柔性梁的自振动分析属结构动力学范畴，在航天、土木与机械工程中有广泛的应用背景，也是工程学院研究生课程中的一个重要题目。美国eComputingX公司最近推出了近90个在线科学计算软件工具（online software tools for scientific computing），其中一个恰好适用于Euler-Bernoulli梁的自振动分析：

SD-01: Vibration of Euler-Bernoulli Beams – Eigensolutions

这个在线软件工具可用于智能手机与平板电脑（常规的电脑当然也行）。工具SD-01对工程师、教授与学生都非常有用。您如果不是eCX的会员，也可以点击SD-01使用有限版的工具。

在线软件工具SD-01对均匀分布Euler-Bernoulli梁的特征值问题求解，在梁的任意边界条件（支撑条件）下给出自振频率与振型函数精确解析解，并对任意选定振型进行动漫演示（animation）。跟据该工具的参考资料（Subject Review），图1中梁的横向振动位移w由下面偏微分运动方程与边界条件所控制：

式中各参量定义如下：

梁边界条件的表达式见表1。

设梁位移为

将其带入运动方程可得常微分方程

与相应边界条件，其中

根据上面方程，梁的振型函数可表达为

其中未知常数a1, a2,a3, a4 由梁的边界条件确定。将u(x)的表达式带入边界条件，最终可得一个梁的特征方程（超越方程）

这个方程有无穷多的根

梁的自振频率可由这些根来表达：

现在来看如何使用SD-01求解。打开工具页面，可见图形用户界面（graphic user interface or GUI for short）如下：

我们的问题是：

梁的边界条件：左端固支，右端滑动

梁的参数：r = 0.15, E = 8,000, I = 0.24, L = 3.78

根据上面数据修改GUI页面，得

点击Run键进行计算，立即得到结果（另起新的一页）如下图所示：

上图所显示的是梁的前四个自振频率与相应的振型函数。此外，还有一个选定模态的动漫演示：

你如果点击图中上方的“Analysis”标签，即可得到振型函数的解析表达式如下

除了SD-01，eComputingX的结构动力学工具箱中还有其他有用的工具:

感兴趣者可点击链接https://www.ecomputingx.com/tools.jsp 浏览。

捷算通

http://blog.creaders.net/JSTong/

2015/05/27

相关博文：

《介绍美国eComputingX在线科学计算》

《eCX在线计算实例1：梁的静力分析》

《eCX在线计算实例2：矩阵特征值问题求解》

《eCX在线计算实例3：状态反馈控制》

《eCX在线计算实例4：空心圆柱的热传导》