将十二个球编号为1-12。

第一次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。

　　1.如果右重则坏球在1-8号。

　　　　第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放

　　　　在右边。就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。

　　　　　　1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。如果是1号，

　　　　　　　则它比标准球轻；如果是5号，则它比标准球重。

　　　　　　　　第三次将1号放在左边，2号放在右边。

　　　　　　　　　　1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；

　　　　　　　　　　2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；

　　　　　　　　　　3.这次不可能左重。

　　　　　　2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且比标准球轻。

　　　　　　　　第三次将2号放在左边，3号放在右边。

　　　　　　　　　　1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻；

　　　　　　　　　　2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻；

　　　　　　　　　　3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻。

　　　　　　3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号，且比标准球重。

　　　　　　　　第三次将6号放在左边，7号放在右边。

　　　　　　　　　　1.如果右重则7号是坏球且比标准球重；

　　　　　　　　　　2.如果平衡则8号是坏球且比标准球重；

　　　　　　　　　　3.如果左重则6号是坏球且比标准球重。

　　2.如果天平平衡，则坏球在9-12号。

　　　　第二次将1-3号放在左边，9-11号放在右边。

　　　　　　1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重。

　　　　　　　　第三次将9号放在左边，10号放在右边。

　　　　　　　　　　1.如果右重则10号是坏球且比标准球重；

　　　　　　　　　　2.如果平衡则11号是坏球且比标准球重；

　　　　　　　　　　3.如果左重则9号是坏球且比标准球重。

　　　　　　2.如果平衡则坏球为12号。

　　　　　　　　第三次将1号放在左边，12号放在右边。

　　　　　　　　　　1.如果右重则12号是坏球且比标准球重；

　　　　　　　　　　2.这次不可能平衡；

　　　　　　　　　　3.如果左重则12号是坏球且比标准球轻。

　　　　　　3.如果左重则坏球在9-11号且坏球较轻。

　　　　　　　　第三次将9号放在左边，10号放在右边。

　　　　　　　　　　1.如果右重则9号是坏球且比标准球轻；

　　　　　　　　　　2.如果平衡则11号是坏球且比标准球轻；

　　　　　　　　　　3.如果左重则10号是坏球且比标准球轻。

　　3.如果左重则坏球在1-8号。

　　　　第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放

　　　　在右边。就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。

　　　　　　1.如果右重则坏球在拿到左边的6-8号，且比标准球轻。

　　　　　　　　第三次将6号放在左边，7号放在右边。

　　　　　　　　　　1.如果右重则6号是坏球且比标准球轻；

　　　　　　　　　　2.如果平衡则8号是坏球且比标准球轻；

　　　　　　　　　　3.如果左重则7号是坏球且比标准球轻。

　　　　　　2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且比标准球重。

　　　　　　　　第三次将2号放在左边，3号放在右边。

　　　　　　　　　　1.如果右重则3号是坏球且比标准球重；

　　　　　　　　　　2.如果平衡则4号是坏球且比标准球重；

　　　　　　　　　　3.如果左重则2号是坏球且比标准球重。

　　　　　　3.如果左重则坏球在没有被触动的1,5号。如果是1号，

　　　　　　　则它比标准球重；如果是5号，则它比标准球轻。

　　　　　　　　第三次将1号放在左边，2号放在右边。

　　　　　　　　　　1.这次不可能右重。

　　　　　　　　　　2.如果平衡则5号是坏球且比标准球轻；

　　　　　　　　　　3.如果左重则1号是坏球且比标准球重；

　　我们先不忙着马上着手解决上述问题。先得给出几个定义，尤其是，要给出比较简单的符号和记法。大家看到上面给出的解法写起来实在麻烦——想象一下如果我们要用这种方法来描述称40个或1000个球的问题！

　　仍旧考虑十二个球的情况和上面举的解法。在还没有开始称第一次时，我们对这十二个球所知的信息就是其中有一或较轻，或较重的坏球，所以以下24种情况都是可能的：

　　1. 1号是坏球，且较重；

　　2. 2号是坏球，且较重；

　　……

　　12. 12号是坏球，且较重；

　　13. 1号是坏球，且较轻；

　　14. 2号是坏球，且较轻；

　　……

　　24. 12号是坏球，且较轻。

　　没有其他的可能性，比如说“1、2号都是坏球，且都较重”之类。当我们按上面解法“先将1-4号放在左边，5-8号放在右边”称过第一次以后，假设结果是右重，稍微分析一下，就会知道上面的24种情况中，现在只有8种是可能的，就是

