戴榕菁 點的概念在人類文明中特別是在幾何學中有着重要地位。一個幾何點被定義為在任何維度上大小為零的存在，也可以說點的維度是零。在任何其他幾何形式（線、面或體）中都有無窮多個點；類似地，任何非零維度的幾何形式也都包含着無窮多的較低維度幾何形式。這是任何幾何研究（無論是歐幾里得幾何還是非歐幾里得幾何）的基本概念。 作為幾何學的基本概念，零尺寸的點是人們想象出來的抽象概念。儘管這是一種合理的抽象，遺憾的是這個抽象概念會導致這樣的邏輯矛盾：如果一個點沒有體積，它就不應占據空間，但如果它不占據空間，無論你沿任何方向堆積多少個，它們都不應累積成任何其它幾何形式；幾何線和幾何面的概念在邏輯上也有着類似的缺陷。 作為一個抽象的語言概念之幾何點的這個缺陷既是語言缺陷也是邏輯缺陷。首先它是個語言缺陷因為它不但是語言表達能力的一個缺陷還是一個無法用我們的語言來彌補的缺陷；同時它也是一個邏輯缺陷不但因為作為幾何學的邏輯起點它的零尺寸定義直接導致邏輯悖論，而且因為（如下面的幾個例子所顯示的）這個缺陷直接影響人們與幾何點或比幾何點更抽象的點概念相關的邏輯思維的正確性。 比如，幾何點概念（以及它在時間中的對應概念——瞬間）的上述邏輯缺陷是令古希臘的悖論大師芝諾對於有限與無限之間的關係及動與靜之間關係產生困惑的真正根源，這些困惑促成了他的那些著名的悖論【[1],[2]】。亞里士多德在其名著《物理學》【[3],[4]】一書中花了大量篇幅試圖解決芝諾的困惑，但效果並不理想，主要是因為他沒有意識到上述幾何點的邏輯缺陷才是產生那些困惑的根源；在其另一部名著《形而上學》中，亞里士多德仍未能令人滿意地解決由幾何點到線的連續性過渡問題。 人類語言之點缺陷並非僅表現在幾何學上，也同樣反映在生活中與點有關的其它方面。比如黑格爾在他的《邏輯學》【[5],[6]】中試圖沿着亞里士多德的思路，用點的概念為其“無中生有”的本體論提供一個邏輯嚴密的推導，但同樣未能成功，甚至都沒有意識到自己的失敗【[7],[8]】。 人類語言之上述點缺陷直接影響了幾何連續性概念。在數學上，幾何連續性又反映為實數的連續性，而實數的概念又是源自遠古時期的計數系統的延申。與人類語言中點概念所具有的上述缺陷類似，人類的計數語言也無法絲滑地表達連續這一概念。羅素曾在他的《我們關於外部世界的知識》【[9],[10]】中試圖用他的（瞬間）事件集來建立時間連續性模型時遇到了挫折。而他所採用的集合覆蓋的方式因涉及每個子集的下標而在本質上來說與人類的計數系統是等價的，因而他的失敗本身所反映出的其實是人類計數語言在反映連續性上的缺陷。與亞里士多德和黑格爾一樣，羅素沒有意識到他的努力失敗的原因是人類語言系統的缺陷【[11],[12],[13]】。 討論 本文所討論的不是人類的某種語言的缺陷，而是人類語言整體在點這個概念上存在的缺陷，之所以敢這麼肯定主要因為如果有一個語言能克服這一缺陷，那麼一定會反映在其它語言中，而目前我所知的英文和中文這兩大語言顯然都具有相關的缺陷。 當我們認識到芝諾，亞里士多德，黑格爾，和羅素所遇到的問題之根本原因是人類用於表達點這一概念及用於計數的（自然）語言系統的缺陷後，我們很容易想到用比黑格爾早一百多年發明的微積分來解決相關的挑戰。但實際上，儘管微積分作為一種數學工具在解決與幾何或實數的連續性有關的問題上非常有效從而可以為芝諾排難解惑，它並沒有為排除人類的邏輯系統在點這個概念上存在的缺陷提供答案，更無法在自然語言的系統中直接解決上述令亞里士多德，黑格爾，和羅素受挫的點與計數上的缺陷。 結束語 20世紀是人類科技一地雞毛的百年。那一百年裡產生了很多錯誤理論，也誇大了一些沒有錯的理論之價值，而關於著名的圖靈死機理論和哥德爾定理以及與之相關的一系列理論對於揭示所謂的人類邏輯體系之缺陷的意義的宣傳就是典型的例子。如本作者在2021年指出的【[14],[15]】，他們所揭示的所謂人類邏輯的缺陷是一個非常簡單的可以由對語言進行簡單的規範進行排除的奇異點；當我們將相關的規範加入人工智能的基本程式邏輯中之後，如果不是讀到有關那些理論的文章的話，其“思維”基於數理邏輯的人工智能根本不會因為相關問題而出現宕機。 但本文所討論的人類語言之點缺陷以及與之相關的計數語言的缺陷則是人類的語言和邏輯體系中無法排除的真正缺陷。雖然微積分可以在相關的數學問題上提供幫助，它仍無法解決相關的語言邏輯上的缺陷。
