针。晨练的时候冷静下来，发现经过因式分解，实际上只有8种情况。
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