　　1. 1号是坏球，且较轻；

　　2. 2号是坏球，且较轻；

　　3. 3号是坏球，且较轻；

　　4. 4号是坏球，且较轻；

　　5. 5号是坏球，且较重；

　　6. 6号是坏球，且较重；

　　7. 7号是坏球，且较重；

　　8. 8号是坏球，且较重。

　　我们把诸如“1号是坏球，且较重，其他球都正常”和“2号是坏球，且较轻，其他球都正常”这样的情况，称为一种“布局”，并记为：

　　(1重)　和　(2轻)

　　我们把“先将1-4号放在左边，5-8号放在右边”这样的步骤，称为一次“称量”。我们把上面这次称量记为

　　(1,2,3,4; 5,6,7,8)

　　或

　　(1-4; 5-8)

　　也就是在括号内写出参加称量的球的号码，并且以分号分开放在左边和放在右边的球号。在最一开始，我们有24种可能的布局，而在经过一次称量(1-4；5-8)后，如果结果是右重，我们就剩下上述8种可能的布局。我们的目的，就是要使用尽量少的称量，而获得唯一一种可能的布局——这样我们就知道哪个球是坏球，它是比较重还是比较轻。

　　这里我们注意到没有必要去考虑两边球数不相等的称量。因为坏球和标准球重量之间的差别很小，小于标准球的重量，所以当天平两边球数不一样时，天平一定向球比较多的那边倾斜。所以在进行这样一次称量之前，它的的结果就可以被预料到，它不能给我们带来任何新的信息。事实上在看完本文以后大家就很容易明白，即使坏球和标准球重量之间的差别很大，也不会影响本文的结论。因为考虑这种情况会使问题变麻烦，而并不能带来有趣的结果，我们就省略对此的考虑。

　　现在我们看到，上面关于十二个球问题的解法，其实就是由一系列称量组成的——可不是随随便便的组合，而是以这样的形式构成的：

　　　　　　　　……

　　省略号部分则又是差不多的“如果右重，则……”等等。所以这就提示我们用树的形式来表示上面的解法：树的根是第一次称量，它有三个分支（即三棵子树，于是根有三个子节点），分别对应着在这个称量下的右重、平衡、左重三种情况。在根的三个子节点上，又分别有相应的称量，和它们的三个分支……如果具体地写出来，就是

|--右--( 1轻)

　　这里“右”、“平”和“左”分别表示称量的结果为“右重”、“平衡”和“左重”所对应的分支。在树的叶子（就是最右边没有子节点的那些节点）部分，我们标出了“能够到达”这些节点的布局，也就是说在进行每一节点上的称量时，这个布局所给的结果和通往相对应的叶子的道路上所标出的“右”、“平”和“左”相符合。从这个图我们也可以清楚地看到，根下的左分支和右分支是对称的：只需要把所有的“右”改成“左”，“左”改成“右”，“轻”改成“重”，“重”改成“轻”；节点(1-3; 9-11)下的左分支和右分支也有这个

特点。

　　（如果有朋友对树理论感兴趣，可以参考随便哪一本图论或者离散数学的书。在这里我们只用到树理论里最基本的知识，所用的名词和结论都是相当直观的。所以如果你不知道树理论，用不着特别去学也可以看懂这里的论证。）

　　所以给定一棵三分树（就是说除了叶子以外其他的节点都有三个子节点的树），在每个不是叶子的节点上给定一个称量，并且规定这个节点下的三个分支（子树）分别对应右重、平衡、左重的情况，我们就得到了一种称球的方法。我们把这样一棵三分树称为一个“策略”或一棵“策略树”。你可以给出一个平凡的策略，比如说无论发生了什么事总是把1号和2号球放在左右两侧来称（在叶子上我们没有写出相应的布局，用@来代替）：

|--右--@A

　　一棵树的高度是叶子到根之间的结点数的最大值加一。比如说上面这个图中，叶子A和根间有1个节点，而叶子B和根间有2个节点，没有和根之间的节点数超过2的叶子。所以它的高度是2+1=3。前面十二球解法策略树的高度也是3。一棵没有任何分支，只有根节点的树，我们定义它的高度是0。

