谈谈学习数学

(第一部分)

 (大家都很忙。 咱们长话短说, 这是一个数学阅读系列, 每小节阅读不超过三分钟。 第一部分是以数学中最古老的<<几何学>>为线索,讨论什么是数学, 及其演变与发展。主要参考资料包括: <以及网络。第一部分侧重于数学思想,合于六至八年级的学生家长阅读。第二部分偏重于数学技巧, 适合于八至十一年级的学生家长阅读。)

(一) 序言(1) 从一位数学家谈起

在数学和科学的发展史上，达郎贝尔(Jean Le Rond d’Alermbert, 1717-1783)是一位杰出的数学家和科学家，对社会问题也有很敏锐的观察。在他的一生中，最著名的是与法国作家狄德罗合作，他们一起编写了二十巻本的百科全书。这是文艺复兴时期伟大的作品之一，达郎贝尔亲自撰写了其中数学和科学部分的几乎全部内容。 在他的数学生涯中，对复数系的完善，对代数学基本定理的尝试，以及对谱论的创立等等，都做出了不可磨灭的贡献。

达郎贝尔个性耿直，经常毫不犹豫地批评别人的工作，这使他在取得成就的同时，一直伴随着强烈的争议。天花病流行时期，在一场关于“天花的死亡率和接种牛痘的好处”的讨论中，他将“风险评估”引入了现实生活，用概率论的语言解释现实世界，让他名声大震。 虽然达郎贝尔取得了辉煌的成就，这里将其编排在本数学系列故事的第一篇，并不是因为他的成就，而是因为他幼儿时期的特别境遇。

达郞贝尔于1717年生于法国，父母十分富有，且地位高贵，但他们不愿意承担抚养孩了的责任，在达郎贝尔出生后不久，便将他遗弃在一家名叫圣•让勒龙(Saint Jean Le Ronde)教堂的台阶上，这也是他后来取名字的由来。 达郎贝尔虽然被遗弃，但他爹并没良心泯灭,提供了足够的费用, 让他享受了良好的教育。有意识的是，与许多一流的数学家一样，他是在从事其它研究的过程中自学的数学。在他成为享誉世界的数学家之后，他的生母曾试图与他联系，希望儿子能认祖归宗，但他轻蔑地拒绝了这一要求。

（二）序言(2) 三次方程

在数学发展史上，求解一元三次方程，无疑是一道很亮丽的分水岭。这里所说的解，就是用方程中的系数来构造未知数的值。三次方程的精确解，首先是由一位不大出名的意大利数学家费罗（Scipione del Ferro, 1465-1526 ）提出的。那时候，无理数虚数等，还没有在代数方程中被广泛接受和运用，费罗所解的三次方程，只限于一些特定的类型。他将自己所知道的，传授给了他的学生菲奥尔（Antonio Maria Fior）。

费罗解三次方程的消息传到了丰坦那(Nicclo Fotana, 1499-1577)那里, 丰坦那也叫塔尔塔利亚(Tartaglia), 这是一位雄心勃勃的青年数学家，家境贫寒自学成才，据说在他十四岁那年，雇了一位家庭教师教自己认字，他的钱只够学到字母J。1512年，他的家乡布雷西尔亚城遭到了法国的洗劫，战乱中他的面部马刀深度砍伤，并造成终身口吃（塔尔塔利亚源于他的一个绰号---口吃者）。听到费罗的消息之后，塔尔塔利尔也宣称自己找到了三次方程的解法。

双方发生争扏，并为此展开了一场公开竞赛， 他们分别给对方一些问题，由第三方公证, 在限定的时间内解出。结果，塔尔塔利亚解出了对方提出的全部问题，非奥尔没能解出塔尔塔利亚提出的问题。这场比赛使塔尔塔利亚声名远播。

鹬蚌相争, 渔翁得利。 这消息引起了卡尔达诺的注意，卡尔达诺(Girolamo Cardano, 1501-1576)是意大利的一位著名赌徒，也是一位医师数学家兼占星学家，他马上联系到塔尔塔利亚，期望获得三次方程的解法。塔尔塔利亚终于经受不住纠缠与诱惑，在得到卡尔达诺承诺帮助其谋求一席有名望的职位，并承诺保守秘密之后，将解法透给了对方。

但卡尔达诺并没有承守诺言，既没有帮助塔尔塔利亚谋求职位，也没有保守秘密。卡尔达诺也是一位非常有能力的数学家，他得到三次方程的解法之后，受到启发, 马上指导他的秘书费拉里(Lodovico Ferrari  1522-1565)，求解一般的四次方程。费拉里曾经是个穷小孩，卡尔达诺收留他当了仆人, 并资助了他。他们很快找到了普通四次方程的解法。得到三次方程和四次方程的解法之后，卡尔达诺将其发表在他的著作《大术》之中。

塔尔塔利亚因为受到愚弄，非常生气，双方展开了一场长期的骂战与辩论。辩论中, 结巴的塔尔塔利亚处于劣势, 在论战结束前便带着懊悔与恼怒，从公众视线中消失了。卡尔达诺的《大朮》一书，因为新算法的引入，引出了新的数的结构，引发了数学家们去重新认识数, 完成了两千多年代数方程从低阶到高阶的飞跃，鼓舞了数学家们对高次高程的研究，从而改变了数学的方向, 标志着近代数学的开端。

（四）序言(4) 微积分

微积分的发现，在数学史上是一个划时代的里程碑。数学上通常把微积分当作两个独立的部分，微分学和积分学，都是作无限小的分析。微分学研究的是因变量对自变量的变化率，用数学朮语讲就是微分，也叫导数，有两个主要的问题：一个是计算导数需要的数学方法是什么？另一个是如何用导数来解决问题。积分学的应用领域十分广泛，起初只是用于求解不规则形状的面积或者体积，积分学同样有两个方面的问题，一个是计算积分需要什么数学方法？另一个是如何利用积分来解决问题？

