数学? 三分钟!(27, 结语四之一）

    根号2是一个无理数，近似值大概是1.414…，早在四千多年前的美索不达米亚人，就能将根号2的值，精确计算到小数点后的一百万分位以上。但直到两千五百多年前，希腊数学家希帕蒂斯，才发现了根号2的无理数特性。所谓无理数，就是无限不循环小数，或者说，不能表示为两个整数相除的数（分母大于1）。有理数，就是整数或能表示为两个整数相除的数。

    希帕蒂斯是毕达哥拉斯的学生，他们信奉一种认为万物皆数的宗教，即万事万物可用整数，或两个整数相除来表示。根号2的发现，说明除有理数之外，还有另外一类数。这一发现，给发现者带来了灭顶之灾，也给数学和思想界带来恐慌和混乱。

    为了掩盖这一发现，毕达哥拉斯学派的同志，将希帕蒂斯装进口袋扔进了海里，毕达哥拉斯也在希腊整顿言论和思想自由的运动中，被处死。无理数为什么会引来麻烦呢？不仿画一条线来演示，线条上，一二三四五是有理数，二分之一三分之一四分之一也是有理数，任何两个有理数，不管之间的距离多么小，总可以继续揷入无穷多个有理数。密密实实的线条，明显是连续的，其间却有根号2这样没有意义的东西，理直气壮而又而又没有道理存在那里，使得连续的线条出现断裂或空洞。心不见，心却烦。

    人们不理解无理数，只好称之为非有理数，即不能表示为两个数相除的数。这种文过蚀非的表达方式，似乎也不错，也可以蒙混一阵子。但它有背数学精神，数学需要正面而准确回答。直到约一百五十年前，一位德国的中学数学老师，对有理数与无理数作了精确的描述，才解决了人类两千多年关于无理数的困惑，这就是著名的戴德金（Richard Dedekind,1831--1916）分割。

     戴德金分割可以大致这样来描述：一条有向直线表示实数轴，O为原点，直线上任取一点A，该点离原点的距离为a。以该点为分割点，将全部有理数分为左右两部分，没有遗漏，也没有重叠。分割之后，如果左边有一个最大的有理数，右边没有最小的有理数，或者，左边没有最大的有理数，右边有一个最小的有理数，那么，a 就是一个有理数。否则，如果左边没有最大的有理数，右边也没有最小的有理数，那么，a 就是一个无理数。

   戴德金是一位从事了五十多年中学教育的数学老师，在他生活的那个年代，他的成就并没有得到应有的认可。今天，他的思想则是每一个优秀数学家训练不可或缺的重要部分。