　　显然，策略树的高度就是实行这个策略所需要的称量的次数。我们的目的，就是找到一棵“好”的策略树，使得它的高度最小。

　　什么是“好”策略？我们回过头来再看十二球解法策略树。我们说过，叶子上的那些布局都是从根开始通向叶子的。比如说布局(7重)，它之所以在那片叶子上是因为按照这个策略，三次称量的结果是“右左右”；又比如说布局(11重)，它之所以在那片叶子上是因为按照这个策略，三次称量的结果是“平右平”。如果两个布局通向同一片叶子，那么就是说按照这个策略，三次称量的结果是完全一样的，于是我们就不能通过这个策略来把这两种布局区分开来。比如说在十三个球的情况下，(13轻)和(13重)都通向和“平平平”相对应的叶子，这两个布局中13号球或者轻或者重，于是我们知道13号球一定是坏球，但是通过这个策略我们不可能知道它到底是轻还是重。

　　先引入一个记号：对于任意实数a，我们用{a}表示大于等于a的最小整数，比如说{2.5}=3，{4}=4；我们用[a]表示小于等于a的最大整数，比如说[2.5]=2，[4]=4。

　　我们首先考虑这样一种布局的集合。假设m，n为两个非负实数，不同时为0。在编号从1到m+n的m+n个球中，我们知道1到m号球要么是标准球，要么比标准球重，而m+1到m+n号球要么是标准球，要么比标准球轻；我们还知道其中有一个是坏球（但不知轻重）。换句话说，我们知道真实的情况是以下m+n种布局之一：

　　1. 1号是坏球，且较重；

　　2. 2号是坏球，且较重；

　　……

　　m. m号是坏球，且较重；

　　m+1. m+1号是坏球，且较轻；

　　m+2. m+2号是坏球，且较轻；

　　……

　　m+n. m+n号是坏球，且较轻。

　　有一种特殊的情况是m=0或n=0，也就是说坏球的是轻还是重已经知，常常被用来单独作为智力题。

　　需要对2)作点说明。如果m=n=1而没有标准球的话，那么是永远也称不出坏球来的。把两个球一边一个放在天平上，必然是1号重2号轻。

　　但是由于没有标准球，我们无法知道是坏球比较重所以1号是坏的，还是坏球比较轻所以2号是坏的。如果有标准球，只要把1号球和标准球比较一下。如果天平不平衡，那么1号球是坏球，且比较重；如果天平平衡，那么2号球是坏球，且比较轻。策略树如下：（用s表示标准球）

|--右--( )

　　3^H ≥ m+n

　　也就是

　　H ≥ log₃(m+n)

　　考虑到H是整数，我们就证明了

　　H ≥ {log₃(m+n)}

　　现在我们要具体找到一棵高度为{log₃(m+n)}的策略树，使得m+n种布局通向它的不同叶子。我们对k=m+n使用数学归纳法。

　　首先k=1。那么称都不要称，因为必有一坏球，那么坏球就是唯一的1号球。如果是m=1，n=0，那么1号球比较重；如果是m=0，n=1，那么1号球比较轻。需要的称量次数为{log₃(1)}=0。

　　对于k=2。m=1，n=1的情况已经讨论过了。考虑m=2，n=0。这时我们知道坏球比较重。只要把1号球和2号球放在天平两边一称，哪个比较重哪个就是坏球。策略树如下：

|--右--(2重)

　　假设对于m+n＜k的情况我们都可以用{log₃(k)}次称出坏球。考虑m+n=k的情况。我们把1到m号球称为第一组球，m+1到n号球称为第二组球。

　　设H={log₃(m+n)}＝{log₃(k)}。那么我们有

　　3^H-1 ＜ k ≤ 3^H

　　3^H-2 ＜ k/3 ≤ 3^H-1

　　3^H-2 ＜ {k/3} ≤ 3^H-1

　　于是

　　{log₃{k/3}}=H-1。

　　现在我们把这k个球分为三堆，第一堆和第二堆分别有{k/3}个球，并且这两堆中属于第一组的球的数目一样（于是属于第二组的球的数目也一样），第三堆中有k-2{k/3}个球（也就是其余的球）。举一个例子，如果m=7，n=3，那么这三堆可以分成这样：（当然不是唯一的分法）

