將十二個球編號為1-12。

第一次，先將1-4號放在左邊，5-8號放在右邊。

　　1.如果右重則壞球在1-8號。

　　　　第二次將2-4號拿掉，將6-8號從右邊移到左邊，把9-11號放

　　　　在右邊。就是說，把1,6,7,8放在左邊，5,9,10,11放在右邊。

　　　　　　1.如果右重則壞球在沒有被觸動的1,5號。如果是1號，

　　　　　　　則它比標準球輕；如果是5號，則它比標準球重。

　　　　　　　　第三次將1號放在左邊，2號放在右邊。

　　　　　　　　　　1.如果右重則1號是壞球且比標準球輕；

　　　　　　　　　　2.如果平衡則5號是壞球且比標準球重；

　　　　　　　　　　3.這次不可能左重。

　　　　　　2.如果平衡則壞球在被拿掉的2-4號，且比標準球輕。

　　　　　　　　第三次將2號放在左邊，3號放在右邊。

　　　　　　　　　　1.如果右重則2號是壞球且比標準球輕；

　　　　　　　　　　2.如果平衡則4號是壞球且比標準球輕；

　　　　　　　　　　3.如果左重則3號是壞球且比標準球輕。

　　　　　　3.如果左重則壞球在拿到左邊的6-8號，且比標準球重。

　　　　　　　　第三次將6號放在左邊，7號放在右邊。

　　　　　　　　　　1.如果右重則7號是壞球且比標準球重；

　　　　　　　　　　2.如果平衡則8號是壞球且比標準球重；

　　　　　　　　　　3.如果左重則6號是壞球且比標準球重。

　　2.如果天平平衡，則壞球在9-12號。

　　　　第二次將1-3號放在左邊，9-11號放在右邊。

　　　　　　1.如果右重則壞球在9-11號且壞球較重。

　　　　　　　　第三次將9號放在左邊，10號放在右邊。

　　　　　　　　　　1.如果右重則10號是壞球且比標準球重；

　　　　　　　　　　2.如果平衡則11號是壞球且比標準球重；

　　　　　　　　　　3.如果左重則9號是壞球且比標準球重。

　　　　　　2.如果平衡則壞球為12號。

　　　　　　　　第三次將1號放在左邊，12號放在右邊。

　　　　　　　　　　1.如果右重則12號是壞球且比標準球重；

　　　　　　　　　　2.這次不可能平衡；

　　　　　　　　　　3.如果左重則12號是壞球且比標準球輕。

　　　　　　3.如果左重則壞球在9-11號且壞球較輕。

　　　　　　　　第三次將9號放在左邊，10號放在右邊。

　　　　　　　　　　1.如果右重則9號是壞球且比標準球輕；

　　　　　　　　　　2.如果平衡則11號是壞球且比標準球輕；

　　　　　　　　　　3.如果左重則10號是壞球且比標準球輕。

　　3.如果左重則壞球在1-8號。

　　　　第二次將2-4號拿掉，將6-8號從右邊移到左邊，把9-11號放

　　　　在右邊。就是說，把1,6,7,8放在左邊，5,9,10,11放在右邊。

　　　　　　1.如果右重則壞球在拿到左邊的6-8號，且比標準球輕。

　　　　　　　　第三次將6號放在左邊，7號放在右邊。

　　　　　　　　　　1.如果右重則6號是壞球且比標準球輕；

　　　　　　　　　　2.如果平衡則8號是壞球且比標準球輕；

　　　　　　　　　　3.如果左重則7號是壞球且比標準球輕。

　　　　　　2.如果平衡則壞球在被拿掉的2-4號，且比標準球重。

　　　　　　　　第三次將2號放在左邊，3號放在右邊。

　　　　　　　　　　1.如果右重則3號是壞球且比標準球重；

　　　　　　　　　　2.如果平衡則4號是壞球且比標準球重；

　　　　　　　　　　3.如果左重則2號是壞球且比標準球重。

