我不了解川普，更没有特别喜欢川普。当初选川普，只是因为反感拜登。

   我并不觉得川普有多能干，当总统有多大建树。只是从一而再再二三，接连不断的负面报道中看见，川普很艰难，很伟大。/文毕

《数学学习13/30》

上一则讲到欧拉创立了立体几何学，将数学推向了高峰。接着谈。具体来说，欧拉的立体几何，所强调的是整体，即从宏观的角度去研究曲面。如果从宏观转入微观，研究曲面在一点微小区域内的特性，结果会如何呢？听起来，对微小局部的研究，纠缠细枝未节，远不如宏观研究那么波澜壮阔生动有趣。可实际情况正好相反，立体几何学被归入了应用数学与工程学的范畴，几何学从更抽象的角度，选择了微观分析。

第一个对曲面进行局部分析的是高斯，其思想可能源于他地图绘制，用平面表示球面的关系所致。高斯关于曲面局部分析的工作，奠定了微分几何学的基础和方向，被誉为微分几何之父。要了解髙斯的工作，需要先了解一下曲率的概念。通俗地讲，对于一条曲线来说，某一点的曲率就是曲线在该点的弯曲程度，可以用一个数量来表示。比如圆，圆越大，圆弧弯曲的程度越小，圆越小弯曲的程度越大，其曲率与半径成反比，即1/r。

对于一个空间曲面，情况起了质的变化，曲面上任意一点的曲率是什么呢？以马鞍形曲面为例，取中心一点，顺着马头至马尾的方向，曲面是向上弯曲的；如果在马腰处左右观看，曲面则是向下弯曲的；从不同的方向考察，弯曲的方向和程度都是不一样的，看上去似乎很复杂。如果遵循这种思路，问题难于上青天，看看数学家是怎样思考的。

高斯对曲面上一点的曲率作了十分巧妙的处理。对于平滑曲面上的一点P，能反映这一点小区域内特性的平面，就是过这一点的切平面。想象过这一点作一条与切平面垂直的直线，再通过过直线作一个平面，平面与曲面相交得到一条过P点的空间曲线；如果将平面绕直线旋转，会得到另一个平面，也会得到另一条过P点与曲面相交的空间曲线；继续旋转，可以得到一束过P点的空间曲线。这一束曲线中，有无数条曲线，但只有两条最重要的曲线，一条是拥有最大曲率的曲线，另一条是拥有最小曲率的曲线，高斯发现，这两条曲线相互垂直，他计算了最大曲率和最小曲率，并据此定议了曲面在一点处的总曲率。这就是著名的高斯曲率。

讨论这一问题有什么意义呢？我们不仿停下来回顾下。在此之前，所讨论的几何学都是玩具规模的，我们可以随手画一个点一条线，或者画一个坐标系，我们将自己置身于研究的几何形状之外，高高在上冷眼旁观，来研究它的特性，或倾斜或平坦或笔直或弯曲。如果将我们考察的对象换作一个无穷大的曲面，我们位于其中，小得微乎其微，既不能逃离这个曲面，也看不到曲面之外的花花世界。这种情况下，只能在有限的范围内做几何研究，我们能了解这个曲面什么特性呢？能否辨别它是平坦还是弯曲呢？如果它是弯曲的，其弯曲程度是多少呢？我们能计算出它的曲率吗？如何在曲面上建立坐标系？如果能建立，那么曲面上两个不同的坐标系如何联系呢？正所谓，不识庐山真面目，只缘身在此山中。

（这是数学问题，也好像是思维问题，当我们孜孜不倦锲而不舍的地去散布或接受某种理念，某种思潮某种感悟，或某种真相的时候，我们的价值观道德观以及我们的视野我们的思维，有多大程度的扭曲呢？……）扯远了，回来谈单纯的数学问题。高斯的工作，引出了一系列的新思考与新问题。所幸，江山辈有人才出，新一代的数学家对这些问题给予了解答。（下集继续折腾）