　　第一堆：1，2，3，7　（属于第一组的3个，第二组的1个）

　　第二堆：4，5，6，8　（属于第一组的3个，第二组的1个）

　　第三堆：9，10

　　这样的分堆总是可能的吗？如果m或n是偶数，那就很简单。比如说假设m是偶数，有两种可能性。如果m/2≥{k/3}，那么就从第一组球中各取{k/3}个球作为第一和第二堆（这时在第一第二堆中只有第一组的球）；如果m/2＜{k/3}，那么就把第一组球分为相同的m/2个球的两堆，再分别用{k/3}-m/2个第二组球去把它们补充成{k/3}个球的两堆（这时在第三堆中就只有第二组的球了）。很显然这样的分堆符合上面的要求。

　　如果m和n都是奇数，事情就有点复杂。首先如果(m-1)/2≥{k/3}的话，那么按上面的方法也很容易把球按要求分为三堆。但是如果(m-1)/2＜{k/3}，我们就必须先从第一组中各拿出(m-1)/2个球放入第一和第二堆，再从第二组中各拿出{k/3}-(m-1)/2个球将它们补充到各有{k/3}个球为止。这就需要从第二组中总共拿得出2({k/3}-(m-1)/2)个球来。所以必须有

　　2({k/3}-(m-1)/2) ≤ n

　　即

　　2{k/3} ≤ (m-1)+n

　　2{k/3} ≤ k-1

　　这个不等式在k=3或k＞4时总是成立的，但是对k=4就不成立。所以我们要对k=4且m，n都是奇数的情况作特殊处理。我们只需考虑m=3，n=1这种情况。把1号球和2号球放在天平两端，如果不平衡，那么较重的那个是坏球；如果平衡，那么把1号球和3号球放在天平两端，平衡则4号球为坏球且较轻，不平衡则3号球为坏球且较重。策略树如下：

|--右--(2重)

　　于是现在我们就可以毫无障碍地假设，我们已经将m+n=k个球分为这样的三堆：第一堆和第二堆分别有{k/3}个球，并且这两堆中属于第一组的球的数目一样（于是属于第二组的球的数目也一样），第三堆中有k-2{k/3}个球（也就是其余的球）。

　　我们把第一堆球和第二堆球分别放在天平的左右两端。如果平衡，那就说明坏球在第三堆里，这样我们就把问题归结为一个k-2{k/3}个球的问题；如果右边比较重，那么我们得到结论：要么是坏球比较轻，并且它在第一堆中的第二组球，也就是可能较轻的那些球中，要么是坏球比较重，并且它在第二堆中的第一组球，也就是可能较重的那些球中，下面它就归结为一个{k/3}个球的问题了；如果是左边比较重，那么我们也完全类似地将问题归结为一个{k/3}个球的问题。开始的策略树如下：（小球的编号作了适当变化：假设1，2，……，s为第一堆中的第一组球，1\'\'，2\'\'……，s\'\'为第二堆中的第一组球，(s+1)，……为第一堆中的第二组球，(s+1)\'\'为为第二堆中的第二组球）

归结为坏球在

　　在这节的最后我们给出一个具体的例子：如果有27个球，其中有一个坏球，而且已知第一堆1-14号球如果其中一个是坏球，那么它比标准球重，第二堆15-27号球如果其中一个是坏球，那么它比标准球轻。

　　根据结果1，我们知道只要[log₃(27)]=3次就可以找出坏球。

　　按照上面的称法，首先将27个球分为三堆，第一第二堆的个数为{27/3}=9个球，而且其中分别属于第一和第二组的球的个数相同。于是我们可以取：

　　第一堆： 1-7，15-16

　　第二堆：8-14，17-18

　　第三堆：19-27

　　现在把第一和第二堆放在天平左右两端，如果平衡，我们就归结为在19-27号9个球中其中有个较轻坏球的问题；如果右边重，我们就归结为坏球在8-14，15-16中的问题；如果左边重，我们就归结为坏球在1-7，17-18中的问题。这三种情况都是9个球的问题。

|--右--归结为坏球在8-14，15-16中的问题

　　第一堆：1-3

　　第二堆：4-6

　　第三堆：7，17-18

　　照上面类似地我们有策略树

|--右--归结为坏球在4-6中的问题

|--右--( 5重)

|--右--(12重)

|--右--(19轻)

|--右--(12重)

