《數學學習12/30》

   數學發展的歷史, 也是人類理性思維發展的歷史。從前面的介紹，我們已經看到了現代數學的曙光, 本節介紹幾位近代的開拓者。第一位是法國數學家笛卡爾(1596~1650)。 笛卡爾有創見的思想之一是簡化地解釋代數項的方式，在笛卡爾之前，包括古希臘和伊斯蘭的數學家，都是將解釋成幾何學上的正方形，解釋成幾何上的立方體，而對於及更高次方，難以賦予類似的幾何意義, 束手無策。笛卡爾拋棄了這種有局限的幾何解釋，就是簡單的一次項二次項高次項, 改變了對這些符號的理解，使之更易於研究。

笛卡爾的另一成就，就是創造性地應用了坐標系，將代數作為幾何的語言，建立起幾何學與代數學之間的橋梁, 從而創立了解析幾何學。在解析幾何誕生之前，追朔至古希臘數千年，數學家們所了解的曲線，也不超過十二種。解析幾何學使得數學家們對曲線的研究隨心所欲。同時，解析幾何學也成為表達微積分思想的一種語言。

笛卡兒出生在一個貴族家庭，大學畢業後有過十年左右旅遊參軍體驗生活的閱歷, 他一直雄心勃勃想創立新學科，發表過許多有關哲學天文學解剖學氣象學光學以及數學方面的著作，雖然他的哲學思想一直受到人們的質疑，他關於科學的許多思想，後來也被證明是錯誤的，但這並不影響他被譽為一位偉大的數學家和思想家。他的思想是數學史上的一個轉折，他新穎而有成效的思想方法，引導和催生了數學界一系列偉大的思想。

另一位對解析幾何學作出巨大貢獻的是法國數學家費馬（1601—1665）。費馬在許多領域都有卓越貢獻，最使他出名的，則是費馬大定理。簡單介紹一下。華人都知道勾股定理，也有許多華人認為這一定理是古代的華人數學家祖沖之發現的。勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理（本糸列之六）。就是三個正整數, 其中兩個數的平方和等於另一個數的平方,即 滿足這一的三個數，稱為畢達哥拉斯三數組。自然數中有無窮多這樣的三數組。費馬在研究畢氏三數組時，作了一點推廣：如果不是平方而是三次方四次方會如何呢？(即 , m>2) 結果他發現，沒有任何正整數能使等式成立，也就是說, 只要指數大於2，畢氏三數組不存在。謎惑人的是,他在書邊註明:他發現了這一事實簡短而美妙的證明 。從而激發了無數數學家探寶般的求證與尋找。這就是數學歷史上最著名的費馬大定理。

這一定理並不複雜。費馬所處的時代，有機遇接觸古希臘的原著，順着前人與歷史的脈絡，也就不會為費馬盟生其大定理感到驚奇，或許有家長會感嘆：原來如比簡單，“我那小子”也有這種才華。(這話聽起來好像有點大言不慚信口開河，違背數學精神。不過，這不違背本系列的精神，就是遠距離欣賞數學美女的輪廓，了解大概的來龍去脈，對數學的學習可能會有所幫助。進一步的深入學習，得向真正的學者請教。跑江湖的扯數學，只能是師傅哄進門，造化在個人。)

另一位必須介紹的是端典數學家歐拉（1703-1783）。雖然笛卡爾建立了幾何與代數之間的關係，但他依然缺少數學工具將這種方法用於曲面研究。歐拉第一個全面而系統化地使用了函數，並開創性地將參數引入函數，從而使他對三維對象的解析描述，比任何人都深入。他推廣了圓錐曲線的思想，完美地呈現出二次曲面，橢圓拋物面雙曲拋物面，橢圓錐面橢球面，單葉雙曲面和雙葉雙曲面, 開創了美侖美兌的立體幾何學。除立體幾何外, 歐拉對數學的貢獻是全方位的。從歐拉的一個方程,可以看到他成就的一斑: 方程中包含了最重要的五個數(0，1，i，，e），進一步理解這幾個數, 會理解數的多彩與變遷, 自然數, 小數,分數, 有理數, 無理數, 實數, 虛數, 代數數,超越數,… 一個方程折射了數學皇宮的半壁河山。

歐拉從古希臘的數學思想中吸取了靈感，用新穎美妙實用的方法, 將源自古希臘數學家們心中的數學之美,完美而真實地展現於世, 也將數學推向了高峰。 令人感慨的是, 歐拉28歲時一隻眼睛失明，後來雙目失明，他的許多重要成果是在他雙目失明之後完成的。就象貝多芬沒有聽力，為世界創造了不朽的音樂; 歐拉在黑暗中,為世界帶來了極致的美麗。可是, 歷史是難以預料的, 一件“針尖兒大”的小亊，竟然讓歐拉的立體幾何學從正統的數學中出局，使幾何學偏轉方向, 進入了新的航程。（下集繼續折騰）