——/文毕

《数学学习14/30》

高斯关于曲面曲率的研究，催生了微分几何学，传统几何学的研究形式和方法都不再适用，从而引领几何学进入了一个全新的时代。同时也引起了数学家们极大的兴趣，引出了许多新问题与新思考, 这些数学家中, 最引人注目的是黎曼。

前面曾讲述过，黎曼改变欧几里德几何学的第五公理，创立了非欧几何学。对高斯曲面曲率引出的新问题，黎曼没有遵循习惯的思维，而是从几何学存在的基础入手，提出了两个全新的概念，即多维空间和弯曲空间。多维空间，就是空间问题上, 不仅仅存在我们可以想象的一维空间二维空间三维空间，也存在多维空间或者高维空间，哪怕是一百维一千维一万维；弯曲空间，则是指几何学赖以栖息的空间本身, 就像几何学研究的对象一样, 如线条曲面等，都可能是弯曲的。

像许多伟大的数学家一样，黎曼再次从古希腊数学家那里得到智慧和灵感，并充分利用了他们的名望，他借用欧几里德的大名,  将空间划分为欧几里德空间和非欧空间，所有平直的空间，都是欧几里德空间；所有弯曲的空间，都属于非欧空间。并采用古老的毕达哥拉斯定理(勾股定理)，作为判断一个空间是否弯曲的准则，即：如果空间内任意两点之间的距离，满足毕达哥拉斯定理，则空间是平直的；否则，空间是弯曲的。在平面直角坐标系内，两点间的距离为(其中一点为坐标原点): 这就是勾股定理。在三维和多维的情况下，采用广义的毕达哥拉斯的定理，即两点间的平直距离为两点间相应坐标差的平方和再开方。 很明显, 球面上两点之间的实际距离, 不是两点间的一段直线，而是联接两点的一段测地线(类似于经线与纬线)。更进一步，黎曼用空间两点间的实际距离与采用毕哥达拉斯公式所计算的距离之间的差别，定义了空间曲率, 以反映一个空间弯曲的程度。

高维空间和空间曲率是两个新概念，超出了我们的直觉和理性思考。这里只能从实用的角度，谈谈其合理性。比如，水利专家在论证一项水利工程利弊时，要针对诸多独立的因素，如水文气象，地质, 地理，地貌，生物，植被，生态，环保，建材，经济，人口等等，进行相关的大系统多目标综合决策，这种情况下，了解多维空间的几何特性是很有帮助的，有时甚至是必不可少的。类似的分析在不同的学科中也会遇到，如航空，气象，投资，小三管理等等。

当然， 黎曼的目的并不是为了工程应用，他提出的弯曲空间，目的在于探讨一种“内蕴几何学”，用十分抽象而简单的方法，论述重要的科学问题：既然我们离不开自己生活的空间，那么我们关于空间几何学以及部分物理学的研究与结论，显然只能是在我们生活的“空间内部”作出的，我们如何判断自己的观点正确呢？关于我们生活的空间，黎曼提出了富有哲学的思想：如果空间是无限的，那空间一定是无界的；反之, 如果空间是无界的，不一定是无限的。例如，在地球表面笔直往前走，前方是无界的，但地球却是有限的。循此逻辑，我们生活的宇宙空间又会是什么样子呢？

黎曼是十九世纪最有想象力和创造性的数学家，他希望从物理学中进一步深化和印证其数学思想，但没能如愿, 黎曼一生都过着艰难的生活，四十岁时，因结核病而英年早逝。但他对数学的见解，永久性地改变了进行数学研究的观点；他对空间奇特地思考，引起许多数学家物理学家的关注，改变了世界对空间和时间的认识。受到黎曼空间观冲击最大的是牛顿（下集继续折腾）。