　　　　　　3.如果左重則壞球在沒有被觸動的1,5號。如果是1號，

　　　　　　　則它比標準球重；如果是5號，則它比標準球輕。

　　　　　　　　第三次將1號放在左邊，2號放在右邊。

　　　　　　　　　　1.這次不可能右重。

　　　　　　　　　　2.如果平衡則5號是壞球且比標準球輕；

　　　　　　　　　　3.如果左重則1號是壞球且比標準球重；

　　我們先不忙着馬上着手解決上述問題。先得給出幾個定義，尤其是，要給出比較簡單的符號和記法。大家看到上面給出的解法寫起來實在麻煩——想象一下如果我們要用這種方法來描述稱40個或1000個球的問題！

　　仍舊考慮十二個球的情況和上面舉的解法。在還沒有開始稱第一次時，我們對這十二個球所知的信息就是其中有一或較輕，或較重的壞球，所以以下24種情況都是可能的：

　　1. 1號是壞球，且較重；

　　2. 2號是壞球，且較重；

　　……

　　12. 12號是壞球，且較重；

　　13. 1號是壞球，且較輕；

　　14. 2號是壞球，且較輕；

　　……

　　24. 12號是壞球，且較輕。

　　沒有其他的可能性，比如說“1、2號都是壞球，且都較重”之類。當我們按上面解法“先將1-4號放在左邊，5-8號放在右邊”稱過第一次以後，假設結果是右重，稍微分析一下，就會知道上面的24種情況中，現在只有8種是可能的，就是

　　1. 1號是壞球，且較輕；

　　2. 2號是壞球，且較輕；

　　3. 3號是壞球，且較輕；

　　4. 4號是壞球，且較輕；

　　5. 5號是壞球，且較重；

　　6. 6號是壞球，且較重；

　　7. 7號是壞球，且較重；

　　8. 8號是壞球，且較重。

　　我們把諸如“1號是壞球，且較重，其他球都正常”和“2號是壞球，且較輕，其他球都正常”這樣的情況，稱為一種“布局”，並記為：

　　(1重)　和　(2輕)

　　我們把“先將1-4號放在左邊，5-8號放在右邊”這樣的步驟，稱為一次“稱量”。我們把上面這次稱量記為

　　(1,2,3,4; 5,6,7,8)

　　或

　　(1-4; 5-8)

　　也就是在括號內寫出參加稱量的球的號碼，並且以分號分開放在左邊和放在右邊的球號。在最一開始，我們有24種可能的布局，而在經過一次稱量(1-4；5-8)後，如果結果是右重，我們就剩下上述8種可能的布局。我們的目的，就是要使用儘量少的稱量，而獲得唯一一種可能的布局——這樣我們就知道哪個球是壞球，它是比較重還是比較輕。

　　這裡我們注意到沒有必要去考慮兩邊球數不相等的稱量。因為壞球和標準球重量之間的差別很小，小於標準球的重量，所以當天平兩邊球數不一樣時，天平一定向球比較多的那邊傾斜。所以在進行這樣一次稱量之前，它的的結果就可以被預料到，它不能給我們帶來任何新的信息。事實上在看完本文以後大家就很容易明白，即使壞球和標準球重量之間的差別很大，也不會影響本文的結論。因為考慮這種情況會使問題變麻煩，而並不能帶來有趣的結果，我們就省略對此的考慮。

　　現在我們看到，上面關於十二個球問題的解法，其實就是由一系列稱量組成的——可不是隨隨便便的組合，而是以這樣的形式構成的：

　　　　　　　　……

　　省略號部分則又是差不多的“如果右重，則……”等等。所以這就提示我們用樹的形式來表示上面的解法：樹的根是第一次稱量，它有三個分支（即三棵子樹，於是根有三個子節點），分別對應着在這個稱量下的右重、平衡、左重三種情況。在根的三個子節點上，又分別有相應的稱量，和它們的三個分支……如果具體地寫出來，就是

|--右--( 1輕)