历史上认为牛顿首先发现了徽积分，牛顿在微积分中的伟大发现，就是认为微分法与积分法在本质上是互逆的运算，正如加法与减法，乘法与除法互为逆运算一样，微分可以抵消积分的作用，积分可以抵消微分的作用，这就是微积分的基本定理。抛开里面复杂的数学内容，其基本思想是很简单的。不过，无论怎么赞扬这一思想，都不过份。因为这一原理，使得对函数的研究有了质的飞跃，当函数的微分方程己知而函数本身未知时，可以通过微分方程中的信息來研究原函数。自然界的许多法则，都可以用微分方程来表示，因此，掌握了微分方程，无异于获得了解开自然规律的金钥匙。

另一个发现微积分的是德国外交家兼数学家莱布尼茨（）。莱布尼茨是一位天才加全才，他特别善于发明数学符号，他的有关微积分的思想和方法，仍是现代学生学习的内容。关于微积分的发现，欧洲大陆的数学家坚称莱布尼茨独立地发现了微积分，大不列颠数学家认为莱布尼茨剽窃了牛顿的成果，他们之间有一场激烈的争论，没有人争辩牛顿不是第一个发现微积分，一个不争的事实是，直到莱布尼茨发表了关于微积分的论文之后，才促使牛顿分享他关于微积分的思想，他的发现才公诸于世。

微积分是牛顿一生中最早的发现之一。 在当时的情况下，微积分基本定理的发现，会改变整个世界。以牛顿的智慧和聪明，他一定知道它的重要性，但牛顿没有发表他的发现，对当时的学者来说，几乎没有带来什么影响。牛顿对他这么伟大的发现，为什么秘而不宣呢？（欲知后事如何，且听下回折腾）

（五）几何学的起源

数学中最古老的一部分是几何学，起初的几何学，充其量可称之为度量几何学，其目的就是量测。不论是埃及的几何学，还是古老的美索不达米亚的几何学，都是关注着度量，测量土地的面积以定税收，或计算城墙的体积以估计所需的材料与工时等等。与研究几何形状的性质相比，他们对量测的数据更感兴趣。

几何学一词源于希腊。希腊的数学从一开始便与众不同，它更注重于抽象而不是计算。第一位载入史策的是泰勒斯（Thales of Miletus, 约公元前650年--546年）。希腊的历史上记载，泰勒斯是一位数学家，同时也是一位哲学家和商人。传说有一年橄榄长得特别好，泰勒斯便买下了当地所有的橄榄机，在橄榄成熟的季节，可以大赚一笔，但后来他并没有去高价出售，只是检验一下，看自己是否能够垄断市场。

关于泰勒斯流传最广的一个传说，是在他年轻的时候，巧妙地测出了埃及金字塔的高度。他生活的那个时代，人们并不明白相似三角形的原理。传说在一个艳阳天，泰勒斯在地下竖起一根杆子，等到影子的长度与扞子的高度相等时，量测金字塔影子的长度，这便是金字塔的高度。这则趣事，两千五百多年来代代相传，一直流传至今。

使泰勒斯载入数学史册的，则是关于“直径等分圆”的证明，就是证明圆的一条直径将圆分成两等份。这一惊人的成就，不是其结论让人感到意外和惊奇，而是因为结论本身十分显然，人人都明白。随手画一个圆，再划一条直径，其结果就是直径将圆分为两等份，没有人怀疑这一事实，泰勒斯也不怀疑这一事实，但他认为有必要透过现象，演绎推理出去这一结论，以证明其论点的正确性。这是一种新的数学思想与方法：不依赖于直觉和感观，而是注重演绎与推理，得出普通的原理，新的结果是那些普遍原理的逻辑推论，从而使数学建立在严谨的逻辑琏上。研究中引入了新的思路和方法，使得泰勒斯成为数学史上第一位真正的数学家。

（六） 古西腊三大数学题

古希腊另一位重要的数学家是毕达哥拉斯（ 公元前582--公元前500年）。毕达哥拉斯是泰勒斯的学生，但与泰勒斯不一样，相对于几何而言，毕达哥拉斯对数更感兴趣；毕达哥拉斯也不是商人，而是一位神秘主义者。他创建了带有共产主义理想色彩的组织和毕达哥拉斯学派，在他们的组织里，成员共享财产，数学上任何新的发现都不冠以个人的名字（类似于万维网的接龙乡，博文是谁写的并不重要，关键是要红火, 要能给大伙儿带来乐趣）。

这个学派信仰“万物皆数”，他们相信宇宙万物都可以用正整数，或者两个正整数之比来表示。发现特殊数比和新类型数，正是这一学派对数学的贡献。他们发现了黄金分割，黄金分割这一特殊的比率有着奇妙的特性，比如一个正五角星，连接相邻的两个顶点，便形成一个正五边形；如果再延长五边形的各边，又构成一个更大的五角星；这样循环往复，向极大和极小两个方向都可以连续不断地进行，交递产生无穷多五角星和五边形。因为这种形状中，包含许多黄金分割的比率，这种比率有着“自我繁殖”的特性。这一发现对相信“数是自然界的基石”的该学派影响深远。后来，他们发现有些数不能表示为两个整数之比，如，他们认为这是些没有意义,无理取闹的数，所以称之为无理数。无理数的发现给他们的信仰带来沉重打击，同时也给数学界带来了2500多年的困扰：如果从正面给出准确的定义，无理数是什么呢？

谈到古希腊的数学成就，有必要谈谈产生于雅典的古希腊三大著名的数学问题。第一个问题是“倍立方体”，问题源于公元前430年，当时雅典面临一场天灾，居民大量死亡。为了解决灾难，神谕建议扩建庙里的立方形祭坛，修一座比原祭坛体积大一倍的新祭坛献给太阳神，人们参照原祭坛，将边长增加一倍建立了一座新祭坛。可想而知，新祭坛体积是旧祭坛体积的八倍而不是两倍。这样导致了第一个问题：已知一个立方体，根据这一立方体的边长, 用圆规和直尺作一条线段，以这一线段为边长构造一个新的立方体，其体积是已知立方体的两倍(这里所说的直尺没有刻度)。

