三等分任意角之我解

前言：（以圓規直尺有限次內）三等分任意角之不可解，前賢之敘備矣，予從相似扇形內切着手，竟得其解，證明如下。謬誤之處俟大家指正。

1.設扇形[AMBO]之圓心角∠AOB＝θ為所求任意角，O點為圓心角頂點，扇形半徑OA＝OB＝R,M為圓弧｛AB｝中點，∴∠AOM＝∠BOM,在MO上取MP＝1/3R,以P為圓心PM為半徑作圓弧，過P點引OB的平行線交弧於D,過P點引OA的平行線交弧於C,由此∠CPD＝∠AOB＝θ，∠CPM＝∠AOM＝∠DPM＝∠BOM（同位角相等），所得的小扇形[CMDP]的圓心角等於大扇形[AMBO]的圓心角,半徑PD＝PC＝PM＝1/3R，∵圓弧長度∝圓心角和半徑的乘積，如圓心角相等，圓弧長度之比等於半徑之比，∴｛CMD｝＝1/3｛AMB｝,M點為{CD}和{AB}中點，｛CM｝＝｛MD｝＝1/6｛AMB｝。

 2.以C為圓心，CM為半徑作弧，交｛AM｝於N點,連接NO,CO,N是圓弧上的一點，NO等於半徑R，在△NCO和△MCO中，NC＝MC (作圖），CO＝CO (公共邊)，NO＝MO (半徑相等),∴△NCO≌△MCO（SSS）,∠CNO＝∠CMO,∠CON＝∠COM,從NO上截取NG＝1/3R,交NO於G,連接CG,在△CNG和△CMP中，∠CNG＝∠CMP,(前已證明)，CN＝CM(由作圖)，NG＝MP＝1/3R,(由作圖)∴△CNG≌△CMP(SAS),CG＝CP(全等三角形對應邊相等)＝1/3R，∵NG＝CG,以G為圓心，GC＝GN＝1/3R為半徑作弧｛NC｝,得扇形[NCG]，∵扇形[NCG]和扇形[MCP]中，圓心角∠NGC＝∠MPC,（全等三角形對應角相等）半徑GN＝GC＝PM＝PC,∴{NC}＝{MC}＝1/6｛AMB｝（等角等半徑的扇形等弧）,{NC}+{MC}＝1/6｛AMB｝+1/6｛AMB｝

=1/3｛AMB｝＝{NM},∠NOM＝∠NOC+∠MOC=1/3θ（1/3弧長對應於1/3圓心角） 。

3.在扇形[CMP]和[DMP]中，半徑CP＝MP＝DP，∠CPM＝∠DPM(前已證明){CM}={DM}，（等角等半徑對應等弧），在△CPO和△DPO中，∠CPO＝∠DPO (等角的餘角相等)，CP=DP(半徑相等),PO=PO(公共邊)，△CPO≌△DPO(SAS)，∴∠COP＝∠DOP＝∠CON,(等量相等），∠COD=∠COP+∠DOP=∠NOM=1/3θ(等量加等量，相等。證畢)

由此得結論：“二扇形具相等圓心角，半徑之比為1:3，內切於圓弧中點，則小扇形圓弧二端點與大扇形圓心角頂點連線之夾角三等分該圓心角”。

 4.仿此，不加證明而有推論“二扇形具相等圓心角，半徑之比為1:N(N＞1)，內切於圓弧中點，則小扇形圓弧二端點與大扇形圓心角頂點連線之夾角N等分該圓心角”。