数学 ? 三分钟 !(30) 关于数学的这一系系列，前面己经结束过。但觉得似乎缺少了点什么，言犹末尽。所以，加了这几节，专门谈数。 我们知道，自然数就是1234-56789，10，11，…，有理数是可以表示成两个自然数相除的数，如1／2，2／3，等等。从1到10，有十个自然数，从1到10有多少有理数呢？无穷无尽，哪怕从0到1，也有无穷无尽的有理数。如果我们问这样一个问题：自然数和有理数哪个更多。答案会是什么呢？ 回答之前，先用剧场的情形来比划一下。一个大型剧场有许多座位，如果来了黑圧压一大群观众，数不胜数，是人多还是座位多呢？不仿让大家坐下来，如果人全部坐下了，还有空座位，说明座位更多。如果座位坐满了，还有人没坐下，说明人更多。如果没有剩下的坐位，也沒有多余的人站着，座位与人正好一一对应，则人与座位一样多。
用一一对应的概念，来讨论一下自然数与有理数的多少。对于自然数12345……直到无穷大，如果我们以每一个自然数相应的倒数为对应的有理数，如1对应1，2对应1/2，3对应1/3，4对应1/4，等等，这样，不管有多少自然数，我们总可以在0至1之间，有一个相应的有理数与之对应。从而可以得出这样的结论：0到1之间的有理数不比自然数少，至少一样多。这样的结论显然是正确的。 一个不争的事实是，有理数除了分布在0与1之间，从1到2，2到3，直至无穷大，还有无穷无尽的有理数。那么，我们是否可以得出这样的结论，有理数比自然数多呢？ 回答这个问题之前，用一一对应的方式，作另一种不同的演示。选平面直角坐标系，有X轴和Y轴，原点为（0，0）。作一系列平行于X轴和Y轴的直线，x＝1，x＝2，x＝3…，y＝1，y＝2，y＝3，…，这些直线交叉点的坐标为自然数（x，y），即（1，1），（2，1），（1，2），（2，2），…将每个点用其横坐标除以纵坐标，即x／y来表示，显然x／y是一个有理数。由于x与y可为仼意的自然数，所以，全部的交叉点就构成了全部的有理数。 我们沿一相限45度方向，呈之字形，将所有的交叉点依次编号，（1，1）为1，（2，1）为2，（1，2）为3，（1，3）为4…，依此类推。这样，每一个交叉点都有一个编号。显然，无论有多少点，都有足够的自然数与之对应。也就是说，无论有多少有理数，都有足够的自然数与之一一对应。所以说，有理数不比自然数多。 这是数学上一个十分重要的证明。用同样的方法，还可以证明，完全平方数与自然数一样多；奇数与自然数一样多；偶数与自然数一样多；去掉部分自然数之后的自然数，与自然数一样多。类似，除掉那些投奔了美帝的华人，人民还是那么多。这些结论，难以辩驳，但不符合人们的常识，同时，数学中的基本运算加减乘除，在这里也失去了意义。这不禁让人怀疑，数学是不是出了毛病？ 有必要再回顾一下"数学是什么"这样的基本问题。数学是一门演译的科学，新的结论与定理，都是在严格的逻辑链上产生的。演绎的大前提则是公理。欧几里德建立了几何学的五个基本公理，从而演绎出欧几里徳几何学的全部內容；黎曼选择了不同的几何学公理，得出了一门非欧几何学，导致后来相对论的发现；牛顿借鉴欧几里德的公理思想，创立牛顿三大公理，从而诞生了牛顿力学；柯尔莫哥洛夫将公理引入概率，即一件事情发生的最大概率不超过1，局部小于整体，从而完善了概率论。 一般来说，数学家如果遇上了真正的难题，自己是没法解决的，或者说用纯粹的数学方法，是解决不了的，要请求思想家哲学家政治家，或者阴谋家的帮助，就是要进行一次思想上的革命，掀翻棋盘，重新制定遊戏规则，改变公理，从头再来。 解决“有理数不比自然数多”这样违背常理的问题，数学家们对千百年来恪守的公理“局部小于整体”，作了全盘修正，改变为“局部不小于整体”，或者＂局部与整体相等＂, 新公理正视了无穷集合的存在，用数学的语言来阐述就是：存在与父集合大小相等的真子集的集合，为无穷集合。这一概念是由戴德金首先提出，康托尔发展完善的。 新公理的推出，带来了数学的飞速发展，也带来数的飞跃。今天数学家们所研究的数，己经不仅仅是停留在自然数有理数，复合数代数数超越数，这些有限数的范畴，己经进入超限数的时代，即基于无限而抽象与提练出来的数，虽然讲的还是一二三，但内涵与外延都完全不同。一个人搬着指头数算，如果能理清一两个超限数，就会对人类作出巨大贡献。 但是，好景不长，新公理很快就遇上了新的难题，就是有名的罗素悖论，由集合论中，讨论不将自身作为子集的集合，而引出的逻辑问题。用生活中一个简单的例子，可描述罗素悖论所反映的逻辑问题。假如小镇上有一位理发师，声明只为那些不为自己理发的人理发。这一陈述对其他人都有意义，但对理发师本人则是例外，如果他不为自己理发，就应该为自己理发；如果他为自己理发，就不应该为自己理发。 罗素悖论引发了一阵混乱，但很快就得到了解决。德国数学家策梅罗（Emest Zemelo, 1871--1953), 也是罗素悖论的发现者之一，再次运用数学公理的思想，提出了七条公理，从而园满地解决了罗素悖论。有意思的是，解决了罗素悖论之后，有关的数学争论并未平息，反而越来越激烈。因为策梅罗运用了一个后来称之为“选择公理”的公理，这里面的内容很坚深也很啰嗦，就此打住。通俗地说，选择，正好点明了数学的实质和核心，数学就是选择，数学的根基是公理，而公理正是基于数学家的兴趣选择与道德选择。 数学是选择。生活何尝不是选择呢？人们往往追寻生命的意义是什么？其意义也许就在于你自己的选择，可以是了无生趣毫无意义，也可以是意义非凡。社会，所追寻的何尝不是自由选择呢？让别人自由选择，就叫民主。自已能作出自由选择，就是人权。 或许，上帝的智慧与奇妙，正在于给人充分的权利以自由选择，你可以选择相信上帝，也可以选择弃绝上帝。而数学，正是一门关于选择的学问。帮助人们在学习工作生活中，作出选择的一门学问。（全文再次结束，下集继续折腾）
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