第二个问题是“三等分任意角”，就是用圆规和直尺，将一个任意角分为三等份；第三个问题是“化圆为方”，即已知一个正方形，用圆规和直尺，画出一个与正方形面积相等的圆。在希腊人看来，这只是几道简单的智力游戏，不应该借用高精尖的技术与设备。两千多年来，这几道简单的游戏，难倒了无数的英雄豪杰。

（七）欧几里徳几何学

古希腊数学高峰的标志当数欧几里徳所著的《几何原本》。这是一本发行量最大，影响人类历史两千多年之久，现在依然被广泛使用的教科书。书中所讲述的许多定理与发现，已在同时代数学家中广为流传，并非欧几里德本人的成就，它汇集了希腊人思想与智慧的精华。关于欧几里德的生平，人们知之甚少，只知道他生活在公元前三百年左右。

在众多的数学著作中，《几何原本》能一支独秀世代流传，最根本的原因是它对几何学的研究采用了公理化的方法。 开篇第一章，便对几何学赖以生存的公理进行了详细的说明。以平面几何为例，简单讲就是五条公理：一，两个点确定一条直线；二，直线上的线段沿着直线可以任意延伸；三，以任意一点为圆心任意大小为半经可以画一个圆；四，所有的直角都相等；五，给定一条直线和直线外一点，只有一条直线通过给定的点与给定的直线平行。这几个简短的公理便是欧几里德几何学的基础和游戏规则，其它的全部内容都只是基于这些公理的逻辑推理和演绎。

公理是不需证明的真理，也是检验其它推论与定理是否正确的标准。这事看起来好像很简单，对一门学科建立一套个体间相互独立彼此相融，而整体上又完备无缺的公理体系实非易事。在后续的介绍中，会看到欧几里德的几何公理经受了人类两千多年的历史检验，毫不夸张地说，挑战欧几里德的几何公理，无异于挑战人类的智慧，而改变其公理，就会改变人类对世界的认识。引入公理化这种十分逻辑而又注重形式的研究方法，正是欧几里德给数学带来的“数学真理”的新思想，当数学用一组公理及其推论来表示时，其中的理论就变得严格，而且可以被检验了。这便是欧几里德最具智慧的远见卓识和深刻洞见。

这一方法对其它学科和数学的其它分支也立下了一个典范。诞生于欧几里德之后近两千年的牛顿三大定律，奠定了物理学和现代科学的基础。牛顿的《自然哲学的数学原理》一书，类似于欧几里徳《几何原本》开篇的方式，先谈游戏规则，介绍其定理的重要性，然后再作数学上的演绎与推理，其中也渗透着欧几里德几何学公理的思想。

几何学公理思想的影响，超越了数学和科学的范畴。比如一个法制国家，其宪法就是社会运作与人民生活的公理，是判断是非的标准。在我们生活的现实中和虚拟的网络上，常常看到许多无谓的争论，大多是一方将自己认定的那点歪理甚至死理，作为真理强加给另一方，缺乏公理所致。所以常有人感叹，公理何在？

（八）阿基米德与数学思想

欧几里德的《几何原本》对希腊数学产生了重大影响，而且几千年来一直影响着数学思想的方向和重点。同样伟大的阿基米德（公元前287年～前212年）可没有这样幸运。阿基米德最有名的发现之一是浮力定律，传说他在洗澡时，看到水从盆中溢出，得到灵感而发现了这一定律，就是一个浸入水中的物体所受浮力的大小，等于该物体排开水体的重量。阿基米德另一个发现是杠杆原理。

虽然这些成果和阿基米德的大名现在广为人知，但阿基米德的著作，由于其深奥的技巧和高度超前的思想，在同时代人中很难受到关注，而且基本上全部失传。人们了解古希腊的著作是通过唯一一本幸存到十六世纪的著作。阿基米德的名著之一是《方法》，名曰方法，讲的可不是一般的技巧与方法，也不是通常意义下的数学书，它不是由定理和证明堆砌而成，而是讲述在试图从数学的角度证明一种思想一个方法之前，他是如何研究这个想法的，我们从那里可以明白，阿基米德对力学和几何学的许多思想是如何形成的。换一个更通俗的说法：讲的不是一般的数学技巧与方法，也不是讲述一种思想，而是如何生产思想。

阿基米德解释为什么写该书的原因: 我之所以详细说明自己的研究方法，虽然部分原因是我己经说过这些，而不想让它们成为废话，但也同样因为我相信它们会对数学有不小的作用，我担心有些人，不管是我同时代人还是后继者，一段他们学会了，就会应用这些方法去发现我还不知道的其它理论。

阿基米德分析问题时想象的几何形状都有质量，然后使之平衡，他就可以用已知的图形面积和体积，对有待研究的图行进行比较，他称之为“思想实验”。虽然不能代替数学上的严格论证，但是它的确让我们了解了阿基米德研究问题时，其思想产生的脉络。 可惜，直到1906年，在当时的君士但于堡（如今土耳其境内的依斯坦布尔）的图书馆，现代学者才首次见到《方法》一书。这时候，历史己经过去了两千多年，科学数学与人类都已经大踏歩地进步了。阿基米德的愿望没有实现。

阿基米德的命运也像他的著作一样不幸，他生活在希腊城市叙拉古，现属于意大利境内的西西里岛。在罗马侵占希腊时，叙拉古城邦沦陷，阿基米德被罗马人杀害。前不久去欧洲旅游，听朋友介绍说，在西西里岛有一尊阿基米德的雕像，一手推导着数学公式，一手示意前来杀害他的士兵，等写完公式之后再下手不迟。可惜没能去参观，因时间短促，只在依斯坦布尔停留了一天。

(九）射影几何学(1)