　　這裡“右”、“平”和“左”分別表示稱量的結果為“右重”、“平衡”和“左重”所對應的分支。在樹的葉子（就是最右邊沒有子節點的那些節點）部分，我們標出了“能夠到達”這些節點的布局，也就是說在進行每一節點上的稱量時，這個布局所給的結果和通往相對應的葉子的道路上所標出的“右”、“平”和“左”相符合。從這個圖我們也可以清楚地看到，根下的左分支和右分支是對稱的：只需要把所有的“右”改成“左”，“左”改成“右”，“輕”改成“重”，“重”改成“輕”；節點(1-3; 9-11)下的左分支和右分支也有這個

特點。

　　（如果有朋友對樹理論感興趣，可以參考隨便哪一本圖論或者離散數學的書。在這裡我們只用到樹理論里最基本的知識，所用的名詞和結論都是相當直觀的。所以如果你不知道樹理論，用不着特別去學也可以看懂這裡的論證。）

　　所以給定一棵三分樹（就是說除了葉子以外其他的節點都有三個子節點的樹），在每個不是葉子的節點上給定一個稱量，並且規定這個節點下的三個分支（子樹）分別對應右重、平衡、左重的情況，我們就得到了一種稱球的方法。我們把這樣一棵三分樹稱為一個“策略”或一棵“策略樹”。你可以給出一個平凡的策略，比如說無論發生了什麼事總是把1號和2號球放在左右兩側來稱（在葉子上我們沒有寫出相應的布局，用@來代替）：

|--右--@A

　　一棵樹的高度是葉子到根之間的結點數的最大值加一。比如說上面這個圖中，葉子A和根間有1個節點，而葉子B和根間有2個節點，沒有和根之間的節點數超過2的葉子。所以它的高度是2+1=3。前面十二球解法策略樹的高度也是3。一棵沒有任何分支，只有根節點的樹，我們定義它的高度是0。

　　顯然，策略樹的高度就是實行這個策略所需要的稱量的次數。我們的目的，就是找到一棵“好”的策略樹，使得它的高度最小。

　　什麼是“好”策略？我們回過頭來再看十二球解法策略樹。我們說過，葉子上的那些布局都是從根開始通向葉子的。比如說布局(7重)，它之所以在那片葉子上是因為按照這個策略，三次稱量的結果是“右左右”；又比如說布局(11重)，它之所以在那片葉子上是因為按照這個策略，三次稱量的結果是“平右平”。如果兩個布局通向同一片葉子，那麼就是說按照這個策略，三次稱量的結果是完全一樣的，於是我們就不能通過這個策略來把這兩種布局區分開來。比如說在十三個球的情況下，(13輕)和(13重)都通向和“平平平”相對應的葉子，這兩個布局中13號球或者輕或者重，於是我們知道13號球一定是壞球，但是通過這個策略我們不可能知道它到底是輕還是重。

　　先引入一個記號：對於任意實數a，我們用{a}表示大於等於a的最小整數，比如說{2.5}=3，{4}=4；我們用[a]表示小於等於a的最大整數，比如說[2.5]=2，[4]=4。

　　我們首先考慮這樣一種布局的集合。假設m，n為兩個非負實數，不同時為0。在編號從1到m+n的m+n個球中，我們知道1到m號球要麼是標準球，要麼比標準球重，而m+1到m+n號球要麼是標準球，要麼比標準球輕；我們還知道其中有一個是壞球（但不知輕重）。換句話說，我們知道真實的情況是以下m+n種布局之一：

