数学学习（30/30）

  我们知道，自然数就是123456789，10，11，…，有理数是可以表示成两个自然数相除的数，如1／2，2／3，等等。从1到10，只有十个自然数，可是，从1到10之间有多少有理数呢？无穷无尽，哪怕只是从1到2，也有无穷无尽的有理数。那么，我们，是否可以得出有理数比自然数多，这样的结论呢？

    回答这一问题之前，我们用剧场的情形来比划一下。剧场里有许许多多的座位，如果来了黑圧压一大群观众，数不胜数，是人多还是座位多呢？不仿让大家坐下来，如果人全部坐下了，还有空座位，说明座位更多。如果座位坐满了，依然还有人没坐下，说明人更多。如果没有剩下的坐位空着，也沒有多余的人站着，座位与人正好一一对应，则人与座位一样多。

    用一一对应的概念，来讨论一下自然数与有理数的多少。对于自然数12345……直到无穷大，如果我们以每一个自然数相应的倒数为对应的有理数，如1对应1，2对应1/2，3对应1/3，4对应1/4，等等，这样，不管有多少自然数，我们总可以在0至1之间，有一个相应的有理数与之对应。从而可以得出这样的结论：0到1之间的有理数不比自然数少，至少一样多。这样的结论显然是正确的。

    一个不争的事实是，有理数除了分布在0与1之间，从1到2，2到3，直至无穷大，还有无穷无尽的有理数。那么，我们是否可以断定有理数比自然数多呢？

   还是用一一对应的方式，作另一种不同的演示。选平面直角坐标系，有X轴和Y轴，原点为（0，0）。作一系列平行于X轴和Y轴的直线，x＝1，x＝2，x＝3…，y＝1，y＝2，y＝3，…，这些直线交叉点的坐标为自然数（x，y），即（1，1），（2，1），（1，2），（2，2），…将每个点用其横坐标除以纵坐标，即x／y来表示，显然，x／y是一个有理数。由于x与y可为仼意的自然数，所以，全部的交叉点就构成了全部的有理数。

    我们沿一相限45度方向，呈之字形展开，将所有的交叉点依次编号，（1，1）为1，（2，1）为2，（1，2）为3，（1，3）为4…，依此类推。这样，每一个交叉点都有一个编号。显然，无论有多少点，都有足够的自然数与之对应。也就是说，无论有多少有理数，都有足够的自然数与之一一对应。所以说，有理数并不比自然数多。

       上的的论述，是数学上一个十分重要的证明。用同样的方法，还可以证明，完全平方数与自然数一样多；奇数与自然数一样多；偶数与自然数一样多；去掉部分自然数之后的自然数，与自然数一样多。类似，除掉那些投奔了美帝的华人，人民还是那么多。

     这些结论，难以辩驳，但不符合人们的常识，同时，数学中的基本运算加减乘除，在这里也失去了意义。这不禁让人怀疑，数学是不是出了毛病？

   有必要再回顾一下"数学是什么"这样的基本问题。数学是一门演译的科学，新的结论与定理，都是在严格的逻辑链上产生的。演绎的大前提则是公理。欧几里德建立了几何学的五个基本公理，从而演绎出欧几里徳几何学的全部內容；黎曼选择了不同的几何学公理，得出了非欧几何学，导致后来相对论的发现；牛顿借鉴欧几里德的公理思想，创立牛顿三大公理，从而诞生了牛顿力学；柯尔莫哥洛夫将公理引入概率，即一件事情发生的最大概率不超过1，局部小于整体，从而完善了概率论。

     一般来说，数学家如果遇上了真正的难题，自己是没法解决的，或者说用纯粹的数学方法，是解决不了的，要请求思想家哲学家政治家，或者阴谋家的帮助，也就是说，要进行一次思想上的革命，掀翻棋盘，重新制定遊戏规则，改变公理，从头再来。

    解决“有理数不比自然数多”这样违背常理的问题，数学家们对千百年来恪守的公理“局部小于整体”，作了全盘修正，改变为“局部不小于整体”，或者＂局部与整体相等＂, 新公理正视了无穷集合的存在，用数学的语言来阐述就是：存在与父集合大小相等的真子集的集合，为无穷集合。这一概念是由戴德金首先提出，康托尔发展完善的。

    新公理的推出，带来了数学的飞速发展，也带来数的飞跃。今天数学家们所研究的数，不仅仅是停留在自然数有理数复合数代数数超越数等等这些有限数的范畴，己经进入到超限数的时代，即基于无限而抽象与提练出来的数，虽然讲的还是一二三，但内涵与外延都完全不同。一个人搬着指头数算，如果能理清一两个超限数，就会对人类作出巨大的贡献。

    新公理带来的好景并不长久，很快又遇上了新难题，这就是有名的罗素悖论，由集合论中讨论不将自身作为子集的集合，而引出的逻辑问题。用生活中一个简单的例子，可描述罗素悖论所反映的逻辑问题。假如小镇上有一位理发师，声明只为那些不为自己理发的人理发。这一陈述对其他人都有意义，但对理发师本人则是例外，如果他不为自己理发，就应该为自己理发；如果他为自己理发，就不应该为自己理发。

   罗素悖论引发了一阵混乱，很快又得到了解决。德国数学家策梅罗（Emest Zemelo, 1871--1953), 也是罗素悖论的发现者之一，再次运用数学公理的思想，提出了七条公理，从而园满地解决了罗素悖论。有意思的是，解决了罗素悖论之后，有关的数学争论并未平息，反而越来越激烈。因为策梅罗运用了一个后来称之为“选择公理”的公理，这里面的内容很坚深也很啰嗦，远远超出了我们讨论的范围，我们关于数学简介的系列，就此结束。

   通俗地说，选择这一关键词，正好点明了数学的实质和核心，数学就是选择，数学的根基是公理，而公理正是基于数学家的兴趣选择与道德选择。

    数学是选择，生活何尝不是选择呢？人们往往追寻生命的意义是什么？其意义也许就在于你自己的选择，可以是了无生趣毫无意义，也可以是意义非凡。社会，所追寻的何尝不是自由选择呢？让别人自由选择，就叫民主；自已能作出自由选择就是人权。 也或许，上帝的智慧与奇妙，正在于给人充分的权利以自由选择，你可以选择相信上帝崇拜上帝，也可以选择弃绝上帝崇拜自己。而数学，正是训练人们理性思维，合理选择的一门学问（全文毕）。