自从古希腊的欧几里德几何学创造了历史的辉煌之后，几何学沉睡了一千多年，直到文艺复兴时期。随着审美观点的变迁和绘画艺术的提高，激励着艺术家们去探索一种新的，称之为表象艺术的绘画技巧，就是在二维的平面上表示三维的物体，通过光源阴影与透视的应用，充分表示人物的表情和物体的运动，使画面具有动感和真实感，并表现出自身的愉悦忧伤或者愤怒，从而使绘画艺术真正脱离传统的，类似于埃及像形文字的生硬艺术。  

这一时期的艺术家，深受古希腊数学家的影响，而且他们之间对绘画与数学的认识也相得益彰，希腊的数学家们相信自己的工作在美学方面，同画家音乐家雕刻家一样重要；文艺复兴时期的艺朮家们，则相信其探索的表象艺术，一定具有某种数学内涵，相信他们的艺术努力，只有从数学背景里产生并建立在数学基础之上，才会达到最大的成功。  

这一时期最有代表性的艺术家当数达•芬奇（1452-1519），达•芬奇15岁时当学徒从师学艺，大概在三十左右，才开始研究数学，也开始记笔记。与沒有离开过校园的学生相比，深入过生活的人更易于让知识源于生活用于生活；与没有学过绘画的人相比，有绘画功底的人能更深刻地认识自然揭示自然。达芬奇将这二者都做到了极致，既有艺术创造的闪光思想，又有实现思想所必需的技巧。人们通过达芬奇的艺术作品和他的笔记，了解了他关于绘画艺术的数学探索。他首先提出了光锥体的模型，认为光是直线传播的，简单一点来理解，一个光源照向一个物体，频幕上的影象就是物体的射影。光源，物体轮廓和射影三者共同存在于同一个以光源为锥顶射影为锥底的光锥体上。很显然，同一物体，随着光源的距离和角度的变化，会产生不同的射影。  

达芬奇时代还有许多著名的艺术家，如意大利的米开朗基罗，拉斐尔，德国的丟勒（1471--1528）等等。特别是丢勒，由于北欧的文艺复兴较晚，丢勒除了创作大量的艺术作品外，还撰写了大量的数学著作和理论著作，以揭示达芬奇等艺术家作品背后的数学基础，向北欧介绍这些理论。正是这一时期大批艺术家们的共同努力，为射影几何学的诞生，创造了必要的条件。正如埃及的量测术摧生了希腊的几何学一样，文艺复兴时期的艺术家们，孕育了射影几何学。  

不过, 直到十七世纪初，法国数学家德扎格（1591—1661）才宣称，存在着一门全新的几何学，这门新学科以文艺复兴时期艺术家们的绘画方法为基础，他将艺术家们的工作首次转变为一套数学定理，创造出许多新词汇来描述新学科，新学科中，他将人们熟悉的图形长度和角度排除在研究内容之外。遗憾的是德扎格具有高度原创性的思想, 远远超过了那个时代，并没有被社会所接受。几何学还要沉睡一百五十年。  

有必要对这些抽象而零散的描述，作一点小结。几何学，就是研究图形在一组特定运动下不改变的几何特性。欧几里德几何学，即现行中学数学中的几何学，研究的内容就是图形的长度和角度，长度和角度是图形在平移与旋转的运动中，不发生变化的几何特性。在射影几何学中，图形的运动就是射影，在射影变换中，图形的长度和角度都会发生变化，不再有意义。那么，排去了图形中的长度和角度，还有什么样的几何特性在射影变换中会保持不变呢？没有明确的几何特性作为研究对象，射影几何学能否发展成为一门独立的学科呢？（世上无难亊，只要肯折腾。下集继续折腾。）

（十）射影几何学(2)

在射影几何学，以及后续讨论的其它非欧几何学中，图形之间的逻辑关系都比较复杂。不过，作为休闲阅读，改变一下习惯性的思维，了解不同学科的思考方法与技巧，也许能观尝到数学迷宫里的美伦美兑与繁花似景。先介绍一个特定的概念“无穷远点”，两条平行的直线相交于“无穷远点”。这一概念可以从生活中得到解释，站在两条平行笔直的铁轨中间放眼远望，铁轨消失在天边，相交在远方。这是极具智慧的思想，是射影几何学的神来之笔。增加了想象中的这一点，使一些特殊的情况也有了圆满的解答。

不仿品味一下射影几何学中的基本定理。两个三角形，如果三组对应的顶点确定的三条直线交于同一点，那么三组对应边延长线构成的三个交点，位于同一条直线上。这话反过来说也成立，两个三角形，如果三组对应边延长线构成的三个交点位于同一直线上，那么三组对应的顶点确定的三条直线交于同一点。（花几分钟比划比划，就能整明白这则定理，明白了这则定理就明白了一半的射影几何。百分之六十的华人孩子，在十分钟之内都能整明白。信口开河哈，但并不夸张。)

有趣的是，在射影变换中，一条圆锥曲线其射影仍然是园锥曲线。就是说，一个椭圆的射影，只能是另一个形状的椭圆，抛物线或者双曲线，不会是其它的任何曲线。抛物线双曲线，也是如此。更有趣的则是圆锥曲线上的点：已知一个六边形内接于一条园锥曲线，那么这个六边形三组对边延长线形成的三个交点，位于同一条直线上。而且，将这话反过来说，也是定理：已知一个六边形外切于一条园锥曲线，那么连接这个六边形三组相对顶点的三条直线，交于同一点。这两个定理本身是对称的，这是射影几何中奇妙的对偶性。如果发现了某一个定理，将其中的点变为线，线变为点，编绕口令似的，适当的作一点语法调整，就可以顺藤摸瓜，发现一个新定理。许多定理就是这么发现的。

关于射影变换中的线段长短，我们知道两点间的距离，射影变换之后会变化；两段距离的比率，射影变换后也会变化；而两个距离比率的比率，在射影变换后保持不变。将这比率的比率定义为交比，任何一个保持交比不变的几何变换，就是一个射影变换。这是射影几何中最重要的发现。