　　1. 1號是壞球，且較重；

　　2. 2號是壞球，且較重；

　　……

　　m. m號是壞球，且較重；

　　m+1. m+1號是壞球，且較輕；

　　m+2. m+2號是壞球，且較輕；

　　……

　　m+n. m+n號是壞球，且較輕。

　　有一種特殊的情況是m=0或n=0，也就是說壞球的是輕還是重已經知，常常被用來單獨作為智力題。

　　需要對2)作點說明。如果m=n=1而沒有標準球的話，那麼是永遠也稱不出壞球來的。把兩個球一邊一個放在天平上，必然是1號重2號輕。

　　但是由於沒有標準球，我們無法知道是壞球比較重所以1號是壞的，還是壞球比較輕所以2號是壞的。如果有標準球，只要把1號球和標準球比較一下。如果天平不平衡，那麼1號球是壞球，且比較重；如果天平平衡，那麼2號球是壞球，且比較輕。策略樹如下：（用s表示標準球）

|--右--( )

　　3^H ≥ m+n

　　也就是

　　H ≥ log₃(m+n)

　　考慮到H是整數，我們就證明了

　　H ≥ {log₃(m+n)}

　　現在我們要具體找到一棵高度為{log₃(m+n)}的策略樹，使得m+n種布局通向它的不同葉子。我們對k=m+n使用數學歸納法。

　　首先k=1。那麼稱都不要稱，因為必有一壞球，那麼壞球就是唯一的1號球。如果是m=1，n=0，那麼1號球比較重；如果是m=0，n=1，那麼1號球比較輕。需要的稱量次數為{log₃(1)}=0。

　　對於k=2。m=1，n=1的情況已經討論過了。考慮m=2，n=0。這時我們知道壞球比較重。只要把1號球和2號球放在天平兩邊一稱，哪個比較重哪個就是壞球。策略樹如下：

|--右--(2重)

　　假設對於m+n＜k的情況我們都可以用{log₃(k)}次稱出壞球。考慮m+n=k的情況。我們把1到m號球稱為第一組球，m+1到n號球稱為第二組球。

　　設H={log₃(m+n)}＝{log₃(k)}。那麼我們有

　　3^H-1 ＜ k ≤ 3^H

　　3^H-2 ＜ k/3 ≤ 3^H-1

　　3^H-2 ＜ {k/3} ≤ 3^H-1

　　於是

　　{log₃{k/3}}=H-1。

　　現在我們把這k個球分為三堆，第一堆和第二堆分別有{k/3}個球，並且這兩堆中屬於第一組的球的數目一樣（於是屬於第二組的球的數目也一樣），第三堆中有k-2{k/3}個球（也就是其餘的球）。舉一個例子，如果m=7，n=3，那麼這三堆可以分成這樣：（當然不是唯一的分法）

　　第一堆：1，2，3，7　（屬於第一組的3個，第二組的1個）

　　第二堆：4，5，6，8　（屬於第一組的3個，第二組的1個）

　　第三堆：9，10

　　這樣的分堆總是可能的嗎？如果m或n是偶數，那就很簡單。比如說假設m是偶數，有兩種可能性。如果m/2≥{k/3}，那麼就從第一組球中各取{k/3}個球作為第一和第二堆（這時在第一第二堆中只有第一組的球）；如果m/2＜{k/3}，那麼就把第一組球分為相同的m/2個球的兩堆，再分別用{k/3}-m/2個第二組球去把它們補充成{k/3}個球的兩堆（這時在第三堆中就只有第二組的球了）。很顯然這樣的分堆符合上面的要求。

　　如果m和n都是奇數，事情就有點複雜。首先如果(m-1)/2≥{k/3}的話，那麼按上面的方法也很容易把球按要求分為三堆。但是如果(m-1)/2＜{k/3}，我們就必須先從第一組中各拿出(m-1)/2個球放入第一和第二堆，再從第二組中各拿出{k/3}-(m-1)/2個球將它們補充到各有{k/3}個球為止。這就需要從第二組中總共拿得出2({k/3}-(m-1)/2)個球來。所以必須有

