戴榕菁

前文“很遗憾，看来E=mc2错了。。。。”指出爱因斯坦的著名的质量-能量关系因为必然涉及错误的洛伦兹动钟变慢或动尺变短所以一定是错的。这里我们在不涉及洛伦兹假设的前提下来推导一下质量-能量关系。

设有一个质量为m的物体静止在坐标系(x, y, z)中，另有坐标系 (ξ, η, ζ) 以匀速度为v 的 沿x 轴相对于(x, y, z)进行平移运动。这时我们从物体m沿x 轴向两个相反的方向同时射出两束光线，由动量守恒我们知道物体m将在(x, y, z)中保持静止不同。

假设每一束光线在(x, y, z)中的能量为L/2，那么由多普勒效应我们知道在(ξ, η, ζ)这两束光线的能量将分别为{c/(c-v)}L/2及{c/(c-+v)}L/2。

假设在发射光线之前，(x, y, z)中的总能量为E₀，(ξ, η, ζ) 中m的动能为K₀，m的总能量为H₀；发射光线之后，(x, y, z)中的总能量为E₁，(ξ, η, ζ) 中m的动能为K₁，系统的总能量为H₁。那么由能量守恒我们得到：

E₀ = E₁ + L/2 + L/2 = E₁ + L  (1)

H₀ = H₁ + {c/(c-v)}L/2 + {c/(c+v)}L/2 = H₁ + c²L/(c² – v²) (2)

因为沿x轴的运动速度v只影响m的动能而不影响m的势能，所以物体m动能变化应该为：

K₀ – K₁ = H₀ – E₀ – (H₁ – E₁) = c²L/(c² – v²) – L = v²(L/c²)/(1-v²/c²)  (3)

将1/(1-v²/c²)进行泰勒展开，略去高阶项，我们得到：

K₀ – K₁ = v²(L/c²) (4)

因为在整个过程中速度v保持不变，所以，

K₀ – K₁ = Δm v²/2  (5)

其中Δm是发射光线后物体所损失的质量。由(4)式和(5)式我们得到：

Δm = 2L / c²  (6)

或许有人会对上面的泰勒展开提出质疑：“你略去了高阶项，因此是不精确的。”

不好意思，以上的推导除了没有用到洛伦兹变换之外，完全是按照爱因斯坦的思路【】来进行的。爱因斯坦在推导他著名的质量-能量关系时用的就是泰勒展开，并略去了下面的高阶项：

3v⁴/8c⁴ + 5v⁶/16c⁶ + ……

如果有人会因为一直以为是放之四海而皆准的精确无比的爱因斯坦的质量-能量关系其实也只是在近似条件下推出的感到伤感的话，千万别这样，因为今天的现代理论物理中你恐怕很少能找到不是近似的解。

将(6)式改写为人们所熟悉的形式便是：

m = 2E/ c²  (6a)

或

E = mc²/2  (6b)

据称发现电子的汤姆逊和搞出椭球体的海维赛德及长期与爱因斯坦进行辩论的亚伯拉罕都在庞加莱和爱因斯坦之前，在没有用到洛伦兹变换的前提下得出【[ii]】：

E = 4mc²/3  (7)

我一直查不到他们的原文，不知他们是怎么得出来的。

但是，不管质量-能量关系应该是我上面推出的(6b)式还是其他人推出的(7)式，我们都无法回答为什么NIST【[iii]】居然能高精度地证明基于错误的洛伦兹变换得出的错误的E = mc²。。。。

再重复一遍我在“很遗憾，看来E=mc2错了。。。。”一文中指出的：

与只有建立在对于极少数的专家的信任基础之上的实验结果相比，我更相信放之四海而皆准并且是所有的人都可以直接运用和验证的逻辑！！！

我曾直接否认NIST对于重力影响时间的所谓高精度的实验验证结果【[iv]】的意义，因为那是典型的混淆时间与在时间中进行的物理过程的例子。按照那个只有他们才有条件能做得出来的极高精度的实验，如果我在月球上重复该实验，结果应该显示月球上的时间比地球上快；但是如果我们带一个传统的摆钟去地球，得出的结果肯定是月球上的时间比地球上慢。所以，如亚里士多德在两千多年前就正确地指出的：时间不同于在时间中进行的运动。重力影响的只是具体的运动过程而不是时间本身，假如NIST的重力时间效应实验结果没有人为的错误，那么它所证明的也不是重力对时间的影响，而只是重力对具体物理过程的速度的影响而已！

[] Einstein, A. (1905a). “Does the Inertia of a Body Depend Upon Its Energy-content?”. Retrieved from: https://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/E_mc2/e_mc2.pdf

[[ii]] Ricker，HH. “The Origin of the Equation E = mc2”. Retrieved from: http://www.dankalia.com/delloro/gravity-cone/The%20Origin%20of%20the%20Equation%20E%20=%20mc2.htm

[[iii]] NIST, “Einstein Was Right (Again): Experiments Confirmthat E= mc²”, National Institute of Standards and Technology, U.S. Department of Commers. https://www.nist.gov/news-events/news/2005/12/einstein-was-right-again-experiments-confirm-e-mc2

[[iv]] C. W. Chou, et al (2010). “Optical Clocks and Relativity”. 24 SEPTEMBER 2010 VOL 329 SCIENCE. Retrieved from: http://webs.ftmc.uam.es/juancarlos.cuevas/Teaching/Chou-Hume-Rosenband-Wineland-Science2010.pdf