从这么多妙趣横生变幻莫测的发现与定理中，不难想象，探索者一定曾有过无法抑制的愉悦与喜乐；但无论如何也难以想象，这其中的大多数发现竞然是一个年轻人在条件十分恶劣的监狱生活中完成的。他就是彭赛列。

法国数学家彭赛列（1788一1876），在他24岁左右的时候，成为拿破仑军队里的一名工程师，随部队入侵俄国，法国军队失败后，彭赛列成为一名俘虏，被囚禁在伏尔加河畔萨拉托夫监狱里。独裁统治下为战俘修建的俄国监狱，条件极其恶劣。正是在监狱的两年多时间里，彭赛列以墙壁为纸炭木当笔，做了卓有成就的研究。他最著名的著作是《论图形的射影性质》。由于射影几何学中许多概念和定理，首先出现在他的著作里，所以人们称他为“射影几何学之父”。彭赛列之后，射影几何学发展成为一个独立而成熟的学科。而今，随着计算机技术的飞速发展，当初达芬奇丢勒德扎格彭赛列遇到的同样问题，又以不同的形式摆在探索者的面前，数学家们探索的没有停息，而且步伐越来越快。

（十一）非欧几何学

本节谈非欧几何学。前面两节讲的是射影几何学，射影几何学虽然有别于欧几里德几何学，但在逻辑上仍然有一定的联系，凭视觉也可以作一些直观的判断与推理。本节要介绍的非欧几何学，则完全不同。

先回顾一下。从某种程度上来说，古希腊的数学是人类智慧的宝库，这话一点儿也不过份。两千五百多年前，自从欧几里德将公理引入了几何学，其几何学及其方法，一直占着主导地位，时至今日，世界各国中学里数学教材中几何学的主要内容，仍然是欧几里德几何学。同时，两千多年来，欧几里德几何学中的公理，一直伴随着质疑与挑战，受到质疑最多的是其中的第五公理（或公设）。起初的第五公理是这样表述的：若一条截线与另外两条直线相交，且在截线某一侧的两内角之和小于两直角之和，则两条直线在该侧相交。这一公理的另一个替代表述是这样的：过直线外给定的一点，只可以作一条直线与给定的直线平行。

人们质疑这一公理的原因，主要是认为它不是一条独立的公理, 而是其它公理的推论。历世历代的数学家们想证明这一论断，以至于使这一问题与古希腊三大数学问题齐名。遗憾的是，数学家们在证明这一论断时，都有意无意地应用了这一公理，都没能作出有说服力的证明。直到俄国数学家罗巴切夫斯基（1792—1856），事情才有了改观。不过，这时候数学家们己经有了两千多年失败的记录。

罗巴切夫斯基引入了一个全新的观念，如果第五公理不是其它公理的推论，而是一个独立的思想，那么你就只可以作出选择，接受它或者放弃它，但无法去证明它。罗巴切夫斯基这一思想的闪光之处在于，如果第五公理是独立的，只要改变这一公理，就可以创造出另一套既有理性而又符合逻辑的全新的几何学。他重新定义了第五公理：过直线外给定的一点，至少可以作两条直线与已知的直线平行。这里的思想并不高深，它的逻辑是这样的：过直线外一点，至少有两条直线，与给定的直线平行。如果你无法证明第一条直线与给定的直线平行，也就无法证明第二条直线会与给定的直线相交, 无论延长至多远 。因为这两个陈述有着同样的道理和难度, 所需要的不是证明, 而是跨越思想障碍。基于新的公理集，罗巴切夫斯基创造了一门非欧几何学，在他的非欧几何学里，三角形的内角和小于180度。

除罗切夫斯基之外, 其他创立非欧几何学的还有德国数学家高斯(1777-1855)和黎曼（1826—1866）等人。高斯是历史上最有成就的数学家, 他也思考过欧几里德的第五公理, 并考虑用不同的公理建立一套新的几何学。但他处世老道, 担心发表其思想会引起社会公愤, 影响自已的形象,从而没有公开, 只是在与他人的通信中有所陈述。 黎曼对欧几里德公理的认识, 与罗巴切夫斯基的思路基本上是一致的，就是选择不同的公理。但黎曼对第五公理作了不一样的假设：过直线外给定的一点，没有任何直线与给定的直线平行。显然这种假设超过了我们的想象, 也无法证明。不过, 相对于罗切夫斯基的公设, 黎曼的公设可能更实用和易于想象。例如, 假定在我们自已生活的地球表面上来研究几何学, 将通过球心的任何平面与地球表面的交线形成的大圆定义为球面上的直线, 在这里大圆和直线是等价的。赤道是其中的一个大圆或者直线, 显然没有任何一个大圆或者直线与赤道平行, 这是地图绘制中的日常工作。在黎曼的非欧几何学里，三角形的内角和大于180度。

非欧几何学，与传统的空间概念发生冲突，开拓者们生前并没有得到多少承认，有些人得到的甚至是讥笑与嘲讽。但是, 从数学的意义上来说，非欧几何学自身没有内在的矛盾，与传统的欧几里德几何学一样, 是合理而正确的。随着爱因斯坦基于非欧几何学思想的相对论理论的传播，非欧几何学得到了充分的肯定。但是，在非欧几何学产生的过程中，对公理集选择的意义并没有得到应有的重视和普及：那就是在创立和发展一门数学科学时, 如何选择公理，数学家个人的品味和兴趣，甚至道德，起着决定性的作用。纯洁的数学尚且如此，其它许多学科，诸如哲学经济学社会学历史学等等，则更是如此。（所谓科学没有国界, 科学家才有国界，那都是矇人玩的。许多科学, 不仅有国界，而且有道德。 画蛇添足哈，下集継续折腾）