【[1]】維基百科。芝諾悖論。https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E8%8A%9D%E8%AF%BA%E6%82%96%E8%AE%BA。本頁面最後修訂於2025年3月9日 (星期日) 13:18。 [[2]]Wikipedia. Zeno's paradoxes. Retrieved from: https://en.wikipedia.org/wiki/Zeno%27s_paradoxes. Last edited on 1 December 2024, at 13:16 (UTC). 【[3]】亞里士多德 （350BC） 物理學。https://www.chaoren.club/8417.html [[4]]Aristotle (350BC). Physics. Translated by R. P. Hardie and R. K. Gaye. Retrieved from: http://classics.mit.edu//Aristotle/physics.html 【[5]】黑格爾（1816）邏輯學。https://file.cz123.top/6Social_book/WEST_PHILOSOPHY/4NINETEENTH_CENTURY/%E9%80%BB%E8%BE%91%E5%AD%A6%20%E4%B8%8A%20%28%E9%BB%91%E6%A0%BC%E5%B0%94%29.pdf [[6]] Georg Wilhelm Friedrich Hegel, Science of Logic, 1816, trans. A. V. Miller, George Allen & Unwin, New York: Humanity Books, 1969, Introduction: General Notion of Logic §33- §34, Retrieved from:https://www.marxists.org/reference/archive/hegel/works/hl/hlintro.htm#HL1_43 【[7]】戴榕菁（2017）黑格爾本體論的邏輯缺陷 [[8]]Dai, R. (2017). The Imperfection of Hegelian Ontology. First posted on wordpress.com. Retrieved from: https://www.researchgate.net/publication/342992318_The_Imperfection_of_Hegelian_Ontology 【[9]】羅素（1914）我們關於外部世界的知識http://philosophychina.cssn.cn/webpic/web/philosophy/philosophyac/philosophyorg/20100831085457767039.pdf [[10]] Russell, B. (1914). Our Knowledge of the External World as a Field for Scientific Method in Philosophy. First published in 1914 by The Open Court Publishing Company, Reissued by George Allen & Unwin Ltd.1922. pg 116-121. Retrieved from: http://www.gutenberg.org/files/37090/37090-h/37090-h.htm 【[11]】戴榕菁（2015）羅素如何構造時間的定義 【[12]】戴榕菁（2024）無窮大是一個概念而不是一個數值 [[13]]Dai, R. (2025). On the Notion of Infinity ∞. Retrieved from: https://www.researchgate.net/publication/387136504_On_the_Notion_of_Infinity 【[14]】戴榕菁（2021）圖靈死機問題和相關理論的局限性以及可如何推翻之 [[15]]Dai, R. (2021). The Limit of Turing’s Halting Problem Theory and Gödel Theorems. Retrieved from: https://www.researchgate.net/publication/355683815_The_Limit_of_Turing_Theory_of_the_Halting_Problem_and_Godel_Incompleteness_Theorems 
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