小談公理思想的意義
古希臘的哲學家，代表着人類作為一個集體，其理性認識開始覺醒。此後二千年， 都是人類理性認識成熟的過程。古希臘先賢們給人類留下的一個重要發現，就是公 理體系的思想。
公理體系，也叫形式系統，最少可以追溯來源到柏拉圖的著名思想，“形式”。柏 拉圖認為，世界的本質是“形式(Form)”。因為只有形式才是不變和永恆的。認識 真理，在柏拉圖看來，就是“從無可置疑的前提中，發掘出潛在和蘊含的命題”。 從這個意義上看，學習就是回憶。所以學習的方法，在柏拉圖看來，就是啟發。(有 點象中國的“學而始習知”)。
比柏拉圖晚了一個世紀以後的希臘數學家，歐幾里德，將柏拉圖的這個思想發展到 幾何學中，創立了公理系統。所以現在我們稱他為“幾何學之父”。公理體系，也 叫“形式化體系”，是“從明確清晰的公理中，通過規則，達到導出定理”的過程。 這個方法主要用在數學，幾何，數理邏輯方面。因為公理的選擇必須明確無疑，定 義準確，這樣才能保證定理的正確性。後來的數學家，在歐幾里德公理系統的啟發 下，將其第五公設作相反推導，得出了“非歐幾何學”。此類例子，說明了邏輯推 理的重要作用。
沿着推理的思路走下去，就自然會想到能否將所有的能夠形式化的數學，符號邏輯 等，全部由公理系統完成 - 這就是偉大的“希爾伯特計劃”。遺憾的是，悖論產生 了。悖論告訴我們，任何可以形式化的公理體系都不是完備的，都必定是有限的。
其實，悖論的意義還不至如此。公理體系的有限性，更深一步，意味着邏輯或理性 的有限性。可以準確定義的規則，如果自身不是完備的，更不能用來囊括一切其他 領域。難怪愛因思坦認為，新發現沒有邏輯規律可循。人類的認識能力又受到新的 挑戰。
公理系統的思想，可以說是在人類理性的認識史上走到了自己的盡頭。但它的歷史 地位，永遠證明了自己是人類認識成熟過程的必經之路。
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