（十二）解析几何学

数学发展的历史, 也是人类思想发展的历史。从前面的介绍，我们已经看到了现代数学的曙光, 本节介绍几位近代的开拓者。第一位是法国数学家笛卡尔(1596~1650) 。 笛卡尔有创见的思想之一是简化地解释代数项的方式，在笛卡尔之前，包括古希腊和伊斯兰的数学家，都是将解释成几何学上的正方形，解释成几何上的立方体，而对于及更高次方，难以赋予类似的几何意义, 束手无策。笛卡尔抛弃了这种有局限的几何解释，就是简单的一次项二次项高次项, 改变了对这些符号的理解，使之更易于研究。  

笛卡尔的另一成就，就是创造性地应用了坐标系，将代数作为几何的语言，建立起几何学与代数学之间的桥梁, 从而创立了解析几何学。在解析几何诞生之前，追朔至古希腊数千年，数学家们所了解的曲线，也不超过十二种。解析几何学使得数学家们对曲线的研究随心所欲。同时，解析几何学也成为表达微积分思想的一种语言。  

笛卡儿出生在一个贵族家庭，大学毕业后有过十年左右旅游参军体验生活的阅历, 他一直雄心勃勃想创立新学科，发表过许多有关哲学天文学解剖学气象学光学以及数学方面的著作，虽然他的哲学思想一直受到人们的质疑，他关于科学的许多思想，后来也被证明是错误的，但这并不影响他被誉为一位伟大的数学家和思想家。他的思想是数学史上的一个转折，他新颖而有成效的思想方法，引导和催生了数学界一系列伟大的思想。  

另一位对解析几何学作出巨大贡献的是法国数学家费马（1601—1665）。费马在许多领域都有卓越贡献，最使他出名的，则是费马大定理。简单介绍一下。华人都知道勾股定理，也有许多华人认为这一定理是古代的华人数学家祖冲之发现的。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理（本糸列之六）。就是三个正整数, 其中两个数的平方和等于另一个数的平方,即 满足这一的三个数，称为毕达哥拉斯三数组。自然数中有无穷多这样的三数组。费马在研究毕氏三数组时，作了一点推广：如果不是平方而是三次方四次方会如何呢？(即 , m>2) 结果他发现，没有任何正整数能使等式成立，也就是说, 只要指数大于2，毕氏三数组不存在。谜惑人的是,他在书边注明:他发现了这一事实简短而美妙的证明 。从而激发了无数数学家探宝般的求证与寻找。这就是数学历史上最著名的费马大定理。 这一定理并不复杂。费马所处的时代，有机遇接触古希腊的原著，顺着前人与历史的脉络，也就不会为费马盟生其大定理感到惊奇，或许有家长会感叹：原来如比简单，“我那小子”也有这种才华。(这话听起来好像有点大言不惭信口开河，违背数学精神。不过，这不违背本系列的精神，就是远距离欣赏数学美女的轮廓，了解大概的来龙去脉，对数学的学习可能会有所帮助。进一步的深入学习，得向真正的学者请教。跑江湖的扯数学，只能是师傅哄进门，造化在个人。)

另一位必须介绍的是端典数学家欧拉（1703-1783）。虽然笛卡尔建立了几何与代数之间的关系，但他依然缺少数学工具将这种方法用于曲面研究。欧拉第一个全面而系统化地使用了函数，并开创性地将参数引入函数，从而使他对三维对象的解析描述，比任何人都深入。他推广了圆锥曲线的思想，完美地呈现出二次曲面，椭圆抛物面双曲抛物面，椭圆锥面椭球面，单叶双曲面和双叶双曲面, 开创了美仑美兑的立体几何学。除立体几何外, 欧拉对数学的贡献是全方位的。从欧拉的一个方程,可以看到他成就的一斑: 方程  方程中包含了最重要的五个数(0，1，i，π，e），进一步理解这几个数, 会理解数的多彩与变迁, 自然数, 小数,分数, 有理数, 无理数, 实数, 虚数, 代数数,超越数,… 一个方程折射了数学皇宫的半壁河山。  

欧拉从古希腊的数学思想中吸取了灵感，用新颖美妙实用的方法, 将源自古希腊数学家们心中的数学之美,完美而真实地展现于世, 也将数学推向了高峰。 令人感慨的是, 欧拉28岁时一只眼睛失明，后来双目失明，他的许多重要成果是在他双目失明之后完成的。就象贝多芬没有听力，为世界创造了不朽的音乐; 欧拉在黑暗中,为世界带来了极致的美丽。可是, 历史是难以预料的, 一件“针尖儿大”的小亊，竟然让欧拉的立体几何学从正统的数学中出局，使几何学偏转方向, 进入了新的航程。

(十三）微分几何学

上一则讲到欧拉创立了立体几何学，将数学推向了高峰,接着谈。具体来说，欧拉的立体几何，所强调的是整体，即从宏观的角度去研究曲面。如果从宏观转入微观，研究曲面在一点微小区域内的特性，结果会如何呢？听起来，对微小局部的研究，纠缠细枝未节，远不如宏观研究那么波澜壮阔生动有趣。可实际情况正好相反，立体几何学被归入了应用数学与工程学的范畴，几何学从更抽象的角度，选择了微观分析。

第一个对曲面进行局部分析的是高斯，其思想可能源于他地图绘制，用平面表示球面的关系所致。高斯关于曲面局部分析的工作，奠定了微分几何学的基础和方向，被誉为微分几何之父。要了解髙斯的工作，需要先了解一下曲率的概念。通俗地讲，对于一条曲线来说，某一点的曲率就是曲线在该点的弯曲程度，可以用一个数量来表示。比如圆，圆越大，圆弧弯曲的程度越小，圆越小弯曲的程度越大，其曲率与半径成反比，即1/r。对于一个空间曲面，情况起了质的变化，曲面上任意一点的曲率是什么呢？以马鞍形曲面为例，取中心一点，顺着马头至马尾的方向，曲面是向上弯曲的；如果在马腰处左右观看，曲面则是向下弯曲的；从不同的方向考察，弯曲的方向和程度都是不一样的，看上去似乎很复杂。如果遵循这种思路，问题难于上青天，看看数学家是怎样思考的。

