数学? 三分钟!(11) 本节谈非欧几何学。前面两节讲的是射影几何学，射影几何学虽然有别于欧几里德几何学，但在逻辑上仍然有一定的联系，凭视觉也可以作一些直观的判断与推理。本节要介绍的非欧几何学，则完全不同。 先回顾一下。从某种程度上来说，古希腊的数学是人类智慧的宝库，这话一点儿也不过份。两千五百多年前，自从欧几里德将公理引入了几何学，其几何学及其方法，一直占着主导地位，时至今日，世界各国中学里数学教材中几何学的主要内容，仍然是欧几里德几何学。同时，两千多年来，欧几里德几何学中的公理，一直伴随着质疑与挑战，受到质疑最多的是其中的第五公理（或公设）。起初的第五公理是这样表述的：若一条截线与另外两条直线相交，且在截线某一侧的两内角之和小于两直角之和，则两条直线在该侧相交。这一公理的另一个替代表述是这样的：过直线外给定的一点，只可以作一条直线与给定的直线平行。 人们质疑这一公理的原因，主要是认为它不是一条独立的公理, 而是其它公理的推论。历世历代的数学家们想证明这一论断，以至于使这一问题与古希腊三大数学问题齐名。遗憾的是，数学家们在证明这一论断时，都有意无意地应用了这一公理，都没能作出有说服力的证明。直到俄国数学家罗巴切夫斯基（1792—1856），事情才有了改观。不过，这时候数学家们己经有了两千多年失败的记录。 罗巴切夫斯基引入了一个全新的观念，如果第五公理不是其它公理的推论，而是一个独立的思想，那么你就只可以作出选择，接受它或者放弃它，但无法去证明它。罗巴切夫斯基这一思想的闪光之处在于，如果第五公理是独立的，只要改变这一公理，就可以创造出另一套既有理性而又符合逻辑的全新的几何学。他重新定义了第五公理：过直线外给定的一点，至少可以作两条直线与已知的直线平行。这里的思想并不高深，它的逻辑是这样的：过直线外一点，至少有两条直线，与给定的直线平行。如果你无法证明第一条直线与给定的直线平行，也就无法证明第二条直线会与给定的直线相交, 无论延长至多远 。因为这两个陈述有着同样的道理和难度, 所需要的不是证明, 而是跨越思想障碍。基于新的公理集，罗巴切夫斯基创造了一门非欧几何学，在他的非欧几何学里，三角形的内角和小于180度。 除罗切夫斯基之外, 其他创立非欧几何学的还有德国数学家高斯(1777-1855)和黎曼（1826—1866）等人。高斯是历史上最有成就的数学家, 他也思考过欧几里德的第五公理, 并考虑用不同的公理建立一套新的几何学。但他处世老道, 担心发表其思想会引起社会公愤, 影响自已的形象,从而没有公开, 只是在与他人的通信中有所陈述。 黎曼对欧几里德公理的认识, 与罗巴切夫斯基的思路基本上是一致的，就是选择不同的公理。但黎曼对第五公理作了不一样的假设：过直线外给定的一点，没有任何直线与给定的直线平行。显然这种假设超过了我们的想象, 也无法证明。不过, 相对于罗切夫斯基的公设, 黎曼的公设可能更实用和易于想象。例如, 假定在我们自已生活的地球表面上来研究几何学, 将通过球心的任何平面与地球表面的交线形成的大圆定义为球面上的直线, 在这里大圆和直线是等价的。赤道是其中的一个大圆或者直线, 显然没有任何一个大圆或者直线与赤道平行, 这是地图绘制中的日常工作。在黎曼的非欧几何学里，三角形的内角和大于180度。
非欧几何学，与传统的空间概念发生冲突，开拓者们生前并没有得到多少承认，有些人得到的甚至是讥笑与嘲讽。但是, 从数学的意义上来说，非欧几何学自身没有内在的矛盾，与传统的欧几里德几何学一样, 是合理而正确的。随着爱因斯坦基于非欧几何学思想的相对论理论的传播，非欧几何学得到了充分的肯定。但是，在非欧几何学产生的过程中，对公理集选择的意义并没有得到应有的重视和普及：那就是在创立和发展一门数学科学时, 如何选择公理，数学家个人的品味和兴趣，甚至道德，起着决定性的作用。纯洁的数学尚且如此，其它许多学科，诸如哲学经济学社会学历史学等等，则更是如此。（所谓科学没有国界, 科学家才有国界，那都是矇人玩的。许多科学, 不仅有国界，而且有道德。 画蛇添足哈，下集継续折腾）
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