数学 ? 三分钟 !(21)

     上一则讲了概率论的诞生，介绍了棣莫弗。据说棣莫弗更为伟大的成就是，作为家庭教师，他培养了贝叶斯（Thomas Bayes,1702-1761)，这种说法没有得到史料证实，只是人们的猜测。

    贝叶斯是一位英国牧师，没上过学，也很少发表文章，人们不知道他对概率论的兴趣从何而来。他生前只发表过两篇文章，一篇是＂神的仁爱，试证神和政府的最终目的是让他的子民幸福＂，另一篇是＂流数朮导论，数学家反驳来自分析学家的批判＂，以捍卫牛顿牛顿的微极分思想，两篇文章都是匿名发表的。这两篇文章虽然有一定影响，但真正使贝叶斯名垂青史的，则是另外一篇文章，这是在贝叶斯去逝之后，他的家人请另外一位牧师整理贝叶斯的数学文章发现的一篇关于概率论的文章，“论机会游戏中的一个问题”，其中介绍了著名的贝叶斯定理，就是表示两个条件概率之间的关系。如果用P（A）表示事件A发生的概率，用P（A丨B）表示在事件B发生的前题下事件A发生的条件概率。简化的贝叶斯定理的数学表达式为P（A丨B）＝P（B丨A）* P(A)/P(B)。

    抛开太专业的数学公式与符号，可以这样来理解贝叶斯定理的数学思想：生活中有一种现象，同时有许多假设都声称可以解释这一现象，但其中只有一个假设是正确的，我们不知道如何选择。我们所能做的，就是根据额外的条件或者数据，来计算某一假设为正确假设的概率。举个例子来说明。在一个黑包里有三个球，现有三种假设: 1, 三个白球；2, 两个白球；3, 一个白球。三种假设哪一个更合理呢？如果䃼充下列信息，第一次抽出了一个白球，放回去再抽。第二次又抽出了一个白球，再放回去。第三次又抽出一个白球。发生了连续三次抽出白球的亊件之后，再来考虑起初的三种假设，那一种更正确呢？

    根据贝叶斯定理，可以得到每种假设的正确性，在这里正确性成了一种随机量，而且其概率可以计算。这种概率推理，正是贝叶斯的伟大见解，它巧妙地将概率问题转化成了另一类问题。以一个更常见而实用的例子来说明。用E表示某种疾病，用A表示患上疾病E之后的症状，病人患上E表现出症状A的条件概率为P（A丨E），这事很简单明确，但没多少用。医生诊断所要知道的是，在有症状A的条件下，患者生的是什么病，即A症状条件下患有E疾病的概率P（E丨A）是多大。这正是贝叶斯定理将问题转化的精华所在。

   贝叶斯的思想，起初并没有引起人们太大的关注，百多年之后，才引起广大兴趣并广为流传。如今, 贝叶斯定理广泛地应用于博弈论, 风险投资, 图象识别, 语音拼写检查, 网络搜寻等各种领域。由于贝叶斯定理所应用的数学知识简单明了，不深也不广，起初的应用，逃过了所有挑踢的眼光。随着概率率论向纵深发展，有些数学家对贝叶斯定理产生了怀疑。最关键的有两个原因，第一就是贝叶斯定理需要额外的补加条件，如前述取球问题中，最初的三个假设认定是等可能的。也就是说，额外的附加条件，涉及到研究者的主观判断，不同的人会有不同结果。另一个原因，人们对概率论的不同理解，影响到概率论何时应用如何应用才正确可靠，对同一决策的论证，可能一波人论证的结果是伟大正确，另一波人给出的结论是愚昧无知。

    分歧使得数学家们分为两派，一派为贝叶斯学派，认为贝叶斯思想是正确合理的。 另一派特反对态度，称为频率派，他们更赞成由频率决定的概率。两派的争论由来已久，愈演愈烈，没有停息的迹象。概率论的软肋与硬伤，使得这种争论将永久地持续下去，除非诞生革命性的新学科（待续，下节谈概率论的局限）。