數學 ? 三分鐘 !(21)

     上一則講了概率論的誕生，介紹了棣莫弗。據說棣莫弗更為偉大的成就是，作為家庭教師，他培養了貝葉斯（Thomas Bayes,1702-1761)，這種說法沒有得到史料證實，只是人們的猜測。

    貝葉斯是一位英國牧師，沒上過學，也很少發表文章，人們不知道他對概率論的興趣從何而來。他生前只發表過兩篇文章，一篇是＂神的仁愛，試證神和政府的最終目的是讓他的子民幸福＂，另一篇是＂流數朮導論，數學家反駁來自分析學家的批判＂，以捍衛牛頓牛頓的微極分思想，兩篇文章都是匿名發表的。這兩篇文章雖然有一定影響，但真正使貝葉斯名垂青史的，則是另外一篇文章，這是在貝葉斯去逝之後，他的家人請另外一位牧師整理貝葉斯的數學文章發現的一篇關於概率論的文章，“論機會遊戲中的一個問題”，其中介紹了著名的貝葉斯定理，就是表示兩個條件概率之間的關係。如果用P（A）表示事件A發生的概率，用P（A丨B）表示在事件B發生的前題下事件A發生的條件概率。簡化的貝葉斯定理的數學表達式為P（A丨B）＝P（B丨A）* P(A)/P(B)。

    拋開太專業的數學公式與符號，可以這樣來理解貝葉斯定理的數學思想：生活中有一種現象，同時有許多假設都聲稱可以解釋這一現象，但其中只有一個假設是正確的，我們不知道如何選擇。我們所能做的，就是根據額外的條件或者數據，來計算某一假設為正確假設的概率。舉個例子來說明。在一個黑包里有三個球，現有三種假設: 1, 三個白球；2, 兩個白球；3, 一個白球。三種假設哪一個更合理呢？如果䃼充下列信息，第一次抽出了一個白球，放回去再抽。第二次又抽出了一個白球，再放回去。第三次又抽出一個白球。發生了連續三次抽出白球的亊件之後，再來考慮起初的三種假設，那一種更正確呢？

    根據貝葉斯定理，可以得到每種假設的正確性，在這裡正確性成了一種隨機量，而且其概率可以計算。這種概率推理，正是貝葉斯的偉大見解，它巧妙地將概率問題轉化成了另一類問題。以一個更常見而實用的例子來說明。用E表示某種疾病，用A表示患上疾病E之後的症狀，病人患上E表現出症狀A的條件概率為P（A丨E），這事很簡單明確，但沒多少用。醫生診斷所要知道的是，在有症狀A的條件下，患者生的是什麼病，即A症狀條件下患有E疾病的概率P（E丨A）是多大。這正是貝葉斯定理將問題轉化的精華所在。

   貝葉斯的思想，起初並沒有引起人們太大的關注，百多年之後，才引起廣大興趣並廣為流傳。如今, 貝葉斯定理廣泛地應用於博弈論, 風險投資, 圖象識別, 語音拼寫檢查, 網絡搜尋等各種領域。由於貝葉斯定理所應用的數學知識簡單明了，不深也不廣，起初的應用，逃過了所有挑踢的眼光。隨着概率率論向縱深發展，有些數學家對貝葉斯定理產生了懷疑。最關鍵的有兩個原因，第一就是貝葉斯定理需要額外的補加條件，如前述取球問題中，最初的三個假設認定是等可能的。也就是說，額外的附加條件，涉及到研究者的主觀判斷，不同的人會有不同結果。另一個原因，人們對概率論的不同理解，影響到概率論何時應用如何應用才正確可靠，對同一決策的論證，可能一波人論證的結果是偉大正確，另一波人給出的結論是愚昧無知。

    分歧使得數學家們分為兩派，一派為貝葉斯學派，認為貝葉斯思想是正確合理的。 另一派特反對態度，稱為頻率派，他們更贊成由頻率決定的概率。兩派的爭論由來已久，愈演愈烈，沒有停息的跡象。概率論的軟肋與硬傷，使得這種爭論將永久地持續下去，除非誕生革命性的新學科（待續，下節談概率論的局限）。