數學學習（27/30）

    之前，我們通過幾何學，概率論與數理統計兩個不同分支，討論了一些數學問題的發生發展與成熟。從本節開始，將從更抽象的層面談數和數學，共四小節。

    根號2是一個無理數，近似值大概是1.414…，早在四千多年前的美索不達米亞人，就能將根號2的值，精確計算到小數點後的八位以上。但直到兩千五百多年前，希臘數學家希帕蒂斯，才發現了根號2的無理數特性。所謂無理數，就是無限不循環小數，或者說，不能表示為兩個整數相除的數（分母大於1）。有理數，就是整數或能表示為兩個整數相除的數。

    希帕蒂斯是畢達哥拉斯的學生，他們信奉一種認為萬物皆數的宗教，即萬事萬物可用整數，或兩個整數相除來表示。根號2的發現，說明除有理數之外，還有另外一類數。這一發現，給發現者帶來了滅頂之災，也給數學和思想界帶來恐慌和混亂。

    為了掩蓋這一發現，畢達哥拉斯學派的同志，將希帕蒂斯裝進口袋扔進了海里，畢達哥拉斯也在希臘整頓言論和思想自由的運動中，被處死。無理數為什麼會引來麻煩呢？不仿畫一條線來演示，線條上，一二三四五是有理數，二分之一三分之一四分之一也是有理數，任何兩個有理數，不管之間的距離多麼小，總可以繼續揷入無窮多個有理數。密密實實的線條，明顯是連續的，其間卻有根號2這樣沒有意義的東西，理直氣壯而又而又沒有道理存在那裡，使得連續的線條出現斷裂或空洞。心不見，心卻煩。

    人們不理解無理數，只好稱之為非有理數，即不能表示為兩個數相除的數。這種文過蝕非的表達方式，似乎也不錯，也可以矇混一陣子。但它有背數學精神，數學需要正面而準確回答。直到約一百五十年前，一位德國的中學數學老師，對有理數與無理數作了精確的描述，才解決了人類兩千多年關於無理數的困惑，這就是著名的戴德金（Richard Dedekind,1831--1916）分割。

     戴德金分割可以大致這樣來描述：一條有向直線表示實數軸，O為原點，直線上任取一點A，該點離原點的距離為a。以該點為分割點，將全部有理數分為左右兩部分，沒有遺漏，也沒有重疊。分割之後，如果左邊有一個最大的有理數，右邊沒有最小的有理數，或者，左邊沒有最大的有理數，右邊有一個最小的有理數，那麼，a 就是一個有理數。否則，如果左邊沒有最大的有理數，右邊也沒有最小的有理數，那麼，a 就是一個無理數。（特別解釋一下：戴徳金分割並不象黃金分割那樣有什麼實際的應用意義。它只是一種思想，旨在定義什麼是無理數。其全部內涵就在這段文字裡。）

   戴德金是一位從事了五十多年中學教育的數學老師，在他生活的那個年代，他的成就並沒有得到應有的認可。今天，他的思想則是每一個優秀數學家訓練不可或缺的重要部分（待續）。