　　现在我们就可以来回答第一节中的问题了。

　　首先假设结论成立，我们来看看几个具体例子。如果是12个球，那么

　　H = {log₃(2*12)} = 3，

　　而且

　　12 ＜ (3³-1)/2 = 13。

　　所以根据2)我们知道称3次可以找出坏球并知其轻重。如果是13个球，那么

　　H={log₃(2*13)}=3，

　　而且

　　(3³-1)/2=13。

　　根据3)我们知道称3次可以找出坏球但不一定能知其轻重。但是如果另有一个标准球的话，称3次就可找出坏球且知其轻重。

　　一般地，能由H次称量找出坏球并知道其轻重的最大小球数量为

　　(3^H-1)/2-1 = (3^H-3)/2；

　　能由H次称量找出坏球但不需要知道其轻重的最大小球数量为

　　(3^H-1)/2；

　　有一标准球，能由H次称量找出坏球并知道其轻重的最大小球数量也为

　　(3^H-1)/2。

　　为了比如说为了找出坏球并知道其轻重，则3次最多可以称12个，4次为39个，5次为120个，6次为363个等等；为了找出坏球却不需知道其轻重，则3次最多可以称13个，4次为40个，5次121个，6次364个等等——但是如果另有一个标准球，那么就可以用相同的次数来知道坏球的轻重。

　　首先我们证明至少需要称{log₃(2N)}次。这和上节类似问题的证明几乎相同。我们看到，N个小球可能的布局是2N种（1重，2重，……，N重，1轻，2轻，……，N轻）。所以相应策略树至少需要有2N片叶子。

　　但是一棵高度为H的三分树最多只能有3^H片叶子。于是这棵策略树必须满足条件

　　H ≥ {log₃(2N)}。

　　现在我们来证明3)的后半部分：如果N=(3^H-1)/2，那么称H次还是不足以保证知道坏球比标准球轻还是重。

　　我们知道第一步称量一定是各放n（这里2n≤N）个球在天平两端，然后看天平的状况再决定后面的步骤。此时有三种情况

　　1)如果天平平衡，那么坏球就在剩下的N-2n个球里。这时候根据1)，我们还需要{log₃(2(N-2n))}次来找到坏球并知其轻重；

　　2)如果是左边重，则要么是坏球比较轻，而且坏球在右面n个球里，要么是坏球比较重，而且坏球在左面n个球里。这时根据结论1，我们还要{log₃(2n))}次来找到坏球并知其轻重；

　　3)如果是右边重，那么有和上面类似的结论，我们还要{log₃(2n))}次来找到坏球并知其轻重。

　　如果我们在H次里可以称出坏球并知其轻重，那么我们必然要有

　　{log₃(2(N-2n))} ≤ H-1　和　{log₃(2n))} ≤ H-1

　　但前一个式子表明

　　2(N-2n) ≤ 3^H-1

　　也就是

　　2((3^H-1)/2-2n) ≤ 3^H-1

　　所以

　　3^H-1 ≤ 2n+1/2

　　考虑到3^H-1为整数，于是

　　3^H-1 ≤ 2n

　　但3^H-1又是奇数，而2n是偶数，所以

　　3^H-1 ＜ 2n。 (*)

　　而后一个式子表明

　　2n ≤ 3^H-1

　　同样考虑到奇偶性

　　2n ＜ 3^H-1。 (**)

　　我们看到(*)和(**)式是矛盾的。

　　所以对N=(3^H-1)/2的情况，只用H步是不能够称出坏球又知道它的轻重的。它的原因在于，虽然理论上N=(3^H-1)/2，那么可能的布局是(3^H-1)种，而一棵H层的策略树有3^H片叶子，看起来叶子足够多了。

　　但是由于第一步的称量无论如何也不可能把这3^H-1种布局平均地分配在左中右三棵子策略树上，总有一个分支上承受的布局会超过3^H-1种，于是在此分支上就无法用剩下的H-1次称量来称出坏球又知道它的轻重。

　　接下来我们同时证明结论2中的2)、4)和5)。也就是说，我们要具体找到一种策略，如果N＜(3^H-1)/2，那么不用标准球在H次内找到坏球又知道它的轻重的；如果N=(3^H-1)/2或者N=2，则允许使用一个标准球来达到同样目的。仍旧使用数学归纳法。

