數學學習（19/30）

  談到現代概率論思想的產生，人們就會聯想到意大利數學家卡爾達諾。這個名字並不陌生，在前面的緒論中，介紹三次方程的解法時，我們介紹過卡爾達諾。

    卡爾達諾為人狡詐，他曾經誘惑青年數學家塔爾塔利亞，騙得了三次代數方程的解法。卡爾塔諾雖然人品低下，但他對數學的貢獻，特別是對現代數學的影響是巨大而深遠的。他的《大術》一書，其中介紹了三次代數方程與四次方程的一般解法，自出版之後，四百多年的時間裡，一直再版發行，被視為現代數學的開端。

   除了數學成就之外，卡爾達諾還是一位著名的賭徒，他寫下許多關於賭博的著作，在他的著作里，能用很現代的方式來理解和應用概率論。例如，他明確指出，投兩枚骰子，得到10的概率為1／12。他是通過數算結果的個數，發現了這一概率。有三種可能出現10，即（5，5），（6，4）和（4，6），共有36種可能性，所以概率為3／36，即1／12。卡爾達諾在其著作中，還論述了許多其它的發現。由於他愛好吹虛與得瑟，所以人們認為，他將一些不屬於自己的思想與成就，也歸功給了自己。但不管怎麼說，他是第一個嘗試用概率論來描述隨機現象的數學家，他質疑了隨機事件是由上帝來決定的傳統思想。他關於賭博的著作，是人們用數學模式來解決隨機事件最早的嘗試和文字記載。

  除卡爾達諾之外，伽利略，費馬，帕斯卡等人也做過類似的研究。伽利略研究過這樣的問題：投擲三個骰子時，為什麼數值10和11比數值9和12出現的頻率大？他採用了卡爾達諾類似的方法，發現有27種方式得到10，有25種方式得到9，而組合結果的總數為6x6x6＝216，所以，得到10的概率為27／216＝1／8，得到9的概率為25／216。

  對現代的人們來說，這些看起來都很簡單，當時的人們，包括伽利略本人，也並不認為對這些結果應給予太多的關注。但在那個時代，尙沒有一套代數符號系統，也沒有有效的數學語言來表述概率論思想，任何人都難以創造出全面的概率理論。這些發現與思考，確實是思想上的重大成就與進步，為概率論的誕生典定了基礎。

    最後再講一個有關卡爾達諾的軼事。卡爾達諾曾得意地宣稱，他發現了這樣一個重要的結果：一個人如果將一枚骰子連續擲三次，一個給定數出現至少一次的概率是50％。其實這個結論是錯誤的，但聰明的卡爾達諾，到老也沒有發現這一錯誤。您不妨試一試，一個七八年級的孩子，對這一問題如果能很快給出正確答案，一定是十分優秀，很有潛力的孩子（待續）。