　　2({k/3}-(m-1)/2) ≤ n

　　即

　　2{k/3} ≤ (m-1)+n

　　2{k/3} ≤ k-1

　　這個不等式在k=3或k＞4時總是成立的，但是對k=4就不成立。所以我們要對k=4且m，n都是奇數的情況作特殊處理。我們只需考慮m=3，n=1這種情況。把1號球和2號球放在天平兩端，如果不平衡，那麼較重的那個是壞球；如果平衡，那麼把1號球和3號球放在天平兩端，平衡則4號球為壞球且較輕，不平衡則3號球為壞球且較重。策略樹如下：

|--右--(2重)

　　於是現在我們就可以毫無障礙地假設，我們已經將m+n=k個球分為這樣的三堆：第一堆和第二堆分別有{k/3}個球，並且這兩堆中屬於第一組的球的數目一樣（於是屬於第二組的球的數目也一樣），第三堆中有k-2{k/3}個球（也就是其餘的球）。

　　我們把第一堆球和第二堆球分別放在天平的左右兩端。如果平衡，那就說明壞球在第三堆里，這樣我們就把問題歸結為一個k-2{k/3}個球的問題；如果右邊比較重，那麼我們得到結論：要麼是壞球比較輕，並且它在第一堆中的第二組球，也就是可能較輕的那些球中，要麼是壞球比較重，並且它在第二堆中的第一組球，也就是可能較重的那些球中，下面它就歸結為一個{k/3}個球的問題了；如果是左邊比較重，那麼我們也完全類似地將問題歸結為一個{k/3}個球的問題。開始的策略樹如下：（小球的編號作了適當變化：假設1，2，……，s為第一堆中的第一組球，1\'\'，2\'\'……，s\'\'為第二堆中的第一組球，(s+1)，……為第一堆中的第二組球，(s+1)\'\'為為第二堆中的第二組球）

歸結為壞球在

　　在這節的最後我們給出一個具體的例子：如果有27個球，其中有一個壞球，而且已知第一堆1-14號球如果其中一個是壞球，那麼它比標準球重，第二堆15-27號球如果其中一個是壞球，那麼它比標準球輕。

　　根據結果1，我們知道只要[log₃(27)]=3次就可以找出壞球。

　　按照上面的稱法，首先將27個球分為三堆，第一第二堆的個數為{27/3}=9個球，而且其中分別屬於第一和第二組的球的個數相同。於是我們可以取：

　　第一堆： 1-7，15-16

　　第二堆：8-14，17-18

　　第三堆：19-27

　　現在把第一和第二堆放在天平左右兩端，如果平衡，我們就歸結為在19-27號9個球中其中有個較輕壞球的問題；如果右邊重，我們就歸結為壞球在8-14，15-16中的問題；如果左邊重，我們就歸結為壞球在1-7，17-18中的問題。這三種情況都是9個球的問題。

|--右--歸結為壞球在8-14，15-16中的問題

　　第一堆：1-3

　　第二堆：4-6

　　第三堆：7，17-18

　　照上面類似地我們有策略樹

|--右--歸結為壞球在4-6中的問題

|--右--( 5重)

|--右--(12重)

|--右--(19輕)

|--右--(12重)

　　現在我們就可以來回答第一節中的問題了。

　　首先假設結論成立，我們來看看幾個具體例子。如果是12個球，那麼

　　H = {log₃(2*12)} = 3，

　　而且

　　12 ＜ (3³-1)/2 = 13。

　　所以根據2)我們知道稱3次可以找出壞球並知其輕重。如果是13個球，那麼

　　H={log₃(2*13)}=3，

　　而且

　　(3³-1)/2=13。

　　根據3)我們知道稱3次可以找出壞球但不一定能知其輕重。但是如果另有一個標準球的話，稱3次就可找出壞球且知其輕重。

　　一般地，能由H次稱量找出壞球並知道其輕重的最大小球數量為

　　(3^H-1)/2-1 = (3^H-3)/2；

　　能由H次稱量找出壞球但不需要知道其輕重的最大小球數量為

　　(3^H-1)/2；

　　有一標準球，能由H次稱量找出壞球並知道其輕重的最大小球數量也為

　　(3^H-1)/2。

　　為了比如說為了找出壞球並知道其輕重，則3次最多可以稱12個，4次為39個，5次為120個，6次為363個等等；為了找出壞球卻不需知道其輕重，則3次最多可以稱13個，4次為40個，5次121個，6次364個等等——但是如果另有一個標準球，那麼就可以用相同的次數來知道壞球的輕重。

