我不了解川普，更沒有特別喜歡川普。當初選川普，只是因為反感拜登。

   我並不覺得川普有多能幹，當總統有多大建樹。只是從一而再再二三，接連不斷的負面報道中看見，川普很艱難，很偉大。/文畢

《數學學習13/30》

上一則講到歐拉創立了立體幾何學，將數學推向了高峰。接着談。具體來說，歐拉的立體幾何，所強調的是整體，即從宏觀的角度去研究曲面。如果從宏觀轉入微觀，研究曲面在一點微小區域內的特性，結果會如何呢？聽起來，對微小局部的研究，糾纏細枝未節，遠不如宏觀研究那麼波瀾壯闊生動有趣。可實際情況正好相反，立體幾何學被歸入了應用數學與工程學的範疇，幾何學從更抽象的角度，選擇了微觀分析。

第一個對曲面進行局部分析的是高斯，其思想可能源於他地圖繪製，用平面表示球面的關系所致。高斯關於曲面局部分析的工作，奠定了微分幾何學的基礎和方向，被譽為微分幾何之父。要了解髙斯的工作，需要先了解一下曲率的概念。通俗地講，對於一條曲線來說，某一點的曲率就是曲線在該點的彎曲程度，可以用一個數量來表示。比如圓，圓越大，圓弧彎曲的程度越小，圓越小彎曲的程度越大，其曲率與半徑成反比，即1/r。

對於一個空間曲面，情況起了質的變化，曲面上任意一點的曲率是什麼呢？以馬鞍形曲面為例，取中心一點，順着馬頭至馬尾的方向，曲面是向上彎曲的；如果在馬腰處左右觀看，曲面則是向下彎曲的；從不同的方向考察，彎曲的方向和程度都是不一樣的，看上去似乎很複雜。如果遵循這種思路，問題難於上青天，看看數學家是怎樣思考的。

高斯對曲面上一點的曲率作了十分巧妙的處理。對於平滑曲面上的一點P，能反映這一點小區域內特性的平面，就是過這一點的切平面。想象過這一點作一條與切平面垂直的直線，再通過過直線作一個平面，平面與曲面相交得到一條過P點的空間曲線；如果將平面繞直線旋轉，會得到另一個平面，也會得到另一條過P點與曲面相交的空間曲線；繼續旋轉，可以得到一束過P點的空間曲線。這一束曲線中，有無數條曲線，但只有兩條最重要的曲線，一條是擁有最大曲率的曲線，另一條是擁有最小曲率的曲線，高斯發現，這兩條曲線相互垂直，他計算了最大曲率和最小曲率，並據此定議了曲面在一點處的總曲率。這就是著名的高斯曲率。

討論這一問題有什麼意義呢？我們不仿停下來回顧下。在此之前，所討論的幾何學都是玩具規模的，我們可以隨手畫一個點一條線，或者畫一個坐標系，我們將自己置身於研究的幾何形狀之外，高高在上冷眼旁觀，來研究它的特性，或傾斜或平坦或筆直或彎曲。如果將我們考察的對象換作一個無窮大的曲面，我們位於其中，小得微乎其微，既不能逃離這個曲面，也看不到曲面之外的花花世界。這種情況下，只能在有限的範圍內做幾何研究，我們能了解這個曲面什麼特性呢？能否辨別它是平坦還是彎曲呢？如果它是彎曲的，其彎曲程度是多少呢？我們能計算出它的曲率嗎？如何在曲面上建立坐標系？如果能建立，那麼曲面上兩個不同的坐標系如何聯繫呢？正所謂，不識廬山真面目，只緣身在此山中。

（這是數學問題，也好像是思維問題，當我們孜孜不倦鍥而不捨的地去散布或接受某種理念，某種思潮某種感悟，或某種真相的時候，我們的價值觀道德觀以及我們的視野我們的思維，有多大程度的扭曲呢？……）扯遠了，回來談單純的數學問題。高斯的工作，引出了一系列的新思考與新問題。所幸，江山輩有人才出，新一代的數學家對這些問題給予了解答。（下集繼續折騰）