三等分任意角之我解

前言：（以圆规直尺有限次内）三等分任意角之不可解，前贤之叙备矣，予从相似扇形内切着手，竟得其解，证明如下。谬误之处俟大家指正。

1.设扇形[AMBO]之圆心角∠AOB＝θ为所求任意角，O点为圆心角顶点，扇形半径OA＝OB＝R,M为圆弧｛AB｝中点，∴∠AOM＝∠BOM,在MO上取MP＝1/3R,以P为圆心PM为半径作圆弧，过P点引OB的平行线交弧于D,过P点引OA的平行线交弧于C,由此∠CPD＝∠AOB＝θ，∠CPM＝∠AOM＝∠DPM＝∠BOM（同位角相等），所得的小扇形[CMDP]的圆心角等于大扇形[AMBO]的圆心角,半径PD＝PC＝PM＝1/3R，∵圆弧长度∝圆心角和半径的乘积，如圆心角相等，圆弧长度之比等于半径之比，∴｛CMD｝＝1/3｛AMB｝,M点为{CD}和{AB}中点，｛CM｝＝｛MD｝＝1/6｛AMB｝。

 2.以C为圆心，CM为半径作弧，交｛AM｝于N点,连接NO,CO,N是圆弧上的一点，NO等于半径R，在△NCO和△MCO中，NC＝MC (作图），CO＝CO (公共边)，NO＝MO (半径相等),∴△NCO≌△MCO（SSS）,∠CNO＝∠CMO,∠CON＝∠COM,从NO上截取NG＝1/3R,交NO于G,连接CG,在△CNG和△CMP中，∠CNG＝∠CMP,(前已证明)，CN＝CM(由作图)，NG＝MP＝1/3R,(由作图)∴△CNG≌△CMP(SAS),CG＝CP(全等三角形对应边相等)＝1/3R，∵NG＝CG,以G为圆心，GC＝GN＝1/3R为半径作弧｛NC｝,得扇形[NCG]，∵扇形[NCG]和扇形[MCP]中，圆心角∠NGC＝∠MPC,（全等三角形对应角相等）半径GN＝GC＝PM＝PC,∴{NC}＝{MC}＝1/6｛AMB｝（等角等半径的扇形等弧）,{NC}+{MC}＝1/6｛AMB｝+1/6｛AMB｝

=1/3｛AMB｝＝{NM},∠NOM＝∠NOC+∠MOC=1/3θ（1/3弧长对应于1/3圆心角） 。

3.在扇形[CMP]和[DMP]中，半径CP＝MP＝DP，∠CPM＝∠DPM(前已证明){CM}={DM}，（等角等半径对应等弧），在△CPO和△DPO中，∠CPO＝∠DPO (等角的余角相等)，CP=DP(半径相等),PO=PO(公共边)，△CPO≌△DPO(SAS)，∴∠COP＝∠DOP＝∠CON,(等量相等），∠COD=∠COP+∠DOP=∠NOM=1/3θ(等量加等量，相等。证毕)

由此得结论：“二扇形具相等圆心角，半径之比为1:3，内切于圆弧中点，则小扇形圆弧二端点与大扇形圆心角顶点连线之夹角三等分该圆心角”。

 4.仿此，不加证明而有推论“二扇形具相等圆心角，半径之比为1:N(N＞1)，内切于圆弧中点，则小扇形圆弧二端点与大扇形圆心角顶点连线之夹角N等分该圆心角”。