　　首先我們證明至少需要稱{log₃(2N)}次。這和上節類似問題的證明幾乎相同。我們看到，N個小球可能的布局是2N種（1重，2重，……，N重，1輕，2輕，……，N輕）。所以相應策略樹至少需要有2N片葉子。

　　但是一棵高度為H的三分樹最多只能有3^H片葉子。於是這棵策略樹必須滿足條件

　　H ≥ {log₃(2N)}。

　　現在我們來證明3)的後半部分：如果N=(3^H-1)/2，那麼稱H次還是不足以保證知道壞球比標準球輕還是重。

　　我們知道第一步稱量一定是各放n（這裡2n≤N）個球在天平兩端，然後看天平的狀況再決定後面的步驟。此時有三種情況

　　1)如果天平平衡，那麼壞球就在剩下的N-2n個球里。這時候根據1)，我們還需要{log₃(2(N-2n))}次來找到壞球並知其輕重；

　　2)如果是左邊重，則要麼是壞球比較輕，而且壞球在右面n個球里，要麼是壞球比較重，而且壞球在左面n個球里。這時根據結論1，我們還要{log₃(2n))}次來找到壞球並知其輕重；

　　3)如果是右邊重，那麼有和上面類似的結論，我們還要{log₃(2n))}次來找到壞球並知其輕重。

　　如果我們在H次里可以稱出壞球並知其輕重，那麼我們必然要有

　　{log₃(2(N-2n))} ≤ H-1　和　{log₃(2n))} ≤ H-1

　　但前一個式子表明

　　2(N-2n) ≤ 3^H-1

　　也就是

　　2((3^H-1)/2-2n) ≤ 3^H-1

　　所以

　　3^H-1 ≤ 2n+1/2

　　考慮到3^H-1為整數，於是

　　3^H-1 ≤ 2n

　　但3^H-1又是奇數，而2n是偶數，所以

　　3^H-1 ＜ 2n。 (*)

　　而後一個式子表明

　　2n ≤ 3^H-1

　　同樣考慮到奇偶性

　　2n ＜ 3^H-1。 (**)

　　我們看到(*)和(**)式是矛盾的。

　　所以對N=(3^H-1)/2的情況，只用H步是不能夠稱出壞球又知道它的輕重的。它的原因在於，雖然理論上N=(3^H-1)/2，那麼可能的布局是(3^H-1)種，而一棵H層的策略樹有3^H片葉子，看起來葉子足夠多了。

　　但是由於第一步的稱量無論如何也不可能把這3^H-1種布局平均地分配在左中右三棵子策略樹上，總有一個分支上承受的布局會超過3^H-1種，於是在此分支上就無法用剩下的H-1次稱量來稱出壞球又知道它的輕重。

　　接下來我們同時證明結論2中的2)、4)和5)。也就是說，我們要具體找到一種策略，如果N＜(3^H-1)/2，那麼不用標準球在H次內找到壞球又知道它的輕重的；如果N=(3^H-1)/2或者N=2，則允許使用一個標準球來達到同樣目的。仍舊使用數學歸納法。

　　首先對N=1，{log₃(2N)}=1且N=(3¹-1)/2，允許使用標準球。因為只有一個球，而題目的條件是有一個壞球，所以這唯一的一個就是壞球，現在只需要知道它比標準球重還是輕。這只要把標準球和這個小球在天平上比較一次就可以了，策略樹如下（我們用s表示標準球）：

|--右--(1輕)

|--右--(1輕)

|--右--(1輕)

