数学? 三分钟!(13)

上一则讲到欧拉创立了立体几何学，将数学推向了高峰。接着谈。具体来说，欧拉的立体几何，所强调的是整体，即从宏观的角度去研究曲面。如果从宏观转入微观，研究曲面在一点微小区域内的特性，结果会如何呢？听起来，对微小局部的研究，纠缠细枝未节，远不如宏观研究那么波澜壮阔生动有趣。可实际情况正好相反，立体几何学被归入了应用数学与工程学的范畴，几何学从更抽象的角度，选择了微观分析。

第一个对曲面进行局部分析的是高斯，其思想可能源于他地图绘制，用平面表示球面的关系所致。高斯关于曲面局部分析的工作，奠定了微分几何学的基础和方向，被誉为微分几何之父。要了解髙斯的工作，需要先了解一下曲率的概念。通俗地讲，对于一条曲线来说，某一点的曲率就是曲线在该点的弯曲程度，可以用一个数量来表示。比如圆，圆越大，圆弧弯曲的程度越小，圆越小弯曲的程度越大，其曲率与半径成反比，即1/r。

对于一个空间曲面，情况起了质的变化，曲面上任意一点的曲率是什么呢？以马鞍形曲面为例，取中心一点，顺着马头至马尾的方向，曲面是向上弯曲的；如果在马腰处左右观看，曲面则是向下弯曲的；从不同的方向考察，弯曲的方向和程度都是不一样的，看上去似乎很复杂。如果遵循这种思路，问题难于上青天，看看数学家是怎样思考的。

高斯对曲面上一点的曲率作了十分巧妙的处理。对于平滑曲面上的一点P，能反映这一点小区域内特性的平面，就是过这一点的切平面。想象过这一点作一条与切平面垂直的直线，再通过过直线作一个平面，平面与曲面相交得到一条过P点的空间曲线；如果将平面绕直线旋转，会得到另一个平面，也会得到另一条过P点与曲面相交的空间曲线；继续旋转，可以得到一束过P点的空间曲线。这一束曲线中，有无数条曲线，但只有两条最重要的曲线，一条是拥有最大曲率的曲线，另一条是拥有最小曲率的曲线，高斯发现，这两条曲线相互垂直，他计算了最大曲率和最小曲率，并据此定议了曲面在一点处的总曲率。这就是著名的高斯曲率。

讨论这一问题有什么意义呢？我们不仿停下来回顾下。在此之前，所讨论的几何学都是玩具规模的，我们可以随手画一个点一条线，或者画一个坐标系，我们将自己置身于研究的几何形状之外，高高在上冷眼旁观，来研究它的特性，或倾斜或平坦或笔直或弯曲。如果将我们考察的对象换作一个无穷大的曲面，我们位于其中，小得微乎其微，既不能逃离这个曲面，也看不到曲面之外的花花世界。这种情况下，只能在有限的范围内做几何研究，我们能了解这个曲面什么特性呢？能否辨别它是平坦还是弯曲呢？如果它是弯曲的，其弯曲程度是多少呢？我们能计算出它的曲率吗？如何在曲面上建立坐标系？如果能建立，那么曲面上两个不同的坐标系如何联系呢？正所谓，不识庐山真面目，只缘身在此山中。

（这是数学问题，也好像是思维问题，当我们孜孜不倦锲而不舍的地去散布或接受某种理念某种思潮某种感悟某种真相的时候，我们的价值观道德观以及我们的视野我们的思维，有多大程度的扭曲呢？……）扯远了，回来谈单纯的数学问题。高斯的工作，引出了一系列的新思考与新问题。所幸，江山辈有人才出，黎曼等数学家对这些问题给予了解答。（下集继续折腾）