高斯对曲面上一点的曲率作了十分巧妙的处理。对于平滑曲面上的一点P，能反映这一点小区域内特性的平面，就是过这一点的切平面。想象过这一点作一条与切平面垂直的直线，再通过过直线作一个平面，平面与曲面相交得到一条过P点的空间曲线；如果将平面绕直线旋转，会得到另一个平面，也会得到另一条过P点与曲面相交的空间曲线；继续旋转，可以得到一束过P点的空间曲线。这一束曲线中，有无数条曲线，但只有两条最重要的曲线，一条是拥有最大曲率的曲线，另一条是拥有最小曲率的曲线，高斯发现，这两条曲线相互垂直，他计算了最大曲率和最小曲率，并据此定议了曲面在一点处的总曲率。这就是著名的高斯曲率。

讨论这一问题有什么意义呢？我们不仿停下来回顾下。在此之前，所讨论的几何学都是玩具规模的，我们可以随手画一个点一条线，或者画一个坐标系，我们将自己置身于研究的几何形状之外，高高在上冷眼旁观，来研究它的特性，或倾斜或平坦或笔直或弯曲。如果将我们考察的对象换作一个无穷大的曲面，我们位于其中，小得微乎其微，既不能逃离这个曲面，也看不到曲面之外的花花世界。这种情况下，只能在有限的范围内做几何研究，我们能了解这个曲面什么特性呢？能否辨别它是平坦还是弯曲呢？如果它是弯曲的，其弯曲程度是多少呢？我们能计算出它的曲率吗？如何在曲面上建立坐标系？如果能建立，那么曲面上两个不同的坐标系如何联系呢？正所谓，不识庐山真面目，只缘身在此山中。

（这是数学问题，也好像是思维问题，当我们孜孜不倦锲而不舍的地去散布或接受某种理念某种思潮某种感悟某种真相的时候，我们的价值观道德观以及我们的视野我们的思维，有多大程度的扭曲呢？……）扯远了，回来谈单纯的数学问题。高斯的工作，引出了一系列的新思考与新问题。所幸，江山辈有人才出，黎曼等数学家对这些问题给予了解答。

 

（十五）相对论

黎曼关于空间弯曲的理论以及奇怪的几何学，引起了数学家和物理学家的极大兴趣，对此，美籍德国物理学家迈克尔逊与美国化学家莫雷做了一系列享有盛誉的实验，从而导致了人们对牛顿时空观及牛顿参照系的质疑。  

有必要了解一下牛顿的时空观和参照系。空间对于牛顿来说，就是自然界在其中表现与进化的宽阔领域，是悄无声息无法改变的背景，是宇宙的居所，但它不是宇宙的一部分。就像舞台与戏剧之间的关系一样，舞台是戏剧表演的地方，但它不是戏剧的一部分。宇宙中万事万物发生在空间里，但它们不会对空间产生任何作用和影响。这就是所谓的“绝对空间”。对于时间, 牛顿持有类似的观点，时间在宇宙之外，就像秒表在比赛之外一样，虽然宇宙随着时间的延续来演化与发展，但丝毫影响不了时间的流逝。这就是所谓的“绝对时间”。牛顿采用四维的笛卡儿坐标糸，用三个变量表示空间一点的位置，一个变量表示时间。在他看来，距离和时间对世界上所有的人都是一样的，所以用一个坐标系，可以适用于整个宇宙空间。这就是牛顿关于宇宙的几何学模型，也称为牛顿参照系。在过去几百年的科学发展与进步中，牛顿参照系起着核心和主导的作用。  

对牛顿绝对时空参照系的质疑，从而诞生了爱因斯坦的相对论。相对论分狭义相对论和广义相对论，其文字表述并不复杂。狭义相对论是这样的：物理学定律，包括光速，对于任何一个作匀速运动的参照系都相同。这里只是对参照糸作了“作匀速运动”的限定，看似简单，事实上则是对牛顿时空观的局部肯定全盘否定，也就是说，时间和空间都不是绝对的，从而断定宇宙的几何学，比牛顿所说的几何学模型，要复杂得多。广义相对论则是对狭义相对论进一步的补充和说明：空间和时间比其在狭义相对论中指出的，更为复杂和多変，不仅可能是膨胀的，而且可能是弯曲的。  

读者可能会认为这似乎在讲物理学, 重点是讲述影响几何学发展的历史事件。不仿谈一下相对论的数学思想。假如一辆快速行驶的列车，前行的速度为v，车的高度为h，从车顶一点A，垂直向下对应车底一点B，假定一束光线从A点以速度c向下穿行，对于車内的观察者而言，光束往下穿行的距离就是车身的高度，也就是光束穿行的时间乘以穿行速度。对于置身车外的观察者而言，光束从A点出发，到达底部B点时，B点随着快车已经前行了一段距离，光束穿行的实际路径，不是车身的高度，而是一个直角三角形的斜边，其中一条直边是车身高度，另一条直边是该时段内列车前行的距离。  

这里问题的关键是，光束不是以普通的速度穿行，而是以光速，它是不变化的。以同样的速度到达同一点，相对于车内的观察者而言，车外观察到的距离延长了,时间也膨胀了。用勾股定理, 可以表述它们之间的关系:  (ct)²+(vT)²=(cT)² , 稍作变化可得到: ,

相对论讲的虽然是物理学定律，同时, 它也是一个绝妙的几何学陈述。但是, 相对论的创立，给传统的几何学以沉重的一击。爱因斯坦曾坦言，由于时间和空间都是相对的, 所以几何学的基础并不是很牢固, 并不像人们想象的那样基本。回想一下几何学的历史, 从创立到发展，经历了不同的时代。古希腊时期，没有物理学, 更没有现代科学，人们将几何学当作自然界的一种组织原理，通过它来认识自然。在伽利略--牛顿时代，人们将几何学与物理学视为相得益彰互为补充的学科。爱因斯坦时代, 几何学每况愈下, 特别是相对论的诞生, 使几何学相形见拙，当几何学原理与物理学定律不协调的时候，人们会自然地偏向物理学。几何学似乎要从几千年来占据人们想象力颠峰的地位上败下阵来，暗然退出历史舞台。  

