數學 ? 三分鐘 !(20) 除卡爾達諾，伽利略之外，費馬和帕斯卡也對對機會遊戲有過深入的研究，而且其複雜程度和實用價值, 也遠遠超過了卡爾達諾和伽利略的工作。他們所討論的問題，是不同層次的問題。比如分配賭金的問題, 兩個賭徒，對一場賭局下了同樣的賭注，賭局結束，獲勝的一方得到全部賭金。問題是由於客觀原因，賭局完成之前要提前結束，在一方領先的情況下，如何分配賭金呢？平均分配顯然對領先的一方不公; 另一方面，雖然領先的一方有更大的可能性獲勝，但並不是決定性的，後來居上的情況也常有發生。如何分配才算合理呢？ 費馬和帕斯卡的討論，增加了人們對賭博中數學理論的性趣，其結果也以很快的方式在其它領域得到應用，如計算π的值, 制定公眾衛生政策等。費馬和帕斯卡並沒有堅持他們在概率論方面的研究。但他們的工作，引起了數學家們的關注，其中引人注目的是荷蘭數學家恵更斯，與費馬和帕斯卡不同的是，恵更斯堅持了在這一領域的研究, 完成並出版了一本小冊子，題目是《論賭博中的計算》，書中收集了許多費馬和帕斯卡討論過的問題，也解決了恵更斯自己想到的許多問題，將概率論這一新領域介紹給讀者。這是最早的關於概率論的教科書，首次出版後的五十多年裡，一直是該學科的啟蒙教材。 微積分的誕生, 無疑是數學史上的一個里程碑，也給概率論提供了廣闊的舞台。 但兩位微積分的發明人，牛頓和萊布尼茨，對概率論了無興趣，這可能是因為概率論出生卑微，是研究關於賭博惡習的學問吧。瑞士數學家雅各布·伯努利（Jacob
Bemoulli,1654-1705)充分認識到了微積分對概率論的重要性，在恵更斯《論賭博中的計算》基礎上，伯努利寫作了他的名著《猜度術》, 在他去逝八年之後，他的侄子尼古拉斯才最終幫助他完成並出版。在《猜度術》中，伯努利把概率論從最初的計算賭博的工具推廣到其他方面，如何把概率應用到刑事公正及人類道德上。《猜度術》中，最著名的結果之一，就是所謂的大數定律，也稱作伯努利定理。 對一組獨立的隨機事件，用字母p表示某事件發生的概率，給p一定的小範圍，例如數軸上以p為中心，左右相距為p／100的區域。大數定律說，如果試驗的次數足夠多，那麼，成功事件的次數與試驗的全部次數的比率，幾乎必然落在這個小區間內。 伯努利對大數定律的逆命題也頗感興趣。在大數定律中，假設知道事件的概率，然後證明事件發生的頻率趨於這一概率。相應地，如果不知道概率，只是知道某事件的相對頻率，如何利用這些數據來故計事件的概率呢？這個問題更難，伯努利沒有取得大的進展。不過，大數定律的發表，激發了數學家和哲學家們一百多年的爭論與思考，如今，大數定律依然是普通大學裡<<概率論教程>>中的重要內容。伯努利的工作標誌着概率論的歷史性轉折，《猜度術》是概率論史上的一個重要的里程碑。 伯努利時代, 另一位值得一書, 對概率論作出重要貢獻的數學家, 是出生於法國的棣莫弗。一件事可以說棣莫弗的數學造詣，在牛頓的後半生, 當有人向牛頓請教數學問題時，牛頓會說:
“這麼高深的問題，應該請教棣莫弗。” 棣莫弗最大的成就之一就是發現了鐘形曲線，也就是正態分布曲線, 我們常說的考試成績要成正態分, 即源於此。棣莫弗的名著當數<<機會的學說>>,書中棣莫弗用概率的觀點, 研究了道德問題, 並對運氣進了量的計算, 明確指出 “運氣不存在”。 自從塔爾達諾質疑“機會由上帝控制”之後, 經歷了200多年, 概率論終於發展壯大, 被人們所接受, 成為自古代以來人類開創的第一個數學新分支, 一門可為理論和實際問題提供見解的, 重要的數學分支(待續,下則談概率論的發展)。 |
