数学学习（19/30）

  谈到现代概率论思想的产生，人们就会联想到意大利数学家卡尔达诺。这个名字并不陌生，在前面的绪论中，介绍三次方程的解法时，我们介绍过卡尔达诺。

    卡尔达诺为人狡诈，他曾经诱惑青年数学家塔尔塔利亚，骗得了三次代數方程的解法。卡尔塔诺虽然人品低下，但他对数学的贡献，特别是对现代数学的影响是巨大而深远的。他的《大术》一书，其中介绍了三次代数方程与四次方程的一般解法，自出版之后，四百多年的时间里，一直再版发行，被视为现代数学的开端。

   除了数学成就之外，卡尔达诺还是一位著名的赌徒，他写下许多关于赌博的著作，在他的著作里，能用很现代的方式来理解和应用概率论。例如，他明确指出，投两枚骰子，得到10的概率为1／12。他是通过数算结果的个数，发现了这一概率。有三种可能出现10，即（5，5），（6，4）和（4，6），共有36种可能性，所以概率为3／36，即1／12。卡尔达诺在其著作中，还论述了许多其它的发现。由于他爱好吹虚与得瑟，所以人们认为，他将一些不属于自己的思想与成就，也归功给了自己。但不管怎么说，他是第一个尝试用概率论来描述随机现象的数学家，他质疑了随机事件是由上帝来决定的传统思想。他关于赌博的著作，是人们用数学模式来解决随机事件最早的尝试和文字记载。

  除卡尔达诺之外，伽利略，费马，帕斯卡等人也做过类似的研究。伽利略研究过这样的问题：投掷三个骰子时，为什么数值10和11比数值9和12出现的频率大？他采用了卡尔达诺类似的方法，发现有27种方式得到10，有25种方式得到9，而组合结果的总数为6x6x6＝216，所以，得到10的概率为27／216＝1／8，得到9的概率为25／216。

  对现代的人们来说，这些看起来都很简单，当时的人们，包括伽利略本人，也并不认为对这些结果应给予太多的关注。但在那个时代，尙没有一套代数符号系统，也没有有效的数学语言来表述概率论思想，任何人都难以创造出全面的概率理论。这些发现与思考，确实是思想上的重大成就与进步，为概率论的诞生典定了基础。

    最后再讲一个有关卡尔达诺的轶事。卡尔达诺曾得意地宣称，他发现了这样一个重要的结果：一个人如果将一枚骰子连续掷三次，一个给定数出现至少一次的概率是50％。其实这个结论是错误的，但聪明的卡尔达诺，到老也没有发现这一错误。您不妨试一试，一个七八年级的孩子，对这一问题如果能很快给出正确答案，一定是十分优秀，很有潜力的孩子（待续）。