　　首先如果N＜(3^H-1)/2，我們把N個球分成三堆：第一堆和第二堆中分別有{N/3}個球，第三堆中為剩下的球，有N-2{N/3}個。我們把第一和第二堆小球放在天平左右端進行第一次稱量。

　　三種情況：

　　如果天平平衡，那麼壞球在第三堆的N-2{N/3}個裡，問題歸結為N-2{N/3}個小球，稱H-1次，而且此時我們可以隨便從第一或第二堆里拿出一個球來作標準球。但是

　　N-2{N/3} ≤ 3{N/3}-2{N/3} = {N/3}

　　但由N＜(3^H-1)/2有

　　N ≤ (3^H-1)/2-1 = (3^H-3)/2

　　所以

　　N/3 ≤ (3^H-1-1)/2

　　右邊一定是一個整數，所以我們最終得到

　　N-2{N/3} ≤ {N/3} ≤ (3^H-1-1)/2。

　　根據歸納假設，在有標準球的情況下，N-2{N/3}個球的問題可被H-1次的稱量解決。

　　如果左邊重，則要麼是壞球比較輕，而且壞球在右面{N/3}個球里；要麼是壞球比較重，而且壞球在左面{N/3}個球里。這時根據結論1，我們還要{log₃(2{N/3}))}次來找到壞球並知其輕重。和上面的計算完全一樣，

　　N/3 ≤ (3^H-1-1)/2

　　於是

　　2{N/3} ≤ 3^H-1-1

　　{log₃(2{N/3}))} ≤ H-1

　　所以仍舊可以用剩下的H-1次稱量解決問題。

　　如果右邊重，完全類似於左邊重的情況。

　　現在考慮N=(3^H-1)/2的情況，這時允許用一個標準球。我們可以把球分成三堆。第一堆為(3^H-1+1)/2個，第二堆為(3^H-1-1)/2個再加上標準球，所以第二堆一共也是(3^H-1+1)/2個球，第三堆是剩下的

　　(3^H-1)/2-(3^H-1+1)/2-(3^H-1-1)/2 = (3^H-1-1)/2

個球。我們把第一和第二堆小球放在天平左右端進行第一次稱量。

　　三種情況：

　　如果天平平衡，那麼壞球在第三堆的(3^H-1-1)/2個裡。根據歸納假設，在有標準球的情況下，這可被H-1次稱量解決。

　　如果左邊重，則要麼是壞球比較輕，而且壞球在右面(3^H-1+1)/2個球里；要麼是壞球比較重，而且壞球在左面除了附加的標準球以外的(3^H-1-1)/2個球里。這時根據結論1，我們還要

　　{log₃(3^H-1+1)/2+(3^H-1-1)/2)} = H-1

次來找到壞球並知其輕重。所以這也可以用剩下的H-1次稱量來解決問題。

　　如果右邊重，完全類似於左邊重的情況。

　　這就完全證明了結論2中的2)、4)和5)。剩下的就是3)的前半部分：如果N=(3^H-1)/2，那麼稱H次足以保證找到壞球（但可能不知道輕重）。

　　這很簡單，如果我們拿掉一個球，那麼根據2)，一定能用H次稱量來找到壞球並且知道輕重——唯一的例外是，如果被拿掉的那個恰好就是壞球——那麼這時候所有稱量的結果都是天平保持平衡。如果發生了這樣的事，所有稱量的結果都是天平保持平衡，我們就可以斷定壞球就是那個被拿掉的球，當然這時這個球從來沒有上過天平，我們絕無可能知道它是比標準球重，還是比標準球輕。

五、四十個球的例子

　　如果是右邊重，那麼和上面的情況對稱，只要把策略樹中的“左”和“右”互換，“輕”和“重”互換即可。

　　把左中右三個分支拼起來我們就得到13個球有一標準球稱3次的策略樹：

|--左--( 1重)