數學? 三分鐘!(13)

上一則講到歐拉創立了立體幾何學，將數學推向了高峰。接着談。具體來說，歐拉的立體幾何，所強調的是整體，即從宏觀的角度去研究曲面。如果從宏觀轉入微觀，研究曲面在一點微小區域內的特性，結果會如何呢？聽起來，對微小局部的研究，糾纏細枝未節，遠不如宏觀研究那麼波瀾壯闊生動有趣。可實際情況正好相反，立體幾何學被歸入了應用數學與工程學的範疇，幾何學從更抽象的角度，選擇了微觀分析。

第一個對曲面進行局部分析的是高斯，其思想可能源於他地圖繪製，用平面表示球面的關系所致。高斯關於曲面局部分析的工作，奠定了微分幾何學的基礎和方向，被譽為微分幾何之父。要了解髙斯的工作，需要先了解一下曲率的概念。通俗地講，對於一條曲線來說，某一點的曲率就是曲線在該點的彎曲程度，可以用一個數量來表示。比如圓，圓越大，圓弧彎曲的程度越小，圓越小彎曲的程度越大，其曲率與半徑成反比，即1/r。

對於一個空間曲面，情況起了質的變化，曲面上任意一點的曲率是什麼呢？以馬鞍形曲面為例，取中心一點，順着馬頭至馬尾的方向，曲面是向上彎曲的；如果在馬腰處左右觀看，曲面則是向下彎曲的；從不同的方向考察，彎曲的方向和程度都是不一樣的，看上去似乎很複雜。如果遵循這種思路，問題難於上青天，看看數學家是怎樣思考的。

高斯對曲面上一點的曲率作了十分巧妙的處理。對於平滑曲面上的一點P，能反映這一點小區域內特性的平面，就是過這一點的切平面。想象過這一點作一條與切平面垂直的直線，再通過過直線作一個平面，平面與曲面相交得到一條過P點的空間曲線；如果將平面繞直線旋轉，會得到另一個平面，也會得到另一條過P點與曲面相交的空間曲線；繼續旋轉，可以得到一束過P點的空間曲線。這一束曲線中，有無數條曲線，但只有兩條最重要的曲線，一條是擁有最大曲率的曲線，另一條是擁有最小曲率的曲線，高斯發現，這兩條曲線相互垂直，他計算了最大曲率和最小曲率，並據此定議了曲面在一點處的總曲率。這就是著名的高斯曲率。

討論這一問題有什麼意義呢？我們不仿停下來回顧下。在此之前，所討論的幾何學都是玩具規模的，我們可以隨手畫一個點一條線，或者畫一個坐標系，我們將自己置身於研究的幾何形狀之外，高高在上冷眼旁觀，來研究它的特性，或傾斜或平坦或筆直或彎曲。如果將我們考察的對象換作一個無窮大的曲面，我們位於其中，小得微乎其微，既不能逃離這個曲面，也看不到曲面之外的花花世界。這種情況下，只能在有限的範圍內做幾何研究，我們能了解這個曲面什麼特性呢？能否辨別它是平坦還是彎曲呢？如果它是彎曲的，其彎曲程度是多少呢？我們能計算出它的曲率嗎？如何在曲面上建立坐標系？如果能建立，那麼曲面上兩個不同的坐標系如何聯繫呢？正所謂，不識廬山真面目，只緣身在此山中。

（這是數學問題，也好像是思維問題，當我們孜孜不倦鍥而不捨的地去散布或接受某種理念某種思潮某種感悟某種真相的時候，我們的價值觀道德觀以及我們的視野我們的思維，有多大程度的扭曲呢？……）扯遠了，回來談單純的數學問題。高斯的工作，引出了一系列的新思考與新問題。所幸，江山輩有人才出，黎曼等數學家對這些問題給予了解答。（下集繼續折騰）