舟周数学潭（十） 在射影几何学，以及后续讨论的其它非欧几何学中，图形之间的逻辑关系都比较复杂。不过，作为休闲阅读，改变一下习惯性的思维，了解不同学科的思考方法与技巧，也许能观尝到数学迷宫里的美伦美兑与繁花似景。先介绍一个特定的概念“无穷远点”，两条平行的直线相交于“无穷远点”。这一概念可以从生活中得到解释，站在两条平行笔直的铁轨中间放眼远望，铁轨消失在天边，相交在远方。这是极具智慧的思想，是射影几何学的神来之笔。增加了想象中的这一点，使一些特殊的情况也有了圆满的解答。 不仿品味一下射影几何学中的基本定理。两个三角形，如果三组对应的顶点确定的三条直线交于同一点，那么三组对应边延长线构成的三个交点，位于同一条直线上。这话反过来说也成立，两个三角形，如果三组对应边延长线构成的三个交点位于同一直线上，那么三组对应的顶点确定的三条直线交于同一点。（花几分钟比划比划，就能整明白这则定理，明白了这则定理就明白了一半的射影几何。百分之六十的华人孩子，在十分钟之内都能整明白。信口开河哈，但并不夸张。) 有趣的是，在射影变换中，一条圆锥曲线其射影仍然是园锥曲线。就是说，一个椭圆的射影，只能是另一个形状的椭圆，抛物线或者双曲线，不会是其它的任何曲线。抛物线双曲线，也是如此。更有趣的则是圆锥曲线上的点：已知一个六边形内接于一条园锥曲线，那么这个六边形三组对边延长线形成的三个交点，位于同一条直线上。而且，将这话反过来说，也是定理：已知一个六边形外切于一条园锥曲线，那么连接这个六边形三组相对顶点的三条直线，交于同一点。这两个定理本身是对称的，这是射影几何中奇妙的对偶性。如果发现了某一个定理，将其中的点变为线，线变为点，编绕口令似的，适当的作一点语法调整，就可以顺藤摸瓜，发现一个新定理。许多定理就是这么发现的。 关于射影变换中的线段长短，我们知道两点间的距离，射影变换之后会变化；两段距离的比率，射影变换后也会变化；而两个距离比率的比率，在射影变换后保持不变。将这比率的比率定义为交比，任何一个保持交比不变的几何变换，就是一个射影变换。这是射影几何中最重要的发现。 从这么多妙趣横生变幻莫测的发现与定理中，不难想象，探索者一定曾有过无法抑制的愉悦与喜乐；但无论如何也难以想象，这其中的大多数发现竞然是一个年轻人在条件十分恶劣的监狱生活中完成的。他就是彭赛列。 法国数学家彭赛列（1788一1876），在他24岁左右的时候，成为拿破仑军队里的一名工程师，随部队入侵俄国，法国军队失败后，彭赛列成为一名俘虏，被囚禁在伏尔加河畔萨拉托夫监狱里。独裁统治下为战俘修建的俄国监狱，条件极其恶劣。正是在监狱的两年多时间里，彭赛列以墙壁为纸炭木当笔，做了卓有成就的研究。他最著名的著作是《论图形的射影性质》。由于射影几何学中许多概念和定理，首先出现在他的著作里，所以人们称他为“射影几何学之父”。彭赛列之后，射影几何学发展成为一个独立而成熟的学科。而今，随着计算机技术的飞速发展，当初达芬奇丢勒德扎格彭赛列遇到的同样问题，又以不同的形式摆在探索者的面前，数学家们探索的没有停息，而且步伐越来越快（下集继续折腾）。 |