　　首先对N=1，{log₃(2N)}=1且N=(3¹-1)/2，允许使用标准球。因为只有一个球，而题目的条件是有一个坏球，所以这唯一的一个就是坏球，现在只需要知道它比标准球重还是轻。这只要把标准球和这个小球在天平上比较一次就可以了，策略树如下（我们用s表示标准球）：

|--右--(1轻)

|--右--(1轻)

|--右--(1轻)

　　首先如果N＜(3^H-1)/2，我们把N个球分成三堆：第一堆和第二堆中分别有{N/3}个球，第三堆中为剩下的球，有N-2{N/3}个。我们把第一和第二堆小球放在天平左右端进行第一次称量。

　　三种情况：

　　如果天平平衡，那么坏球在第三堆的N-2{N/3}个里，问题归结为N-2{N/3}个小球，称H-1次，而且此时我们可以随便从第一或第二堆里拿出一个球来作标准球。但是

　　N-2{N/3} ≤ 3{N/3}-2{N/3} = {N/3}

　　但由N＜(3^H-1)/2有

　　N ≤ (3^H-1)/2-1 = (3^H-3)/2

　　所以

　　N/3 ≤ (3^H-1-1)/2

　　右边一定是一个整数，所以我们最终得到

　　N-2{N/3} ≤ {N/3} ≤ (3^H-1-1)/2。

　　根据归纳假设，在有标准球的情况下，N-2{N/3}个球的问题可被H-1次的称量解决。

　　如果左边重，则要么是坏球比较轻，而且坏球在右面{N/3}个球里；要么是坏球比较重，而且坏球在左面{N/3}个球里。这时根据结论1，我们还要{log₃(2{N/3}))}次来找到坏球并知其轻重。和上面的计算完全一样，

　　N/3 ≤ (3^H-1-1)/2

　　于是

　　2{N/3} ≤ 3^H-1-1

　　{log₃(2{N/3}))} ≤ H-1

　　所以仍旧可以用剩下的H-1次称量解决问题。

　　如果右边重，完全类似于左边重的情况。

　　现在考虑N=(3^H-1)/2的情况，这时允许用一个标准球。我们可以把球分成三堆。第一堆为(3^H-1+1)/2个，第二堆为(3^H-1-1)/2个再加上标准球，所以第二堆一共也是(3^H-1+1)/2个球，第三堆是剩下的

　　(3^H-1)/2-(3^H-1+1)/2-(3^H-1-1)/2 = (3^H-1-1)/2

个球。我们把第一和第二堆小球放在天平左右端进行第一次称量。

　　三种情况：

　　如果天平平衡，那么坏球在第三堆的(3^H-1-1)/2个里。根据归纳假设，在有标准球的情况下，这可被H-1次称量解决。

　　如果左边重，则要么是坏球比较轻，而且坏球在右面(3^H-1+1)/2个球里；要么是坏球比较重，而且坏球在左面除了附加的标准球以外的(3^H-1-1)/2个球里。这时根据结论1，我们还要

　　{log₃(3^H-1+1)/2+(3^H-1-1)/2)} = H-1

次来找到坏球并知其轻重。所以这也可以用剩下的H-1次称量来解决问题。

　　如果右边重，完全类似于左边重的情况。

　　这就完全证明了结论2中的2)、4)和5)。剩下的就是3)的前半部分：如果N=(3^H-1)/2，那么称H次足以保证找到坏球（但可能不知道轻重）。

　　这很简单，如果我们拿掉一个球，那么根据2)，一定能用H次称量来找到坏球并且知道轻重——唯一的例外是，如果被拿掉的那个恰好就是坏球——那么这时候所有称量的结果都是天平保持平衡。如果发生了这样的事，所有称量的结果都是天平保持平衡，我们就可以断定坏球就是那个被拿掉的球，当然这时这个球从来没有上过天平，我们绝无可能知道它是比标准球重，还是比标准球轻。

五、四十个球的例子

　　如果是右边重，那么和上面的情况对称，只要把策略树中的“左”和“右”互换，“轻”和“重”互换即可。

　　把左中右三个分支拼起来我们就得到13个球有一标准球称3次的策略树：

|--左--( 1重)