诗曰：山穷水覆疑无路，柳暗花明又一村。相对论得到了前所未有的普遍关注，同时也引起数学家与物理学家的深刻质疑。这么一疑，引出了一位奇女子，这位名不见经传, 累累被大雅之庭拒之于门外的小女子，竟然一举定乾坤，给几何学带来了前所未有的辉煌，实现了几何学王囯的伟大复兴（下集継续折腾）

(十六）对称性

相对论得到了难以置信的关注和普及，同时也受到极大的质疑，最大的质疑之一就是在相对论里，距离改变了，时间膨胀了，能量是否守恒呢？能量守恒定律是近几百年来科学发展中的一条基本原则，经受过无穷科学事实的检验，并推动了科技的发展与进步。如果相对论证明能量不守恒，那么爱因斯坦相对论思想的正确性就令人怀疑。

在对相对论的一片欢呼声中，问题传到了希尔伯特（David Hilbert,1862-1943)，这是一位杰出的德国数学家，早年在加里宁格勒（现属于俄罗斯）受过教育，以其在物理学和数学上的成就和洞察力而享誉世界。在1900年代初的一次报告中，他提出数学发展中的23个问题，基本上主导了近百年来数学的发展历史和研究方向。希尔伯特早年对经典的欧几里德几何学，也有卓越的贡献，针对两千多年来人们对几何学公理的质疑和挑剔，他提出了21条公理，为古老的几何学提供了完备的逻辑基础，使之完整完美而无懈可击。不过，很遗憾，希尔伯特对相对论与能量守恒之间的问题，束手无策。他将这一问题转给了诺特（Emmy Noether，1882-1935）。

诺特是一位生活在德国的犹太数学家，小时候专习语言，后来对数学表现出特别的爱好和天份。由于当时德国对女性的歧视，她被拒绝在大学的讲坛之外，只是帮助她从亊数学教育的父亲做一些没有薪酬的辅导性工作。后来，她在数学方面的才华引起希尔伯特的关注。希尔伯特希望帮助诺特在哥根廷大学谋求一份职位，也遭到歧视女性的保守势力的强烈反对。

诺特本来的兴趣是代数学，她常被称为20世纪最有创造性的代数学家之一。由于希尔伯特的邀请，诺特才有了研究守恒定律的一小段挿曲。深厚的数学功底，使她对各种守恒定律都有着独特而深刻的数学见解，很快对问题给出了答案。她论证，物理学中的守恒定律和几何学里的对称原理是相通的，每个守恒定律都是关于某类特殊的对称性的论断。能量守恒定律，是一个关于时间对称的论断。也就是说, 如果我们将时间看作某种直线, 想象沿着这条直线将我们自已向前或向后移动, 不管作怎样的时间穿越, 这一孤立体系中的能量是恒定的。

详细地叙述,超越了本系列的范围，但我们可以这样粗略地来理解：虽然相对论的提出，表明物理学定律超越了绝对时间与绝对空间的旧思想与旧框架，但是, 物理学定律本身，也是一些几何原理的自然表达，几何学的对称性和自然世界的规律性，两者相辅相成相得益张，不能分辨谁轻谁重。更确切地说，物理定律的真实性依赖于几何对称性的正确性，对称性的正确性确保了物理定律的真实性。从某种程度上来说，诺特卓越的成就，在于她解决了关于相对论的质疑，也对几何学作出了杰出的贡献，跨越几千年的时空， 将阿基米德时代对几何学的认识，做了质的升华，从更高的层次上揭示，几何学依然是自然世界的一种不可或缺的重要的组织原理。从而带来了几何学新的春天（下集继续折腾）。

 

（十七）飞速发展的时代

近百年来，几何学有了飞速的发展，无限维空间就是其中之一。第一个提出无限维空间的是舒尔伯特。如果我们用无数个0表示原点坐标O（0，0……），用一个无穷糸列来表示无限维空间中的一点A（x₁，x₂，x₃， ……），用广义的毕达哥拉斯定理来表示两点之间的距离。那么, 从A点到原点的距离则为: ,  显然，根号内是一个无穷数列的和，如果它收敛，那么这一点就属于舒尔伯特无限维空间里的一点；如果不收敛，这一点就不属于舒尔伯特无限维空间的点。

 舒尔伯特无限维空间的价值,在于它能使数学家们用一种新的方式来理解函数,在广义的空间下, 函数被描述成空间中的一个点,将函数之间的距离,函数集的几何学,以及一些更抽象的函数性质, 有机的结合起来，其方法与三维空间里的点集研究基本一致。舒尔伯特无限维空间，只是众多无限维空间的一种，其它无限维空间还有原子能空间分布空间，以及以数学家名字命名的无限维空间等等。无限维空间只是几何学向新的领域纵深发展的一个实例。

 这一个小时阅读，只是蜻蜓点水走马观花，领略了几何学的发展与变迁。 在人类几千年的历史长河中，从古希腊的尺规作图，到后来的射影几何学，解析几何学，微分几何学，以及越来越抽象的几何学，从中可以看到，欧几里得几何学随着时代在发展, 并推动了时代的发展。直到今天，它依然是世界各地中学生数学教育的重要内容，依然广泛地应用于科学与工程。欧几里德的几何学思想，毕达哥拉斯定理，公理化推论，点线面的概念，依然十分重要，依然像欧几里德的那个时代一样，闪闪发光。无论尘世多么浮躁与喧哗，几何学仍然以它自身的规律稳步前进，并校核科学与社会进步的方向与节奏。或许，在我们的身边，正生活着成长着当代的欧几里德，毕达哥拉斯，阿基米德，达芬奇，塔尔塔利亚，笛卡儿，欧拉，牛顿，高斯，黎曼，诺特，舒尔佰特。 我们有缘同舟，却有眼不识!（全文毕）