数学学习（28/30）

戴德金分割，从正面解释了什么是无理数，建立起有理数与无理数之间的联系，从而结束了两千多年＂无理数不是有理数＂这样有缺陷的定义，同时，也更明确了数的分类，统一地将数分为，正数与负数，有理数与无理数，实数与复数，代数数与超越数等等。

这里的代数数和超越数，对有些人来说，可能是新概念，有必要解释一下。所谓代数数，就是可以用代数方程来表示的数。比如，X2 – 2 = 0，X所表示的就是正负根号2，再比如，X2 + 1 = 0，X所表示的就是正负根号负1。这些能用代数方程表示的数，统称为代数数。 代数方程，是指一般形式的代数方程, Xm+ a1Xm-1 + + … amX+c = 0, 可以为任意次方，一次方，一百次方，甚至一百万次方。我们所知道的数，基本上都可以称之为代數数，也就是说，总可以找到一个代数方程来表示它。

是不是每个数都可以用代数方程来表示呢？换言之，是否存在代数方程表达不了的另一类数？两百多年前，以欧拉为代表的数学家们猜测，这类数是存在的，并且给这类想象中的数取名叫超越数。即，不是代数数的數为超越数。

  超越数的新名词，折腾了数学家们一百多年， 大概在1840年前后，法国数学家刘维尔(Joseph Liouville,1809--1882)证明了超越数的存在，又过了三十年，法国数学家埃尔米特（Charles Hemite,1822-1901)，证明了e是一个超越数，九年之后，德国数学家林德曼(Ferdinand von Lindemann, 1852-1939)，证明了圆周率π是超越数。

   证明了超越数的存在，并发现了真正的超越数，使数学前进了一大步，但并没有减轻数学家们的困惑与负担。首先, 超越数是什么？ 数学是一门演译科学， 不接受＂超越数不是代数数＂这样不准确的定义。前面说过， ＂无理数不是有理数＂折 腾了人们两千多年，＂超越数不是代数数＂以类似的挑战，正在折 腾着数学，或许需要再一个两千年。 

   更令人困惑的是，有理数不比自然数多，无理数比有理数多，代数数又比无理数多岀很多，超越数比代数数，要多得多的多。可怜的是，面对这多多的超越数，我们除知道两个超越数 e 和 π之外，其余一无所知（待续）。